這個單元的主題，要來看如圖示的「外力激振」(force excitation) 的「單自由度系統」(single degree-of-freedom, SDOF, system)，他的「自由振動」(free vibration)，也就是沒有外力作用下，只有「初始條件」(initial condition)的系統響應，其「頻譜」(spectrum)有甚麼特徵？
首先，回顧一下這個「外力激振」「單自由度系統」，參考圖示左上方，是此系統「數學模型」(mathematical model)示意圖。其中，
1.
「系統參數」(system parameters)，就是：m、c、k，分別是質塊的「質量」、彈簧的「黏滯阻尼係數」、彈簧的「彈簧常數」。
2.
「輸入」是f(t)，為系統的外力，以及質塊本身的「初始位移」X0及「初始速度」V0。
3.
「輸出」是x(t)，為系統質塊的位移響應。
若是對此「單自由度系統」，進行「理論模態分析」，可以得到兩個「模態參數」，在此「單自由度系統」的「模態參數」為：
1.
「自然頻率」，ωn=2πfn=(k/m)^0.5，
2.
「阻尼比」，ξ=c/Cc。其中，c是「黏滯阻尼係數」，Cc=2*(mk)^0.5=2mωn，是「臨界黏滯阻尼係數」。
所以，由「系統參數」：m、c、k，就可以求得「自然頻率」fn以及「阻尼比」ξ。
參考左下方圖示，是以ISO的方式，繪製其系統方塊圖(system block diagram)，其中：
1. Input 輸入：f(t)，為系統的外力，以及「初始位移」X0及「初始速度」V0。
2. System 系統：m、c、k。
3. Output 輸出：x(t)，為系統質塊的位移響應。
在f(t)=0，也就是沒有外力作用下，稱為「自由振動」，在「次阻尼」狀態：0<ξ<1，其系統位移響應，可寫成：x(t)=X e^(-σt) cos(2πfn t-φ)，各個參數的表示式，可參閱圖示。圖示中間下方，是對應此方程式的「單自由度系統」之自由振動位移響應x(t) 示意圖。
本單元要針對x(t) 進行「FFT頻譜分析」，可以得到「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)。以下為所設定的數值案例：
1. 模態參數：fn= 10 Hz，ξ=0.05。
2. 輸入參數：f(t)=0，X0= 1 m及V0=0 m/s。
所以，可得到：X=1，φ=0°。位移響應x(t)，如圖示右上，會有「對數衰減」的現象。對x(t) 進行「FFT頻譜分析」，可以得到「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)，因為是複數分別由以下圖示，說明其特徵：
1. 振幅(amplitude)圖：在fn= 10 Hz頻率處，其「振幅值」大約是0.3左右，此峰值(peak)對應的頻率，就是系統的「自然頻率」。
2. 相位角(phase angle)圖：在fn= 10 Hz「自然頻率」處，其「相位角」為0°。同時，從低頻率穿越「自然頻率」到高頻率時，有180°的相位角變化。
3. 實數(real)圖：在fn= 10 Hz頻率處，有一個峰值(peak)，就是系統的「自然頻率」。
4. 虛數(imaginary)圖：在fn= 10 Hz頻率處，呈現曲線交叉的現象，通過零點的位置，就是系統的「自然頻率」。
5. 奈氏圖(Nyquist plot)：是以實數部為x軸，虛數部為y軸，所繪製。如圖示，如果頻率解析度夠小，可以看出形成一個圓的形式，一個「自然頻率」的峰值(peak)，就會形成一個圓。
綜合一下，本單元探討的重點：
1. SDOF系統：就是外力激振的「單自由度系統」。可參閱#149：【甚麼是「外力激振」的「單自由度系統」？】。
2.
SDOF系統之自由振動響應：可參閱#150：【結構為什麼會「振動」？】，#121：【不同阻尼比對質塊的振動有甚麼影響？】，#122：【甚麼是「對數衰減」？】。
3. SDOF系統自由振動響應的頻譜特徵：分別由振幅(amplitude)圖、相位角(phase angle)圖、實數(real)圖、虛數(imaginary)圖、以及奈氏圖(Nyquist
plot)，觀察其「傅立業頻譜」的特徵。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
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