這個單元要來探討的主題是：如何檢查「頻譜分析儀」(FFT spectrum Analyzer)的基本功能(basic functions)正常運作？這是這個系列的第4篇，針對第2項的功能檢查：2. 反假像濾波器檢查(Anti-Aliasing Filter check)，主要在說明假像波(Aliasing)之物理意義。
反假像濾波器的英文，Anti-Aliasing Filter，常會簡稱為AA Filter。要了解AA Filter的運作需求與功能，就需要知道甚麼是假像波(Aliasing)？就是這個單元的討論重點。
首先，回顧先前單元：#31，【甚麼是頻譜的摺疊效應(folding effect)？】，參閱圖片的左上方，摘錄圖片，其中，𝒙(𝒕) 是「時間波形」，透過FFT是Fast Fourier transform，中文是快速傅立葉轉換，可以取得對應𝒙(𝒕)的𝑿(𝒇)「傅立葉頻譜」(Fourier spectrum)。摘錄#31的重點結論：
1.
頻譜摺疊效應(folding effect)的現象：𝒇𝒏𝒚𝒒是Nyquist frequency有效頻寬，其倍數頻率值之位置為摺疊線，形成摺疊的重複、週期性的頻譜圖，但是，有效的、有意義的頻譜，僅在小於𝒇𝒏𝒚𝒒以下的頻率範圍。
2.
頻譜摺疊效應的原因：乃是因為時間域𝒙(𝒕)信號的數位化，又僅取了有限區間的𝒙(𝒕)，進行FFT運算，所以就自動假設為週期性的𝒙(𝒕)信號。因此，𝑿(𝒇)「傅立葉頻譜」，也成為數位化、週期性的頻譜特性。
3.
頻譜摺疊效應的影響：雖然頻譜𝑿(𝒇)可以無限的摺疊，但是，真正有效的頻譜，僅在小於𝒇𝒏𝒚𝒒以下的頻率範圍。
4.
如何避免頻譜摺疊效應：這是無法避免的現象，必須認知，𝒇𝒏𝒚𝒒有效頻率只有𝒇𝒔=sampling frequency取樣頻率的一半，也就是：𝒇𝒏𝒚𝒒=𝒇𝒔/𝟐。
5.
如果無法避免頻譜摺疊效應，該如何處理呢？通常，(1)要確認有興趣的頻率範圍，來決定量測時的𝒇𝒔
取樣頻率。同時，(2)為避免有假像頻率(aliasing frequency)出現，也要將時間域𝒙(𝒕)信號在𝒇𝒏𝒚𝒒以上的信號濾除，所以在量測中，會施以低通濾波器(low pass filter)，又稱為反假象濾波器(Anti-Aliasing Filter, AA filter)，濾除高於𝒇𝒏𝒚𝒒以上的高頻率信號。
參閱圖片右邊的系列圖示，主要在說明單一頻率簡諧波之假像(Aliasing)與頻譜之摺疊效應(folding effect)。圖示為𝑿(𝒇)「傅立葉頻譜」，取其振幅值|𝑿(𝒇)|。圖中，水平軸是頻率，分別標示了𝒇𝒏𝒚𝒒以及其倍數頻率2𝒇𝒏𝒚𝒒、3𝒇𝒏𝒚𝒒、4𝒇𝒏𝒚𝒒之位置，不同頻率𝒇𝟎的簡諧波𝒙(𝒕)信號，進行FFT數值運算，所得到的|𝑿(𝒇)|
振幅值，說明如下：
1. 當𝒇𝟎 < 𝒇𝒏𝒚𝒒：因為符合Nyquist Theorem奈奎斯特定理：𝒇𝟎 < 𝒇𝒏𝒚𝒒 = 𝒇𝒔 /𝟐。參閱左下方的𝒙(𝒕)和|𝑿(𝒇)|圖示，可以觀察由於𝒇𝟎 = 20 Hz，小於𝒇𝒏𝒚𝒒 = 100 Hz，所以，可以得到了正確的|𝑿(𝒇)|分析結果，確實在𝒇 = 20 Hz，有對應簡諧波信號的振幅值。
2. 當𝒇𝒏𝒚𝒒
< 𝒇𝟎 < 2𝒇𝒏𝒚𝒒：因為𝒇𝟎 > 𝒇𝒏𝒚𝒒，所以，由摺疊效應，可以看到的假像頻率(aliasing frequency)，出現在，𝒇𝒂𝒍𝒊𝒂𝒔=𝒇𝒏𝒚𝒒−(𝒇𝟎−𝒇𝒏𝒚𝒒)。參閱左下方的𝒙(𝒕)和|𝑿(𝒇)|圖示，可以觀察由於簡諧波的𝒇𝟎 = 180 Hz，大於𝒇𝒏𝒚𝒒 = 100 Hz，所以，假像頻率𝒇𝒂𝒍𝒊𝒂𝒔 =100 Hz −(180 Hz −100 Hz) = 20 Hz。
3. 當2𝒇𝒏𝒚𝒒 < 𝒇𝟎 < 3𝒇𝒏𝒚𝒒：因為簡諧波的𝒇𝟎
> 𝒇𝒏𝒚𝒒，所以，由摺疊效應，會翻摺兩次，可以看到的假像頻率(aliasing frequency)，出現在小於𝒇𝒏𝒚𝒒的頻率範圍。參閱左下方的𝒙(𝒕)和|𝑿(𝒇)|圖示，可以觀察由於𝒇𝟎 = 220 Hz，大於𝒇𝒏𝒚𝒒 = 100 Hz，所以，假像頻率𝒇𝒂𝒍𝒊𝒂𝒔 = (𝒇𝟎−𝟐𝒇𝒏𝒚𝒒) = (220 Hz – 2x100 Hz) = 20 Hz。
4. 當3𝒇𝒏𝒚𝒒 < 𝒇𝟎 < 4𝒇𝒏𝒚𝒒：因為簡諧波的𝒇𝟎
> 𝒇𝒏𝒚𝒒，所以，由摺疊效應，會翻摺三次，可以看到的假像頻率(aliasing frequency)，出現在小於𝒇𝒏𝒚𝒒的頻率範圍。參閱左下方的𝒙(𝒕)和|𝑿(𝒇)|圖示，可以觀察由於𝒇𝟎 = 340 Hz，大於𝒇𝒏𝒚𝒒 = 100 Hz，所以，假像頻率𝒇𝒂𝒍𝒊𝒂𝒔 = 𝒇𝒏𝒚𝒒– (𝒇𝟎−3𝒇𝒏𝒚𝒒) =100 Hz – (340 Hz – 3x100 Hz) = 60 Hz。
從以上4個案例說明，可以知道單一頻率簡諧波的𝒙(𝒕)「時間波形」，進行FFT運算，取得𝑿(𝒇)「傅立葉頻譜」：
1.
只有，簡諧波的頻率𝒇𝟎，在𝒇𝟎 < 𝒇𝒏𝒚𝒒，因為符合Nyquist Theorem奈奎斯特定理：𝒇𝟎 < 𝒇𝒏𝒚𝒒 < 𝒇𝒔 /𝟐，才可以得到正確的、有效的𝑿(𝒇)「傅立葉頻譜」。
2.
如果，簡諧波的頻率𝒇𝟎，在𝒇𝟎 > 𝒇𝒏𝒚𝒒，由於摺疊效應(folding effect)，𝑿(𝒇)「傅立葉頻譜」會出現不正確的假像頻率(aliasing frequency)。
因為，對𝒙(𝒕)進行FFT數值運算，取得𝑿(𝒇)，會出現以上不正確的假像頻率(aliasing frequency)，而且，實務上，量測的振動或噪音信號，包含了各種頻率特徵，不論𝒇𝒏𝒚𝒒取多高，還是存在著高於𝒇𝒏𝒚𝒒的頻率信號。
因此，實務上會對採集的𝒙(𝒕)「時間波形」信號，施以低通濾波器(low pass filter)，又稱為反假象濾波器(Anti-Aliasing Filter, AA filter)，濾除高於𝒇𝒏𝒚𝒒以上的高頻率信號，以確保在 < 𝒇𝒏𝒚𝒒的頻率範圍，不會出現不正確的假像頻率。參閱右邊中間圖示，顯示的AA filter示意圖，說明如下：
1. 理想的反假象濾波器(Ideal
AA filter)：如圖示的紅色粗實線，理想的濾波器在𝒇𝒏𝒚𝒒，垂直式的陡降，> 𝒇𝒏𝒚𝒒以上的高頻率信號，完全濾除。
2. 實際的反假象濾波器(Real
AA filter)：實務上，無法製作垂直式陡降的、理想的濾波器，都會如圖示的藍色粗實線之實際的濾波器。在設定的截斷頻率(cut-off frequency)=𝒇𝒏𝒚𝒒，會有一段斜線的過渡頻帶(transition band)，一般認定有效的截斷頻率，也就是有效的最高頻率：𝒇𝒄 =
𝒇max = 𝒇𝒏𝒚𝒒 /1.28。需注意，摺疊效應(folding effect)，仍是以𝒇𝒏𝒚𝒒 Nyquist frequency以及其倍數頻率為摺疊線。
綜合一下這個單元的討論，重點整理如下：
1. 回顧先前單元：#31，【甚麼是頻譜的摺疊效應(folding effect)？】。
2. 探討：單一頻率簡諧波之假像(Aliasing)與頻譜之摺疊效應(folding effect)。
3. 當簡諧波的頻率𝒇𝟎 < 𝒇𝒏𝒚𝒒：因為符合Nyquist Theorem奈奎斯特定理：𝒇𝟎 < 𝒇𝒏𝒚𝒒 < 𝒇𝒔 /𝟐，才可以得到正確的、有效的𝑿(𝒇)「傅立葉頻譜」。
4. 如果，簡諧波的頻率𝒇𝟎，在𝒇𝟎 > 𝒇𝒏𝒚𝒒：由於摺疊效應(folding effect)，𝑿(𝒇)「傅立葉頻譜」會出現不正確的假像頻率(aliasing frequency)。
5. 實務上會對採集的𝒙(𝒕)「時間波形」信號，施以低通濾波器(low pass filter)，又稱為反假象濾波器(Anti-Aliasing Filter, AA filter)，濾除高於𝒇𝒏𝒚𝒒以上的高頻率信號，以確保在 < 𝒇𝒏𝒚𝒒的頻率範圍，不會出現不正確的假像頻率。實際的反假象濾波器(Real
AA filter)：在設定的截斷頻率(cut-off frequency)=𝒇𝒏𝒚𝒒，會有一段斜線的過渡頻帶(transition band)，一般認定有效的截斷頻率，也就是有效的最高頻率：𝒇𝒄 =
𝒇max = 𝒇𝒏𝒚𝒒 /1.28。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2024.06.17
