這個單元要來探討的主題是：「庫倫阻尼」(Coulomb Damping)
SDOF系統的自由振動響應特徵：不同「摩擦係數」(Friction coefficient)
𝝁，有甚麼差異？這是「庫倫阻尼」系列的第2篇。
首先，由圖示左邊中間的「庫倫阻尼」SDOF單自由度系統的示意圖，可以看到系統的參數，包括：質塊的質量 𝒎和彈簧的彈簧常數𝒌，質塊𝒎，和地面有滑動的接觸，質塊和地面之間，會有「摩擦係數」(Friction coefficient)
𝝁。
「庫倫阻尼」SDOF單自由度系統的外力為𝒇(𝒕)，當𝒇(𝒕)≠0，稱為強制振動(forced vibration)，當𝒇(𝒕)=0，稱為自由振動(free vibration)。這個單元看的是自由振動響應，也就是沒有外力作用𝒇(𝒕)=0。那麼，沒有外力作用，為什麼質塊𝒎會振動呢？就是因為有「初始條件」(initial condition,
IC)，分別是「初始位移」𝒙𝟎及「初始速度」𝒗𝟎。
參閱圖示中央顯示了系統的運動方程式(Equation of Motion, EOM)的通式：𝒎𝒂+𝒄𝒗+𝒌𝒙=𝒇(𝒕)+ 𝑭𝒔(𝒕)，讀者可參閱圖示，有明確的表示式。由於運動方程式EOM是二階的常微分方程式，所以，需要兩個「初始條件」(initial condition, IC)，分別是「初始位移」𝒙𝟎及「初始速度」𝒗𝟎。【備註：比較明確的數學方程式，請讀者參考圖示，在文字說明，受限於方程式編寫，分別以𝒙、𝒗、𝒂，代表位移、速度、加速度。】
又，因為有「庫倫阻尼」的「摩擦係數」𝝁之效應，所以運動方程式EOM等號右邊，會多了「摩擦力」(frictional force)
𝑭𝒔(𝒕)，參閱圖示的EOM，說明如下：
1.
當速度為正值 𝒗 >𝟎，𝑭𝒔(𝒕)= −𝝁𝒎𝒈。
2.
當速度為負值 𝒗 <𝟎，𝑭𝒔(𝒕)= 𝝁𝒎𝒈。
3.
當速度為零 𝒗 =𝟎，𝑭𝒔(𝒕)= 0。
在這個單元，假設沒有「黏滯阻尼」(viscous Damping)，也就是「黏滯阻尼係數」(viscous damping
coefficient)為零，𝒄 =0，只有「庫倫阻尼」的「摩擦係數」𝝁之效應。同時，假設為𝒇(𝒕)=0的自由振動狀態。
對系統進行「模態分析」(modal analysis)，可以求得結構的「模態參數」(modal parameters)。在此「單自由度系統」的「模態參數」為：「自然頻率」，ωn=2πfn=(k/m)^0.5，「阻尼比」，ξ=c/Cc。其中，c是「黏滯阻尼係數」，Cc=2*(mk)^0.5=2mωn，是「臨界黏滯阻尼係數」。所以，由「系統參數」：m、c、k，就可以求得「自然頻率」ωn以及「阻尼比」ξ。讀者可參考先前單元：#151，【「外力激振」的「單自由度系統」之振動分析】。
接下來，以實際的數值分析案例作說明，設定：𝒎=1 (kg)，𝒌=39.48 (N/m)，則自然頻率
𝒇𝒏= 1 (Hz)。令𝒇(𝒕)=0，𝒙𝟎 = 1 (m)，𝒗𝟎=𝟎 (m/s)，所以是自由振動狀態。在此探討不同「摩擦係數」𝝁對系統響應之影響，參閱圖示說明如下：
1.
𝝁 = 0：因為系統沒有任何的「阻尼」(damping)效應，所以是無阻尼狀態，因此質塊的振盪現象，是永無止境的來回振盪。其振盪的週期，會是自然頻率
𝒇𝒏= 1 (Hz)的倒數，T= 1 (sec)。
2.
𝝁 = 0.1：質塊的振盪，有衰減的現象，在大約10秒時，趨近於零。其振盪的週期，仍是自然頻率
𝒇𝒏= 1 (Hz)的倒數，T= 1 (sec)。
3.
𝝁 = 0.2：質塊的振盪，有衰減的現象，在大約5秒時，趨近於零。其振盪的週期，仍是自然頻率
𝒇𝒏= 1 (Hz)的倒數，T= 1 (sec)。
4.
𝝁 = 0.3：質塊的振盪，有衰減的現象，在大約3秒時，趨近於零，但是明顯不等於零。其振盪的週期，仍是自然頻率
𝒇𝒏= 1 (Hz)的倒數，T= 1 (sec)。
可以發現當「摩擦係數」𝝁逐漸增大，質塊振盪的衰減效應越快，這就是「庫倫阻尼」效應，來自「庫倫摩擦」，也是一種消耗能量的機制。
再針對𝝁 = 0.2，如圖示右邊，分別觀察位移𝒙(𝒕)、速度𝒗(𝒕)、加速度𝒂(𝒕)、以及摩擦力𝑭𝒔(𝒕)的時間波形響應，主要的特徵說明如下：
1.
位移𝒙(𝒕)：在𝒕= 0時，𝒙(𝒕) = 1 (m)，如預期因為𝒙𝟎 = 1 (m)，有持續的振盪與衰減現象。
2.
速度𝒗(𝒕)：速度𝒗(𝒕)和位移𝒙(𝒕)，會有90度的相位角差異，也是有持續的振盪與衰減現象。
3.
加速度𝒂(𝒕)：加速度𝒂(𝒕)和位移𝒙(𝒕)，則是有180度的相位角差異，也是有持續的振盪與衰減現象。比較特殊的是在最大和最小波峰處，會有突波(jump)效應，主要是來自摩擦力𝑭𝒔(𝒕)的影響。
4.
摩擦力𝑭𝒔(𝒕)：呈現出一個連續的週期性方波特徵，由前述可知，摩擦力𝑭𝒔(𝒕)的作用方向，和速度𝒗(𝒕)的正負相反，可參閱圖示中間下方的摩擦力𝑭𝒔 (𝒕)與速度𝒗(𝒕)關係圖示，確實是當速度為正值
𝒗 >𝟎，𝑭𝒔 (𝒕)= −𝝁𝒎𝒈為負值，當速度為負值
𝒗 <𝟎，𝑭𝒔(𝒕)= 𝝁𝒎𝒈為正值，而速度為零
𝒗 =𝟎，𝑭𝒔 (𝒕)= 0。
由於摩擦力𝑭𝒔(𝒕)與速度𝒗(𝒕)呈現正負相反的關係，摩擦力𝑭𝒔(𝒕)又與「摩擦係數」𝝁成正比，所以，會有抑制振動的「庫倫阻尼」衰減效應。因此，「摩擦係數」𝝁逐漸增大，質塊振盪的衰減效應越快。
最後，再觀察運動方程式EOM的慣性力𝑭𝒎(𝒕)=𝒎𝒂(𝒕)和彈簧力𝑭𝒌(𝒕)=
𝒌𝒙(𝒕)，以及兩者的合力𝑭𝒎𝒌(𝒕)時間波形圖示，可以觀察到𝑭𝒎𝒌(𝒕)=
𝑭𝒔(𝒕)，由運動方程式EOM觀察，剛好是等號兩邊的項次，完全相等，也是合理的數值分析結果。
最後，綜合一下這個單元的討論重點：
1. 「庫倫阻尼」SDOF單自由度系統：如圖示的系統示意圖。
2. 系統的運動方程式EOM是二階的常微分方程式：𝒎𝒂+𝒄𝒗+𝒌𝒙=𝒇(𝒕)+ 𝑭𝒔(𝒕)。
3. 摩擦力𝑭𝒔(𝒕)與速度𝒗(𝒕)呈現正負相反的關係：當速度為正值 𝒗 >𝟎，𝑭𝒔 (𝒕)= −𝝁𝒎𝒈為負值，當速度為負值
𝒗 <𝟎，𝑭𝒔(𝒕)= 𝝁𝒎𝒈為正值，而速度為零
𝒗 =𝟎，𝑭𝒔 (𝒕)= 0。
4. 以實際的數值分析案例作說明，設定：𝒎=1 (kg)，𝒌=39.48 (N/m)，則自然頻率
𝒇𝒏= 1 (Hz)。令𝒇(𝒕)=0，𝒙𝟎 = 1 (m)，𝒗𝟎=𝟎 (m/s)，所以是自由振動狀態。
5. 可以發現當「摩擦係數」𝝁逐漸增大，質塊振盪的衰減效應越快，這就是「庫倫阻尼」效應，來自「庫倫摩擦」，也是一種消耗能量的機制。
6. 分別觀察位移𝒙(𝒕)、速度𝒗(𝒕)、加速度𝒂(𝒕)、以及摩擦力𝑭𝒔(𝒕)的時間波形響應。
7. 摩擦力𝑭𝒔(𝒕)與速度𝒗(𝒕)呈現正負相反的關係。
8. 慣性力𝑭𝒎(𝒕)=𝒎𝒂和彈簧力𝑭𝒌(𝒕)=𝒎𝒂，以及兩者的合力𝑭𝒎𝒌(𝒕)時間波形圖示，可以觀察到𝑭𝒎𝒌(𝒕)=
𝑭𝒔(𝒕)摩擦力。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
