這個單元要來探討的主題是：「正交(實數)模態分析」(Normal/Real mode
analysis)，以及「複數模態分析」(Complex mode analysis)，兩種分析的差異，以及如何進行？
這兩個名詞的共同關鍵詞：「模態分析」(Modal analysis)。破題就以【4W】的思維，來探討一下「模態分析」(Modal analysis)：
1. What is? 甚麼是「模態分析」？
2. Why to do? 為什麼要進行「模態分析」？
3. What goals? 進行「模態分析」，要達到甚麼目標？
4. How to do? 如何進行「模態分析」？
首先，What is? 甚麼是「模態分析」？「模態分析」是4種振動分析類型(four types of
vibration analysis)之一。先前單元，介紹過「振動分析」(vibration analysis)可以概分為4種振動分析類型，分別是：模態Modal、簡諧Harmonic、暫態Transient、頻譜Spectrum。
其次，Why to do? 為什麼要進行「模態分析」？目的在，瞭解結構的「振動模態」(vibration modes)。
接著，What goals? 進行「模態分析」，要達到甚麼目標？要瞭解結構系統的「振動模態」(vibration modes)，就是要得到系統的「模態參數」(Modal parameters)，包括：
1. 𝒇𝒓「自然頻率」(natural frequency)。𝝎𝒓= 𝟐𝝅 𝒇𝒓。𝝎𝒓的單位：rad/sec。𝒇𝒓的單位：Hz。
2. 𝝓𝒓「模態振型」(mode shape)。在SDOF系統，沒有𝝓𝒓。在MDOF系統，𝝓𝒓是{𝝓𝒓}「模態振型向量」(mode shape vector)。在連續系統，𝝓𝒓是𝝓𝒓(𝒙)「模態振型函數」(mode shape function)
3. 𝝃𝒓「阻尼比」(damping ratio)。在SDOF系統，𝒓=
𝟏。在MDOF系統，𝒓=𝟏,𝟐,…𝑵。𝑵是自由度的數量。在連續系統，𝒓=𝟏,𝟐,…。會有無窮多組的「模態參數」。
需要注意的是，三個「模態參數」是成對出現的。也就是每一個「振動模態」，會有三個「模態參數」：𝒇𝒓、𝝓𝒓、𝝃𝒓。
再來，How to do? 如何進行「模態分析」？可以區分兩種方法：
1. 「正交模態分析」(Normal Mode analysis)、或稱「實數模態分析」(Real Mode analysis)。
2. 「複數模態分析」(Complex Mode analysis)。
參閱圖示左下方，顯示「多自由度系統」(MDOF system) 的「運動方程式」(equation of motion, EOM)。
進行「正交模態分析」，係假設系統的「阻尼」(damping)是「比例阻尼」(proportional damping)，也就是「雷利阻尼」(Rayleigh damping)：[𝑪]
= 𝜶[𝑴] + 𝜷[𝑲]。其中，𝜶 和 𝜷
是任意常數。符合這個關係，就稱為「雷利阻尼」(Rayleigh damping)，也就「比例阻尼」系統。
如果，[𝑪]
≠ 𝜶[𝑴]
+ 𝜷[𝑲]，也就是「非比例阻尼」(non-proportional
damping)，進行「模態分析」，不可以忽略[𝑪]，必須納入系統的[𝑪]「阻尼」(damping)效應，就是「複數模態分析」(Complex Mode analysis)。
參閱圖片中間的方程式，針對「正交模態分析」，可忽略{𝒇(𝒕)}：因為，振動模態是系統特性，與外力無關。可忽略[𝑪]：因為是「比例阻尼」。所以，系統的EOM，可以簡化為：[𝑴]{𝒙 ̈ }+[𝑲]{𝒙}={𝟎}。
再令：{𝒙(𝒕)}= {𝑿} 𝒆^𝒊𝝎𝒕。帶入EOM，化簡得到：[𝑲]{𝑿}=𝝎^𝟐 [𝑴]{𝑿}。這個方程式，就是典型的一般化矩陣特徵值問題(generalized eigenvalue problem of matrix)。
求解矩陣特徵值問題：[𝑲]{𝑿}=𝝎^𝟐 [𝑴]{𝑿}。可以得到：「特徵值」(eigenvalue) 𝝎𝒓^𝟐、以及「特徵向量」(eigenvector) {𝑿𝒓}。
由「特徵值」以及「特徵向量」，其物理意義，分別就是：𝝎𝒓= 𝟐𝝅 𝒇𝒓：「自然頻率」(natural frequency)。{𝝓𝒓}：「模態振型向量」(mode shape vector)。𝝎𝒓 → {𝝓𝒓}，𝒓=𝟏,𝟐,…,𝒏。𝝎𝒓 與 {𝝓𝒓}是成對出現。稱為第𝒓個模態的「自然頻率」及第𝒓個模態的位移「模態振型向量」。
𝝃𝒓「模態阻尼比」(modal damping ratio)，則由「雷利阻尼」(Rayleigh damping)：[𝑪]
= 𝜶[𝑴] + 𝜷[𝑲]
的假設，可以推導出：𝝃𝒓 = 𝜶/(𝟐𝝎𝒓) + (𝜷𝝎𝒓)/𝟐。
到這裡，針對「正交模態分析」(Normal Mode analysis)，就可以得到三個「模態參數」：𝒇𝒓、{𝝓𝒓}、𝝃𝒓。其中，{𝝓𝒓}是實數的「位移模態振型」(displacement mode shape)。
接著，讀者可參閱圖片右邊的方程式，針對「複數模態分析」，適用在「非比例阻尼」(non-proportional
damping)系統，不可以忽略[𝑪]，所以需要設定「阻尼」(damping)，才可以進行「模態分析」。
導入等式：[𝑴]{𝒙 ̇
}−[𝑴]{𝒙 ̇ }={𝟎}。結合原始的EOM，請參閱圖片，最後可以得到等效EOM：[𝑨]{𝒚 ̇ }+[𝑩]{𝒚}={𝑭}。其中，{𝒚}是速度向量{𝒙 ̇}，和位移向量{𝒙}的疊合。又，進行「模態分析」，外力{𝑭}={𝟎}，也可以忽略。
再令：{𝒚(𝒕)}= {𝒀}
𝒆^𝝀𝒕。帶入EOM，化簡得到：[𝑩]{𝒀}=−𝝀[𝑨]{𝒀}。這個方程式，也是典型的一般化矩陣特徵值問題(generalized eigenvalue problem of matrix)。
求解矩陣特徵值問題：[𝑩]{𝒀}=−𝝀[𝑨]{𝒀}。可以得到：「特徵值」(eigenvalue) 𝝀𝒓, 𝝀𝒓∗, 𝒓=𝟏,𝟐,…,𝒏，𝝀𝒓 = 𝑹𝒆 + 𝒊 𝑰𝒎 = −𝝃 ̂𝒓
𝝎 ̂𝒓+𝒊𝝎 ̂𝒓 √(𝟏− 𝝃 ̂𝒓^𝟐 )、以及「特徵向量」(eigenvector) {𝒀𝒓 }, {𝒀𝒓∗}, 𝒓=𝟏,𝟐,…,𝒏。在此須注意，分別有𝟐𝒏個成共軛複數的「特徵值」以及對應的「特徵向量」。
由「特徵值」以及「特徵向量」，其物理意義，分別就是：𝝎 ̂𝒓= 𝟐𝝅 𝒇 ̂𝒓：「自然頻率」(natural frequency)。{𝝓 ̂𝒓}：「模態振型向量」(mode shape vector)。𝝎 ̂𝒓 → { 𝝓 ̂𝒓 }，𝒓=𝟏,𝟐,…,𝒏。𝝎𝒓 與 {𝝓𝒓}是成對出現。稱為第𝒓個模態的「自然頻率」及第𝒓個模態的位移「模態振型向量」。其中，𝝎 ̂𝒓=√(〖𝑹𝒆〗^𝟐+〖𝑰𝒎〗^𝟐)，𝝃 ̂𝒓 =𝑹𝒆/√(〖𝑹𝒆〗^𝟐+〖𝑰𝒎〗^𝟐)。
到這裡，針對「複數模態分析」(Complex Mode analysis)，也可以得到三個「模態參數」：𝒇 ̂𝒓、{𝝓 ̂𝒓}、𝝃 ̂𝒓。其中，{ 𝝓 ̂𝒓 }是複數的「位移模態振型」(displacement mode shape)。
綜合一下這個單元的討論，「正交(實數)模態分析」(Normal/Real mode
analysis)，以及「複數模態分析」(Complex mode analysis)，兩種分析的差異，以及如何進行？
由【4W】的思維，來探討「模態分析」(Modal analysis)：(1)
What is? 甚麼是「模態分析」？(2)
Why to do? 為什麼要進行「模態分析」？(3)
What goals? 進行「模態分析」，要達到甚麼目標？(4) How to do?
如何進行「模態分析」？
針對「正交(實數)模態分析」(Normal/Real mode
analysis)，以及「複數模態分析」(Complex mode analysis)，兩種分析的差異，統整如下：
1. 「模態分析」簡化的EOM：「正交(實數)模態分析」是：[𝑴]{𝒙 ̈ }+[𝑲]{𝒙}={𝟎}，可以忽略[𝑪]。而「複數模態分析」是：[𝑨]{𝒚 ̇ }+[𝑩]{𝒚}={𝟎}，不可以忽略[𝑪]。
2. 兩者都是一般化矩陣特徵值問題(generalized
eigenvalue problem of matrix)。「正交(實數)模態分析」是：[𝑲]{𝑿}=𝝎^𝟐 [𝑴]{𝑿}。而「複數模態分析」是：[𝑩]{𝒀}=−𝝀[𝑨]{𝒀}。
3. 由矩陣特徵值問題，可以分別求得「特徵值」(eigenvalue)以及「特徵向量」(eigenvector)。「正交(實數)模態分析」是：「特徵值」(eigenvalue) 𝝎𝒓^𝟐、以及「特徵向量」(eigenvector) {𝑿𝒓}。「複數模態分析」是：「特徵值」(eigenvalue) 𝝀𝒓, 𝝀𝒓∗, 𝒓=𝟏,𝟐,…,𝒏，以及「特徵向量」(eigenvector) {𝒀𝒓 }, {𝒀𝒓∗}, 𝒓=𝟏,𝟐,…,𝒏。其中，𝝀𝒓 = 𝑹𝒆 + 𝒊 𝑰𝒎 = −𝝃 ̂𝒓
𝝎 ̂𝒓+𝒊𝝎 ̂𝒓 √(𝟏− 𝝃 ̂𝒓^𝟐 )。
4. 由「特徵值」以及「特徵向量」，其物理意義，分別就是：「自然頻率」(natural frequency)以及「模態振型向量」(mode shape vector)。「正交(實數)模態分析」是：𝝎𝒓 → {𝝓𝒓}，𝒓=𝟏,𝟐,…,𝒏。以及 𝝃𝒓 = 𝜶/(𝟐𝝎𝒓) + (𝜷𝝎𝒓)/𝟐。「複數模態分析」是：𝝎 ̂𝒓
→ { 𝝓 ̂𝒓 }，𝒓=𝟏,𝟐,…,𝒏。其中，𝝎 ̂𝒓=√(〖𝑹𝒆〗^𝟐+〖𝑰𝒎〗^𝟐)，𝝃 ̂𝒓 =𝑹𝒆/√(〖𝑹𝒆〗^𝟐+〖𝑰𝒎〗^𝟐)。
在「正交模態分析」(Normal Mode analysis)，只適用在「雷利阻尼」(Rayleigh damping)：[𝑪]
= 𝜶[𝑴] + 𝜷[𝑲]
的假設，也就是「比例阻尼」(proportional damping)。可以忽略[𝑪]，以進行「模態分析」。其「特徵值」以及「特徵向量」都是純實數，所以，也稱為「實數模態分析」(Real Mode analysis)。
在「複數模態分析」(Complex Mode analysis)，可適用在「非比例阻尼」(non-proportional damping)系統，不可以忽略[𝑪]，所以需要設定「阻尼」(damping)，才可以進行「模態分析」。其「特徵值」以及「特徵向量」都是共軛複數對(complex
conjugate pair)，所以，稱之為「複數模態分析」(Complex Mode analysis)。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
%E6%A8%A1%E6%85%8B%E5%88%86%E6%9E%90%20vs.%20%E8%A4%87%E6%95%B8%E6%A8%A1%E6%85%8B%E5%88%86%E6%9E%90.jpg)
