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《振動噪音科普專欄》甚麼是振幅調制(Amplitude Modulation)?

 

這個單元的主題:甚麼是振幅調制(Amplitude Modulation)?這是轉動機械的振動量測信號中,常見的一種信號類型,例如:齒輪箱齒輪對的接觸傳動,滾珠/滾子軸承(ball/roller bearing)的內環缺陷(inner race defect),具有多個扇葉的旋轉風扇,以及馬達的轉子偏心(eccentric rotor)、斷裂的轉子條(cracked or broken rotor bar)和鬆動的轉子條(loose rotor bar)等,量測的振動信號就會有振幅調制」的現象

 

這個單元來看振幅調制」信號,著重在其現象的探討與本值的特徵。

 

振幅調制」信號是三個「簡諧波(harmonic waves)的組成,參閱圖示,分別是 𝒙1(𝒕)=𝑿1𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇1 𝒕)𝑿1 = 1𝒇1 = 190 Hz𝒙2(𝒕)=𝑿2𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇2 𝒕)𝑿2 = 2𝒇2 = 200 Hz𝒙3(𝒕)=𝑿3𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇3 𝒕)𝑿3 = 1𝒇3 = 210 Hz。是三個相位角相同的餘弦波。

 

參閱圖示,以及觀看影片的讀者,可以區別出有三個獨立的「簡諧波」,分別如圖示的時間波形,可以看出「振幅值」為 2的信號,是 𝒇2 = 200 Hz,而「振幅值」為 1的信號,有兩個「簡諧波」,分別是𝒇1 = 190 Hz𝒇3 = 210 Hz

 

接下來觀察左下方的時間波形圖示,為此三個「簡諧波」的合成信號,呈現出類似beating拍振/拍擊/重擊」的特徵,放大 𝒕=0.2~0.3之間的信號來看,參閱放大的時間波形圖示,特徵說明如下:

 

1.      𝒕=0.25:合成的信號為零,因為 𝒙2(𝒕) 𝒙1(𝒕) 𝒙3(𝒕)呈現反相(out of phase),有 18相位角度差異,所以合成信號的大小是:𝑿2(𝑿1+ 𝑿3)= 2(1+1)= 0

2.      𝒕=0.2秒及 𝒕=0.3:合成的信號為4,因為 𝒙2(𝒕) 𝒙1(𝒕) 𝒙3(𝒕)呈現同相(in phase),沒有相位角差異,所以合成信號的大小是:𝑿2 +(𝑿1+ 𝑿3)= 2+ (1+1)= 4

 

對此三個「簡諧波」的合成信號,進行「FFT頻譜分析」,可以得其「傅立業頻譜𝑿(𝒇),如預期分別在頻率 𝒇1 = 190 Hz,振幅 𝑿1 = 1𝒇3 = 210 Hz,振幅 𝑿3 = 1,以及頻率 𝒇2 = 200 Hz,振幅 𝑿2 = 2。此「振幅調制」信號,在「傅立業頻譜𝑿(𝒇)有甚麼重要特徵呢?說明如下:

 

1.      中心頻率(center frequency):三個簡諧波的「中心頻率」在此例就是𝒇2 = 200 Hz,其「振幅值」為𝑿2 = 2

2.      邊帶頻率(side band frequency):是除了「中心頻率」外,三個簡諧波的另外兩個頻率的簡諧波,其實際的頻率分別是𝒇1 = 190 Hz𝒇3 = 210 Hz,有一個重要特徵是,𝒇2𝒇1= 10 Hz,而且,𝒇3𝒇2= 10 Hz,因此,「邊帶頻率」就是 10 Hz。而𝒇1 = 190 Hz𝒇3 = 210 Hz的兩個簡諧波稱為「邊帶(side bands)

 

所以,可以知道振幅調制」信號,是三個「簡諧波」的合成信號,有一個「中心頻率」,另外有兩個「邊帶」的「簡諧波」,分別減少及增加了「邊帶頻率」。在此範例,「中心頻率」是 𝒇2 = 200 Hz,「邊帶頻率」是 10 Hz,所以,兩個「邊帶」的「簡諧波」,分別是 𝒇1 = 190 Hz 𝒇3 = 210 Hz

 

接下來,要觀察探討的是「振幅調制」三個「簡諧波」信號,他們的「振幅值」對時間波形差異的影響。

 

以下的討論,令兩個「邊帶」的「簡諧波」之「振幅值」都是𝑿1 = 1𝑿3 = 1,變化不同的「中心頻率」之「振幅值𝑿2,說明如下:

 

1.      中心頻率」之「振幅值𝑿2= 3:參閱右側第一個圖示,在「傅立業頻譜𝑿(𝒇)3個峰值(peaks),分別對應了「中心頻率」,以及兩個「邊帶」的「簡諧波」之實際頻率,而3個峰值(peaks)頻率對應的「振幅值」,均如預期是𝑿2 = 3,以及𝑿1 = 1𝑿3 = 1。在「時間波形𝒙(𝒕),波動信號的最大值為5,低值為1。因為,最大值為 𝑿2 +(𝑿1+ 𝑿3)= 3+ (1+1)= 5,低值為𝑿2(𝑿1+ 𝑿3)= 3(1+1)= 1

2.      中心頻率」之「振幅值𝑿2= 5:參閱右側第二個圖示,在「傅立業頻譜𝑿(𝒇)3個峰值(peaks),分別對應了「中心頻率」,以及兩個「邊帶」的「簡諧波」之實際頻率,而3個峰值(peaks)頻率對應的「振幅值」,均如預期是𝑿2 = 5,以及𝑿1 = 1𝑿3 = 1。在「時間波形𝒙(𝒕),波動信號的最大值為7,低值為3。因為,最大值為 𝑿2 +(𝑿1+ 𝑿3)= 5+ (1+1)= 7,低值為𝑿2(𝑿1+ 𝑿3)= 5(1+1)= 3

3.      中心頻率」之「振幅值𝑿2= 7:參閱右側第三個圖示,在「傅立業頻譜𝑿(𝒇)3個峰值(peaks),分別對應了「中心頻率」,以及兩個「邊帶」的「簡諧波」之實際頻率,而3個峰值(peaks)頻率對應的「振幅值」,均如預期是𝑿2 = 7,以及𝑿1 = 1𝑿3 = 1。在「時間波形𝒙(𝒕),波動信號的最大值為9,低值為5。因為,最大值為 𝑿2 +(𝑿1+ 𝑿3)= 7+ (1+1)= 9,低值為𝑿2(𝑿1+ 𝑿3)= 7(1+1)= 5

 

由以上討論,可以觀察出振幅調制」的合成信號,在時間波形的特徵,會因為「中心頻率」的「振幅值」差異而有不同的效應。當兩個「邊帶」的「簡諧波」之「振幅值」,和「中心頻率」的「振幅值」很相近時,呈現出強烈的beating拍振/拍擊/重擊」的特徵,的循環聽感。

 

如果,兩個「邊帶」的「簡諧波」之「振幅值」,和「中心頻率」的「振幅值」差異較大時,「beating拍振/拍擊/重擊循環聽感,就不會那麼強烈。

 

在此要特別注意,「振幅調制」的信號和「拍振/拍擊/重擊」的信號,在時間波形的特徵是相似的,從時間波形是無法區別,此信號是「振幅調制」或是「拍振/拍擊/重擊」的信號。

 

要區別「振幅調制」的信號和「拍振/拍擊/重擊」的信號,必須由「傅立業頻譜𝑿(𝒇),才可以區別出來。「振幅調制」的信號是三個「簡諧波」的合成信號,而「拍振/拍擊/重擊」的信號是兩個「簡諧波」的合成信號。

 

綜合一下本單元有關「振幅調制」信號的討論,統整如下:

 

1.      振幅調制」的信號是三個「簡諧波」的合成信號。

2.      振幅調制」的信號,在時間波形,和「拍振/拍擊/重擊」信號有相同的特徵。

3.      振幅調制」的三個「簡諧波」信號,一個是「中心頻率」,另外兩個是「邊帶」的「簡諧波」。而且,這兩個「邊帶」的「簡諧波」之頻率與「中心頻率」的差值相同。

4.      邊帶頻率」是「中心頻率」和兩個「邊帶」的「簡諧波」頻率之差值。

5.      中心頻率」和「邊帶」的「簡諧波」之「振幅值」會影響時間波形的特徵。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2020.10.15

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