這個單元要來探討的主題是：如何建構「離散系統」(discrete system)的「數學模型」(mathematical model)？-
以「質塊與滑輪系統」(mass and pully system)為例。
「質塊與滑輪系統」在許多振動學教科書都有介紹，參閱圖示右上方是一個典型的「質塊與滑輪系統」，有一個「質塊」(mass)，質量為𝒎，兩個「滑輪」(pully)，頂端有一個「彈簧線」(spring rope)，另外有兩條單純的「繩線」(rope)，串接了整個「質塊與滑輪系統」。
觀察此「質塊與滑輪系統」，如果𝒎「質塊」有上下運動，則「滑輪A」和「滑輪B」也會有連動的運動，如果，要分析此系統的運動狀態，就需要求得系統的「自然頻率」(natural frequency)。因此，要對此「實際結構」(real structure)進行「數學建模」(mathematical modeling)，以能夠得到對應於「實際結構」的等效「數學模型」(mathematical model)。
雖然如圖示的「質塊與滑輪系統」，已經很接近「數學模型」，不過，實際上仍是「實際結構」的示意圖。同時，此系統可以視為「離散系統」(discrete system)。
回顧先前單元：#315，【如何建構「離散系統」的「數學模型」？- 搖頭娃娃】，介紹了針對「離散系統」(discrete system)的「數學建模」，有7個步驟，摘錄如下，包括：
1. 定義系統之質塊元件：Mass element
2. 定義系統之連接元件：K & C elements
3. 定義系統之自由度：DOF
4. 定義系統之邊界條件：Boundary
5. 定義系統之輸入條件：Input / Loading
6. 定義系統之初始條件：Initial Condition (I.C.)
7. 定義有興趣之系統輸出參數：Output Variables
以下就針對此「質塊與滑輪系統」，依照7個步驟，參閱圖示左下方的「數學模型」示意圖，或是觀看影片，可以逐項的來進行「數學建模」，以取得系統的「數學模型」，說明如下：
1. Mass element：系統有一個「質塊」(mass)，質量為𝒎，在此假設為集中質量塊(concentrated mass)。另外，「滑輪A」和「滑輪B」也可視為「質塊」，只是，一般的「質塊與滑輪系統」，其中的「質塊」質量𝒎，遠大於「滑輪」的質量，所以，可以合理的忽略「滑輪」質量，因此，假設「滑輪」為無質量。如果，考慮「滑輪」的質量，這個系統，就會是「多自由度系統」(MDOF system)。
2. K & C elements：首先看的是兩條單純的「繩線」(rope)，也是連接元件(connection element)。假設「繩線」與「滑輪」的接觸，是「純滾動」(pure rolling)接觸、且無滑移、滑動(slip)。另外，頂部的「彈簧線」(spring rope)，就是為「線性彈簧」(spring)，所以定義了「彈簧常數」(spring constant) 𝒌。
3. DOF：「自由度」Degree-of-Freedom (DOF)，每一個Mass element，都要定義其「自由度」。所以，如圖示：𝒙𝟏(𝒕)、𝒙𝟐(𝒕)、𝒙𝟑(𝒕)，分別定義了𝒎「質塊」、「滑輪A」、「滑輪B」的DOF。
4. Boundary：「邊界」，如圖示位置，很明確，有3個「邊界」。另外，歸類在Boundary，還包括：兩個「滑輪」的旋轉中心，假設為銷接(pin joint)，可自由旋轉、且無摩擦(frictionless)。
5. Input / Loading：系統的「輸入」或「負荷」，如圖示，令有外力𝒇(𝒕)，作用於「質塊」。
6. Initial Condition (I.C.)：「初始條件」，理念上，每一個系統「自由度」(DOF)，都可以定義I.C.，在此僅定義𝒙𝟏(𝒕)的I.C.：𝒙𝟏𝟎, 𝒗𝟏𝟎，分別是𝒙𝟏(𝒕)的初始位移及初始速度。
7. Output Variables：甚麼是有興趣之系統輸出參數？以振動分析來說，通常會需要瞭解是否有「共振」(resonance)？所以，必須求得系統的「自然頻率」(natural frequency)。
最後，統整一下這個單元的討論，以「質塊與滑輪系統」為例，來探討如何建構「離散系統」(discrete system)的「數學模型」(mathematical model)，總結如下：
1. 考慮的「實際結構」(real structure)，是「質塊與滑輪系統」(mass and pully system)。
2. 針對「質塊與滑輪系統」，介紹了「數學建模」(mathematical modeling) 7個步驟的詳細流程，以及說明了重要的相關假設(assumption)。
3. 最後，得到了對應於「實際結構」的等效「數學模型」(mathematical model)，接著，就可以進行後續的相關分析。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
