這個單元來探討的主題：結構振動分析的步驟與流程，會以「多自由度」 (multiple degree of
freedom, MDOF)系統為例，來說明。
要進行一個結構的「振動分析」，是有多個步驟程序，參閱圖1，說明如下：
1. 數學模型化(mathematical modeling)：對「實際結構」(real structure)，進行「數學模型化」，可以得到結構的「數學模型」(mathematical
model)。
2. 推導運動方程式(derivation of equation of
motion (EOM))：由結構的「數學模型」，進行「推導運動方程式」，可以得到可描述系統的「系統方程式」(system equations)，不同系統特性，會有不同的數學方程式，例如：「單自由度系統」是二階的常微分方程式，「多自由度系統」會是二階的聯立常微分方程式，而「連續系統」則是偏微分程式。
3. 模態分析(modal analysis)：由得到的「系統方程式」，進行「理論模態分析」，可以求得系統的「模態參數」。進而，可以將原始物理域的「系統方程式」，以「模態參數」表示成模態域的「系統方程式」，此步驟有助於後續的響應分析。
4. 模態域數學模型(modal domain mathematical model)：由模態域的「系統方程式」，可以描繪出等效於「實際結構」、以及等效於物理域的「數學模型」，所對應的模態域的「數學模型」，於此，有助於瞭解結構的「模態參數」特徵。
5. 簡諧響應分析(harmonic response analysis)：係基於系統受到「簡諧激振」(harmonic excitation)假設，可以求得系統的「簡諧響應」(harmonic response)，稱之為「頻率響應函數」(frequency
response function, FRF)。
6. 暫態響應分析(transient response analysis)：若結構系統受到已知的時間域「外力」(external force)，透過「暫態響應分析」，可求得結構系統如位移的「時間域響應」。
7. 頻譜響應分析(spectrum response analysis)：如果，結構系統受到的是「隨機」(random)的「外部激振」(external
excitation)，透過「頻譜響應分析」，可求得結構系統如位移的「頻率域響應」。
如果，對一個結構進行「實驗模態分析」(experimental modal analysis,
EMA)，大致會是反向的程序，先量測得到結構系統的「時間域響應」，再利用FFT求得其「頻率響應」，進而可得到「頻率響應函數」，再以「曲線嵌合」(curve fitting)，求得結構的「模態參數」。有關此主題，我們再另闢單元討論。
這個單元將探討「多自由度系統」，如何透過圖示的這些程序步驟，進行結構振動分析。首先，回顧一下先前單元#172：【「外力激振」的「多自由度系統」之振動分析】，參閱圖2，簡要說明如下：
1. 實體結構：是由一系列的「質塊」和「彈簧」堆疊起來的「多自由度系統」(MDOF system)，每一個「質塊」有外力作用，也有垂直方向的運動。
2. 數學模型：對應實體結構，可透過「數學模型化」(mathematical modeling)的步驟，取得「物理域數學模型」(physical mathematical model)。需要明確定義：「系統參數」(system parameters)、「輸入參數」(input parameters)、「輸出參數」(output parameters)，也就是ISO/SPR的理念。
3. 運動方程式：有了「數學模型」(mathematical model)，要以理論解析方式探討，就要先推導「系統運動方程式」(system equations of motion)，參閱圖示完整的「數學方程式」。
接下來，回顧一下「振動分析」，可以藉由”4W”的思考想一下「振動分析」：
1. What is?：甚麼是「振動分析」？
2. Why to do?：為什麼要進行「振動分析」？
3. What to get/know?：進行「振動分析」可以得到/知道甚麼？
4. How to do?：如何進行「振動分析」？
一個結構的「振動」「分析」，可以分為四種類型，從”WHY to
do?”及”WHAT to get/know?”分別說明如下：
1. 模態分析(modal analysis)：”WHY”：瞭解結構的「振動模態」(vibration mode)。”WHAT
to get?”：求得結構的「模態參數」(modal parameters)。
2. 簡諧響應分析(harmonic response analysis)：”WHY”：瞭解結構系統的「頻譜響應」特性。”WHAT to get?”： 求得結構的「頻率響應函數」(frequency
response function, FRF)。
3. 暫態響應分析(transient response analysis)：”WHY”：瞭解結構系統受到「外部激振」的系統「時間域響應」。”WHAT to get?”：求得結構系統如位移的「時間域響應」。
4. 頻譜響應分析(spectrum response analysis)：”WHY”：瞭解結構系統受到「隨機」(random)的「外部激振」之系統「響應」。”WHAT
to get?”：求得結構系統如位移的「頻率域響應」。
由圖1，是結構振動分析的步驟流程，會以另外一角度，來看如何進行「多自由度系統」的四種「振動分析」。由圖1的流程圖，可以從兩個方向討論：
1.
振動理論分析：「由上而下」的流程，是進行「振動理論分析」的程序步驟，也就是本單元的討論重點。
2.
實驗模態分析：「由下而上」的流程，則是進行「實驗模態分析」的程序步驟，我們再另闢單元討論。
要進行一個結構的「振動分析」，是有多個步驟程序，參閱圖1，在此取「多自由度系統」以此程序步驟，進行探討：
1. 數學模型化(mathematical modeling)：首先有「實際結構」，是由一系列的「質塊」和「彈簧」堆疊起來的「多自由度系統」(MDOF system)，每一個「質塊」有外力作用，也有垂直方向的運動。進行「數學模型化」，可以得到如圖示對應的「數學模型」。其中，「系統參數」(system parameters)，就是：mi、ci、ki，分別是第 i 個質塊的「質量」、第 i 個彈簧的「黏滯阻尼係數」、及其「彈簧常數」。可以定義每一個「質塊」的「自由度」(degree of freedom, DOF)，只有在垂直方向運動，以變數符號xi(t)表示，第 i 個質塊的位移，也可以說是第
i 個自由度的位移，i=1,2,…,n，是n個自由度的系統。一個振動系統的輸入，可以概分為：「外部激振」以及「初始條件」。在此系統的「外部激振」，以fj(t)表示，為作用在第j個自由度的外力。而「初始條件」分別為每一個「質塊」的「初始位移」及「初始速度」，分別以xi(0)及vi(0)表示。
2. 推導運動方程式(derivation of equation of
motion (EOM))：對此「多自由度系統」的「數學模型」，可以得到n個聯立的「二階常微分方程式」，每一個方程式來自每一個「質塊」的平衡方程式。「系統運動方程式」可以寫成如圖顯示的「矩陣」形式，其中，[M]、[C]、[K]分別是系統的質量、阻尼、剛性矩陣，{x}、{v}、{a}分別為系統的位移、速度、加速度輸出向量。等號右邊 {f} 是外力向量。因為是 n 個「自由度」系統，矩陣是 nxn 的大小，向量是 nx1 。也需要定義「初始條件」，分別為 {X0}、{V0} 是初始位移及初始速度向量。
3. 模態分析(modal analysis)：主要在求得結構的「模態參數」(modal parameters)。在此「多自由度系統」的「模態參數」為：「自然頻率」，ωr，「模態振型向量」，{φr}，「模態阻尼比」，ξr。其中，r=1,2,…,n，共有n個「振動模態」(vibration modes)。又，「模態振型向量」{φr}與系統矩陣[M]、[C]、[K]，有正交性關係(orthonormal)，如圖顯示的三個方程式。重要的是可以得到以「模態參數」表示的「模態方程式」(modal
equations)，以及對應此「模態方程式」的 n 個獨立的「單自由度系統」，此「模態域」方程式與前述的「物理域」之「系統運動方程式」，是等效的(equivalent)。而且，n 個獨立的「單自由度系統」，與「實體結構」(real structure)也是等效的。
4. 模態域數學模型(modal domain mathematical model)：有了系統原始的「物理域系統方程式」，可以轉換為以「模態參數」表示的「模態域系統方程式」。在此，「模態域數學模型」是以「自然頻率」，ωr，「模態阻尼比」，ξr所表示的n 個獨立的「單自由度系統」。值得注意的是，此「模態域系統方程式」和「物理域系統方程式」所對應的「模態域數學模型」和「物理域數學模型」是等效的。
5. 簡諧響應分析(harmonic response analysis)：主要在求得結構的「頻率響應函數」(frequency
response function, FRF)。因為是「多自由度系統」，有n個自由度，圖示以[H(ω)]代表，是「頻率響應函數矩陣」，矩陣大小是nxn。其中，第 i 列、第 j行的「頻率響應函數」，可以寫為Hij(ω)，物理意義是：結構在第 j 個自由度，受到「簡諧激振」(harmonic excitation)，其「外力振幅」Fj，而系統的「穩態響應」也是「簡諧響應」，第 i 個自由度其「位移振幅」Xi，所以Hij(ω)是輸出的「位移振幅」Xi除以輸入的「外力振幅」Fj。Hij(ω)=Xi/Fj，完整的表示式，請參閱圖示，可以觀察得知，Hij(ω) 和「模態參數」：ωr、{φr}、ξr，及「激振頻率」：ω=2πf相關。典型的「多自由度系統」之「頻率響應函數」Hij(ω) 的振幅圖，如圖示，係由每一個自由度的「模態響應」組合而成。
6. 暫態響應分析(transient response analysis)：主要在求得結構系統如位移的「時間域響應」。當已知系統的外力 {f(t)}，以及各個質塊本身的「初始位移向量」 {X0} 及「初始速度向量」{V0}。可以求得「輸出」是 {x(t)}，為系統每一個質塊的位移「時間域響應」。由圖示的xi(t)方程式，可以看到是「模態座標」(modal coordinate) qr(t)，與「模態振型向量」{φr} 的線性組合(linear
combination)，此稱為「擴充原理」(expansion theorem)。
7. 頻譜響應分析(spectrum response analysis)：當結構系統受到「隨機」的「外部激振」時，如圖示的「隨機外力」{f(t)}，若以前項的「暫態響應分析」方式求解「時間域響應」，雖然可行，但是不容易解析、也曠日廢時，所以會將「隨機外力」{f(t)}，進行FFT(快速傅立業轉換)【甚麼是頻譜分析？】，求得「隨機外力」的「自身功率頻譜矩陣」[Gff(ω)]，透過「頻譜響應分析」方式，求解得到系統的位移「頻率域響應」[Gxx(ω)]，也就是位移的「功率頻譜密度函數」。對任一個自由度的Gxx(ω) 取積分、開根號，可以求得該自由度位移的「平方平均根值」(RMS, root mean square)，相當於瞭解了結構的位移響應量值大小，可達到分析目的。
綜合本單元的討論，是從先前單元#172：【「外力激振」的「多自由度系統」之振動分析】談起，是個別的看「實際結構」、「數學模型」、及「系統方程式」，以及有四種「振動分析」：「模態分析」、「簡諧響應分析」、「暫態響應分析」、「頻譜響應分析」。而本單元的討論，則是將這些個別的分析工作事項(tasks)，綜合歸納了系統化的結構振動分析步驟，以流程化的方式呈現及討論。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2020.08.04
 |
| 圖1、結構振動分析步驟流程：MDOF系統 |
