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《振動噪音科普專欄》甚麼是「對數衰減」?


這個單元的主題:「對數衰減(logarithmic decrement),是阻尼」的特徵之一,為了探討對數衰減」的名詞定義,以及相關的應用,還是需要從圖示的「質塊彈簧之實體結構」談起。

在先前單元:【如何求得彈簧的彈簧常數?】,對圖示「質塊彈簧之實體結構」,進行「數學模型化(mathematical modeling),可以得到對應的「數學模型(mathematical model),包括:「質量m、「黏滯阻尼係數c、「彈簧常數k,可稱為「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」,是典型的振動學課程重要單元之一。

又由先前單元:【工程實務上,如何表示阻尼?黏滯阻尼的特性】,最常採用的「黏滯阻尼模型(viscous damping model),也就是圖示的「數學模型」,可以得到其「運動方程式」:ma+cv+kx=f(t)。【備註:比較明確的數學方程式,請讀者參考圖示,在文字說明,受限於方程式編寫,分別以xva,代表位移速度加速度。】

由「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」,得到其「運動方程式」,因為是「二階的常微分方程式」,所以需要兩個「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0

接著,需要了解「阻尼比ξ的定義,摘錄先前單元:【工程實務上,如何表示阻尼?黏滯阻尼的特性】,「阻尼比」是「黏滯阻尼比」的簡稱,說明如下:

1.      黏滯阻尼比(viscous damping ratio):以ξ代表,定義是:ξ=c/Cc。其中,c是「黏滯阻尼係數」,Cc 是「臨界黏滯阻尼係數」如下說明
2.      「臨界黏滯阻尼係數」(critical viscous damping coefficient):以Cc代表,定義可參閱圖示,摘錄如下,Cc=2*(mk)^0.5=2mωn,其中,ωn=(k/m)^0.5,是系統的「無阻尼自然頻率」。

在先前單元的主題:【不同阻尼比對質塊的振動有甚麼影響?】,當0<ξ<1是「次阻尼(under-damped)狀態,也就是「黏滯阻尼係數c介於0Cc之間,此系統的質塊運動狀態呈現來回振盪的衰減現象,而且,「阻尼比ξ越大,質塊振盪的振幅就衰減越快。

參閱圖示,針對次阻尼」狀態,0<ξ<1質塊來回振盪的位移衰減信號,做進一步的解析討論如下:

1.      f(t)=0,有初始位移X0及「初始速度V0初始條件」:質塊的初始狀態,即如圖示顯示的質塊初始位移,及其速度向量。
2.      因為,系統是「次阻尼」狀態,0<ξ<1,所以,質塊會呈現來回振盪的現象,而振盪的週期具有規律性,週期T=2π/ωd,其中,ωd=ωn*sqrt(1-ξ^2)為「阻尼自然頻率(damped natural frequency),而ωn=(k/m)^0.5,是「無阻尼自然頻率(undamped natural frequency)。若是,阻尼比很小,則ωd~=ωn,也就是「阻尼自然頻率」相近於「無阻尼自然頻率」。
3.      質塊的衰減現象,係與exp(–ξωn t)相關,因為指數函數為負值,所以,質塊的運動會隨時間增長,而逐漸衰減到零。其中,ξωn可以定義為「衰減率」,代表質塊來回振盪衰減的速率。可以看出:「阻尼比ξ越大,「衰減率」越大;「無阻尼自然頻率ωn越大,「衰減率」也越大。當「衰減率」ξωn越大,則質塊來回振盪的衰減速率就越快。

了解了mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」,在「次阻尼」狀態,0<ξ<1質塊有來回振盪的位移衰減信號的特徵,可以定義「對數衰減δ及其與阻尼比ξ的關係,說明如下:

1.      對數衰減δ:參閱圖示的方程式,摘錄如下,δ=1/(n-1)*ln(x1/xn),當n=2n=3,可寫出不同的「對數衰減δ表示式,可參閱圖示。
2.      阻尼比ξ:和「對數衰減δ,有如圖示的關係式,ξ=δ/sqrt((2π)^2+δ^2)
3.      如果,阻尼比ξ很小,阻尼比ξ和「對數衰減δ的關係式,可以化簡為:ξ=δ/2π

這個單元的重點,在介紹「對數衰減δ的理念及其定義。需要注意的是,只有適用在系統的阻尼是次阻尼」狀態。由於實務上,結構系統大都是0<ξ<1的「次阻尼」狀態,所以,了解對數衰減δ有其需要性,也可以應用在測定「黏滯阻尼係數」的時間域方法,將另闢單元討論。

這個單元,主要是探討了對數衰減δ的理念及其定義,由mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」的質塊位移響應之動態特性分析,可以得到,「阻尼比ξ和「對數衰減δ的關係式,未來還可應用到求得系統黏滯阻尼係數」,希望由本單元的探討,讀者能夠初步了解「對數衰減δ的特徵以及其定義。

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2019.08.08






【2019振動噪音實驗與分析技術研討會】9/24(二)於北科大,歡迎各位先進參加



【振動噪音產學技術聯盟】定於108924()假國立臺北科技大學辦理『2019振動噪音實驗與分析技術研討會』。
本研討會以媒介E類設備端會員與A類應用端廠商/T類學研會員/R類法人單位互動交流為目標,邀請到
虎門科技、山衛科技、基太克、艾爾錡科技、皮托科技、屏科大王栢村教授、臺灣大學馬劍清教授、彰師大黃宜正教授、中央大學吳育仁教授、逢甲大學林葳教授、北科大練光祐教授、北科大陳清祺教授
進行振動噪音相關主題的專題演講,提供振動與噪音量測最新技術與設備新知,敬邀各界先進參加~


一、日期/地點:108924() 國立臺北科技大學 綜合科館 第三演講廳
二、報名費用:免費參加,名額有限請盡早報名
三、報名方式:線上報名https://reurl.cc/RaRrZ
四、報名截止日期:20190914()
五、展示設備商:虎門科技、山衛科技、基太克、艾爾錡科技、皮托科技、國立臺北科技大學、振動噪音產學技術聯盟
六、議程:
108年9月24日 國立臺北科技大學 綜合科館 第三演講廳
時間主題主講人
09:10~09:30註冊報到
09:30~09:40開幕致詞王栢村教授
/蕭俊祥教授
09:40~10:10固體動態問題量測
技術開發與工程應用
台灣大學
馬劍清教授
10:10~10:40利用特徵工程進行機器
失效診斷之機器學習
彰師大
黃宜正教授
10:40~11:10會員交流諮詢
11:10~11:30振動攝影介紹基太克
陳諺賢工程師
11:30~12:00多聲源定位技術之探討北科大
練光祐教授
12:00~13:00美味午餐&會員交流
13:00~13:30齒輪傳動系統
之振動分析及故障診斷
中央大學
吳育仁教授
13:30~13:50A Practical Strategy of
Building Factory Condition
Monitoring Solutions
艾爾錡科技
錢懷清博士
13:50~14:10COMSOL Multiphysics
振動噪音模擬分析
皮托科技
楊棟焜處長
14:10~14:30會員交流諮詢
14:30~14:50Electric Machine NVH虎門科技
許琦偉經理
14:50~15:20耐高溫超音波應用
於射出成型檢測技術
北科大
陳清祺教授
15:20~15:40會員交流諮詢
15:40~16:10都市商業步行空間
之聲場客觀評價研究
逢甲大學
林葳教授
16:10~16:30如何整合振噪聯盟,
以提升工業4.0的安全、
性能、品質與可靠度
山衛科技
王建智經理
16:30~17:00從工業4.0看振動噪音
技術在產業的應用
屏科大
王栢村教授
17:00研討會結束
本場次設攤廠商:虎門科技、山衛科技、基太克、
艾爾錡科技、皮托科技、國立臺北科技大學、
振動噪音產學技術聯盟
l   主辦單位:科技部、國立屏東科技大學「振動噪音產學技術聯盟」、國立臺北科技大學
l   協辦單位:正修科技大學、國立彰化師範大學 、高苑科技大學、中華民國振動與噪音工程學會
l   研討會聯絡人:邱閔榆專員 (08)770-3202#7036




《振動噪音科普專欄》不同阻尼比對質塊的振動有甚麼影響?


這個單元的主題:【不同阻尼比對質塊的振動有甚麼影響?】,首先,破題的思考:甚麼是「阻尼比」?「阻尼」和「阻尼比」有不同嗎?不同的「阻尼比」為什麼對質塊的振動有影響?又,先前單元的「阻尼比」都是「正值」,會有「負值」的「阻尼比」嗎?那麼「負阻尼比」對質塊的振動影響又是如何呢?

在先前單元:【如何求得彈簧的彈簧常數?】,對圖示「質塊彈簧之實體結構」,進行「數學模型化(mathematical modeling),可以得到對應的「數學模型(mathematical model),包括:「質量m、「黏滯阻尼係數c、「彈簧常數k,可稱為「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」,是典型的振動學課程重要單元之一。

又由先前單元:【工程實務上,如何表示阻尼?黏滯阻尼的特性】,最常採用的「黏滯阻尼模型(viscous damping model),也就是圖示的「數學模型」,可以得到其「運動方程式」:ma+cv+kx=f(t)。【備註:比較明確的數學方程式,請讀者參考圖示,在文字說明,受限於方程式編寫,分別以xva,代表位移速度加速度。】

由「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」,得到其「運動方程式」,因為是「二階的常微分方程式」,所以需要兩個「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0

接著,甚麼是「阻尼比」呢?摘錄先前單元:【工程實務上,如何表示阻尼?黏滯阻尼的特性】,「阻尼比」是「黏滯阻尼比」的簡稱,說明如下:

1.      黏滯阻尼比(viscous damping ratio):以ξ代表,定義是:ξ=c/Cc。其中,c是「黏滯阻尼係數」,Cc 是「臨界黏滯阻尼係數」如下說明
2.      「臨界黏滯阻尼係數」(critical viscous damping coefficient):以Cc代表,定義可參閱圖示,摘錄如下,Cc=2*(mk)^0.5=2mωn,其中,ωn=(k/m)^0.5,是系統的無阻尼狀態的「自然頻率」。

阻尼」和「阻尼比」有不同嗎?「阻尼(damping),是一個泛用名詞,是一種消耗能量的機制。一般材料本身都有「阻尼效應」。從「微觀」角度來說,可以想像一個材料構件,因為結構體的變形,使得材料分子之間有摩擦,而產生磨擦的能量損失,即為「阻尼效應(damping effect)

有了以上的背景知識,就來探討【不同阻尼比對質塊的振動有甚麼影響?】,參考圖示,將
阻尼比ξ,以數線畫出來,有3個紅色點的標示,分別是:ξ=0ξ=1、及ξ=–1,以下就各種「阻尼比ξ的狀態,令質塊受到「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0的作用,來探討質塊的運動狀態:

1.      ξ=0,無阻尼(undamped):也就是「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」,其中的「黏滯阻尼係數c=0。當質塊受到「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0的作用,因為是無阻尼,所以質塊會來回振盪不停,這在現實世界中是不存在的,可以說是一種假設的理想狀態。
2.      0<ξ<1,次阻尼(under-damped):「黏滯阻尼係數c介於0Cc之間,此系統的質塊運動狀態呈現來回振盪的衰減現象,而且,「阻尼比ξ越大,質塊振盪的振幅就衰減越快。
3.      ξ=1,臨界阻尼(critically damped):當「黏滯阻尼係數c=Cc,質塊受到相同「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0的作用,質塊由於受到「初始速度V0作用,質塊會穿越x=0的初始位置,而後質塊振幅急速的衰減,並不會有如「次阻尼」狀態的來回振盪現象,這就是需要定義「臨界阻尼」的原因。
4.      ξ>1,過阻尼(over-damped):如果「黏滯阻尼係數c>Cc,此系統的質塊運動呈現和「臨界阻尼」相似的狀態,質塊由於受到「初始速度V0作用,質塊會穿越x=0的初始位置,而後質塊振幅急速的衰減,同樣不會有如「次阻尼」狀態的來回振盪現象。
5.      ξ<0,負阻尼(negative damping):對於如質塊彈簧的實體結構,彈簧材料都有「正阻尼」的效應,現實世界中,還沒有發現有「負阻尼」的材料,如果,能找到「負阻尼」材料配方,應該會是下一屆諾貝爾得獎候選人。那麼,為什麼會有「負阻尼」呢?若是以「等效系統(equivalent system)來說,「黏滯阻尼係數c就有可能為「負值」,而形成「負阻尼」的效應,如以下討論,將會觀察到質塊的運動會呈現「發散」的「不穩定」現象。
6.      1<ξ<0,負次阻尼(negatively under-damped):也就是「黏滯阻尼係數c介於0–Cc之間,此系統的質塊運動狀態呈現「來回振盪」的「發散」現象,而且,「負阻尼比ξ越小,質塊振盪的振幅就發散越快,這種大振幅振動的發散現象,在實務上是不樂見的,會造成結構系統的破壞。
7.      ξ=1,負臨界阻尼(negatively critical damped):當「黏滯阻尼係數c=–Cc,質塊受到相同「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0的作用,質塊由於受到「初始速度V0作用,質塊會穿越x=0的初始位置,而後質塊振幅急速的發散,並不會有如「負次阻尼」狀態的來回振盪之發散現象。
8.      ξ<1,負過阻尼(negatively over-damped):如果「黏滯阻尼係數c<–Cc,此系統的質塊運動呈現和「負臨界阻尼」相似的狀態,質塊由於受到「初始速度V0作用,質塊會穿越x=0的初始位置,而後質塊振幅急速的發散,同樣不會有如「負次阻尼」狀態的來回振盪之發散現象。

綜合一下以上的討論,是對「阻尼比ξ,劃出一條數線,再歸納討論如下:

1.      ξ=0,無阻尼,為分界點,可以區別出「正阻尼」及「負阻尼」。
2.      正阻尼」效應會使系統的振動響應有衰減的收斂現象。而「負阻尼」效應,會使得系統有發散的不穩定現象。
3.      不管是「正次阻尼」、或是「負次阻尼」,質塊都會有「來回振盪」的現象。在「正次阻尼」時,質塊呈現來回振盪的「衰減收斂」現象;而「負次阻尼」,質塊呈現來回振盪的「發散不穩定」現象。
4.      當「阻尼比ξ大於等於「正臨界阻尼」或小於等於「負臨界阻尼」,質塊就不會有「來回振盪」的現象。

這個單元,主要是探討了「質塊彈簧之實體結構」,以「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」的動態分析,呈現了【不同阻尼比,對質塊的振動有甚麼影響?】。其中,最主要的理念是「阻尼」和「阻尼」的「衰減」和「發散」差異,以及「臨界阻尼」和「臨界阻尼」的「有來回振盪」和「沒有來回振盪」的運動狀態差異。希望由本單元的探討,讀者能夠初步了解不同阻尼」的特徵,以及其不同振動「衰減收斂」、或「發散不穩定」現象的差異。

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2019.08.07

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