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《振動噪音科普專欄》結構振動分析步驟流程:SDOF系統


這個單元來探討的主題:結構振動分析的步驟流程,會以單自由度 (single degree of freedom, SDOF)系統為例,來說明。

要說明之前,首先,回顧一下先前的單元:【「外力激振」的「單自由度系統」之振動分析】,參閱1,簡要說明如下:

1.      實體結構:也就是左上方圖示的質塊彈簧之實體結構」。以一個質塊」安置在「彈簧」的上方,而「彈簧」的另一端是固定在邊界上。如果,對「質塊」施予外力,「質塊」就會上下來回振盪,可以觀察「質塊」的「位移」運動狀態。
2.      數學模型:對此「質塊彈簧之實體結構」,進行「數學模型化(mathematical modeling),可以得到如圖示對應的「數學模型(mathematical model)。其中,「系統參數(system parameters),就是:mck,分別是質塊的「質量」、彈簧的「黏滯阻尼係數」、彈簧的「彈簧常數」。「輸入」是f(t),為系統的外力,以及質塊本身的「初始位移X0及「初始速度V0。「輸出」是x(t),為系統質塊的位移響應。
3.      運動方程式ma+cv+kx=f(t)。是「二階的常微分方程式」,所以需要兩個「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0。【備註:比較明確的數學方程式,請讀者參考圖示,在文字說明,受限於方程式編寫,分別以xva,代表位移速度加速度。】

接下來,可以藉由4W的思考想一下「振動分析」:

1.      What is?甚麼是「振動分析」?
2.      Why to do?為什麼要進行「振動分析」?
3.      What to get/know?:進行「振動分析」可以得到/知道甚麼
4.      How to do?如何進行「振動分析」?

接著,甚麼是「振動分析」?一個結構的「振動」「分析」,就是透過理論或實驗方法進行「分析」,以瞭解結構的「振動」現象、行為、特徵及影響。

一個結構的「振動」「分析」,可以分為四種類型,從WHY to do?WHAT to get/know?分別說明如下:

1.      模態分析(modal analysis)WHY:瞭解結構的「振動模態(vibration mode)WHAT to get?:求得結構的「模態參數(modal parameters)
2.      簡諧響應分析(harmonic response analysis)WHY:瞭解結構系統的「頻譜響應」特性。WHAT to get? 求得結構的「頻率響應函數(frequency response function, FRF)
3.      暫態響應分析(transient response analysis)WHY:瞭解結構系統受到「外部激振」的系統「時間域響應」WHAT to get?:求得結構系統如位移的「時間域響應」
4.      頻譜響應分析(spectrum response analysis)WHY:瞭解結構系統受到「隨機(random)的「外部激振」之系統「響應」WHAT to get?:求得結構系統如位移的「頻率域響應」

參閱2,是結構振動分析的步驟流程,會以另外一角度,來看如何進行單自由度系統」的四種「振動分析」。由2的流程圖,可以從兩個方向討論:

1.          振動理論分析:由上而下的流程,是進行振動理論分析」的程序步驟,也就是本單元的討論重點。
2.          實驗模態分析:由下而上的流程,則是進行實驗模態分析」的程序步驟,我們再另闢單元討論。

要進行一個結構的振動分析」,是有多個步驟程序,參閱2說明如下:

1.      數學模型化(mathematical modeling):對「實際結構(real structure),進行「數學模型化」,可以得到結構的「數學模型(mathematical model)
2.      推導運動方程式(derivation of equation of motion (EOM)):由結構的「數學模型」,進行「推導運動方程式」,可以得到可描述系統的「系統方程式(system equations),不同系統特性,會有不同的數學方程式,例如:「單自由度系統」是二階的常微分方程式,「多自由度系統」會是二階的聯立常微分方程式,而「連續系統」則是偏微分程式。
3.      模態分析(modal analysis):由得到的系統方程式」,進行「理論模態分析」,可以求得系統的「模態參數」。進而,可以將原始物理域的「系統方程式」,以「模態參數」表示成模態域的「系統方程式」,此步驟有助於後續的響應分析。
4.      模態域數學模型(modal domain mathematical model):由模態域的「系統方程式」,可以描繪出等效於「實際結構」、以及等效於物理域的「數學模型」,所對應的模態域的「數學模型」,於此,有助於瞭解結構的「模態參數」特徵。
5.      簡諧響應分析(harmonic response analysis):係基於系統受到簡諧激振(harmonic excitation)假設,可以求得系統的「簡諧響應(harmonic response),稱之為「頻率響應函數(frequency response function, FRF)
6.      暫態響應分析(transient response analysis):若結構系統受到已知的時間域外力(external force),透過「暫態響應分析」,可求得結構系統如位移的「時間域響應」
7.      頻譜響應分析(spectrum response analysis):如果,結構系統受到的是「隨機(random)的「外部激振(external excitation),透過「頻譜響應分析」,可求得結構系統如位移的「頻率域響應」

在此,取單自由度系統」以此程序步驟,進行探討:

1.      數學模型化(mathematical modeling):首先有「實際結構」,一個質塊」安置在「彈簧」的上方,對「質塊」施予外力,「質塊」就會上下來回振盪,可以觀察「質塊」的「位移」運動狀態。進行「數學模型化」,可以得到如圖示對應的「數學模型」。其中,「系統參數(system parameters),就是:mck,分別是質塊的「質量」、彈簧的「黏滯阻尼係數」、彈簧的「彈簧常數」。「輸入」是f(t),為系統的外力,以及質塊本身的「初始位移X0及「初始速度V0。「輸出」是x(t),為系統質塊的位移響應。
2.      推導運動方程式(derivation of equation of motion (EOM)):對此「單自由度系統」,可以得到ma+cv+kx=f(t),是「二階的常微分方程式」,所以需要兩個「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0
3.      模態分析(modal analysis)主要在求得結構的「模態參數(modal parameters)。在此單自由度系統的「模態參數」為:「自然頻率」,ωn=2πfn=(k/m)^0.5,「阻尼比」,ξ=c/Cc。其中,c是「黏滯阻尼係數」,Cc=2*(mk)^0.5=2mωn,是「臨界黏滯阻尼係數」。所以,由「系統參數」:mck,就可以求得「自然頻率ωn以及「阻尼比ξ
4.      模態域數學模型(modal domain mathematical model):有了系統原始物理域的「系統方程式」,可以轉換為以「模態參數」表示之模態域的「系統方程式」。在此,模態域的「數學模型」是以「自然頻率ωn以及「阻尼比ξ 表示,而物理域的「數學模型」,是以「系統參數」:mck 表示。另外,也帶入了「模態外力(modal force)及「模態座標(modal coordinate)的概念,這對後續的分析是很有幫助。附註:在「多自由度系統」及「連續系統」之模態域的「系統方程式」更可以看到好處,是可以將二階的聯立常微分方程式、及偏微分程式,分解為獨立的二階常微分方程式,也就是化簡為 n個、或無窮多個等效的「單自由度系統」。此程序可稱為「理論模態分析(theoretical modal analysis, TMA),我們再另闢單元討論。
5.      簡諧響應分析(harmonic response analysis)主要在求得結構的「頻率響應函數(frequency response function, FRF),圖示以H(ω)代表,其物理意義是:結構受到「簡諧激振(harmonic excitation),其「外力振幅」為F,而系統的「穩態響應」也是「簡諧響應」,其「位移振幅」為X,所以H(ω)是輸出的「位移振幅X除以輸入的「外力振幅FH(ω)=X/F
6.      暫態響應分析(transient response analysis)主要在求得結構系統如位移的「時間域響應」。當已知系統的外力f(t),以及質塊本身的「初始位移X0及「初始速度V0。可以求得「輸出」是x(t),為系統質塊的位移「時間域響應」。
7.      頻譜響應分析(spectrum response analysis)當結構系統受到「隨機」的「外部激振」時,可求得「隨機外力」的「自身功率頻譜Gff(f),透過「頻譜響應分析」,即能求解系統位移的「頻率域響應Gxx(f),也就是位移的「功率頻譜密度函數」。

綜合本單元的討論,是從【「外力激振」的「單自由度系統」之振動分析】談起,在先前此單元,是個別的看實際結構」、「數學模型」、及「系統方程式」,以及有四種「振動分析」:「模態分析」、「簡諧響應分析」、「暫態響應分析」、「頻譜響應分析」。而本單元的討論,是將這些個別的分析工作事項(tasks),綜合歸納了系統化的結構振動分析步驟,以流程化的方式呈現討論。

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2020.07.21

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1、「外力激振」的「單自由度系統」之振動分析
2、結構振動分析步驟流程:SDOF系統





《振動噪音科普專欄》樑結構之振動分析有哪些?

這個單元的主題:「樑結構」之振動分析有哪些?解剖下來有兩個問題:甚麼是「樑結構」?
以及甚麼是「振動分析

參閱圖示,是一個「簡支樑(simple support beam)的實體結構(real structure)之示意圖,幾何形狀看起來像個平板,不過,這裡以「樑結構(beam structure)的角度來討論。同時,可以看到兩端是「簡支邊界(simply-supported)

接下來,振動分析」有哪些呢?先前單元「外力激振」的「單自由度系統」之振動分析】有討論過。

一個結構的「振動」「分析」,可以分為四種類型,從WHY to do?WHAT to get/know?分別說明如下:

1.      模態分析(modal analysis)WHY:瞭解結構的「振動模態(vibration mode)WHAT to get?:求得結構的「模態參數(modal parameters)
2.      簡諧響應分析(harmonic response analysis)WHY:瞭解結構系統的「頻譜響應」特性。WHAT to get? 求得結構的「頻率響應函數(frequency response function, FRF)
3.      暫態響應分析(transient response analysis)WHY:瞭解結構系統受到「外部激振」的系統「時間域響應」WHAT to get?:求得結構系統如位移的「時間域響應」
4.      頻譜響應分析(spectrum response analysis)WHY:瞭解結構系統受到「隨機(random)的「外部激振」之系統「響應」WHAT to get?:求得結構系統如位移的「頻率域響應」

如果要對這個「簡支樑(simple support beam)結構,進行理論分析,需要進行數學模型化(mathematical modelling),取樑的中性軸 (neutral axis),以線架構來簡化代表實體。圖示中,f(x,t)是作用在樑的外力函數,w(x,t)是樑的側向位移。

接著,推導系統的運動方程式 (system equation),可以得到是一個「偏微分方程式(partial differential equation, PDE),在這裡,沒有要解析此數學方程式,而是,概念性的說明,此樑結構的四種「振動分析」。

針對此「樑結構」的四種「振動分析類型」,分別進一步討論:

1.      模態分析(modal analysis):主要在求得結構的「模態參數(modal parameters)。在此樑結構的「模態參數」為:(1)自然頻率」,ωr=2πfr,詳細的方程式,可參閱圖示,會和樑的密度( )、楊氏係數(E)、截面積(A)、截面積慣性矩(I)、長度(L)相關。其中,r 是指第 r 個模態,樑結構」是連續系統(continuous system),所以,振動模態(vibration modes)會有無窮多個。(2)模態振型」,在此樑結構」會是連續函數,以 表示,圖示有顯示「簡支樑」的前三個模態之模態振型」,分別是 (3)模態阻尼比」,ξr,通常在理論的「正交模態分析(normal mode analysis),是沒有考慮「阻尼」效應。若要取得「阻尼比」,一般需要透過實驗方式,如「實驗模態分析(experimental modal analysis, EMA)
2.      簡諧響應分析(harmonic response analysis):主要在求得結構的「頻率響應函數(frequency response function, FRF),圖示以H(ω)代表,其物理意義是:結構受到「簡諧激振(harmonic excitation),其「外力振幅Fj,而系統的「穩態響應」也是「簡諧響應」,其「位移振幅Wi,所以Hij(ω)是輸出的「位移振幅Wi,除以輸入的「外力振幅FjHij(ω)=Wi/Fj,完整的表示式參閱圖示,可以觀察到是與「模態參數」的三個參數ωr ξr相關。參閱右方圖示,「外力振幅Fj,是作用在樑結構」的xj位置上的簡諧點力(harmonic point force),而Wi樑結構」的xj位置上的簡諧響應之位移振幅」。典型的樑結構」之頻率響應函數Hij(ω)的振幅圖,如圖示,其特性再另闢單元討論,不過,可以看到在「自然頻率」,ωr的頻率位置,會有高的峰值響應,這就是共振(resonance)的來源。
3.      暫態響應分析(transient response analysis):主要在求得結構系統如位移的「時間域響應」。當已知系統的外力f(x,t),以及樑結構」的初始位移」及「初始速度」。可以求得「輸出」是w(x,t),為樑結構的位移「時間域響應」。此分析是從「時間域」的角度,探討結構的暫態響應。
4.      頻譜響應分析(spectrum response analysis):當結構系統受到「隨機」的「外部激振」時,如圖示的「隨機外力f(x,t),若以前項的「暫態響應分析」方式求解「時間域響應」,雖然可行,但是不容易解析、也曠日廢時,所以會將「隨機外力f(x,t),進行FFT(快速傅立業轉換)甚麼是頻譜分析?】,求得「隨機外力」的「自身功率頻譜Gff(ω),透過「頻譜響應分析」方式求解之系統位移的「頻率域響應Gww(ω),也就是樑結構」的位移「功率頻譜密度函數」。對Gww(ω)取積分、開根號,可以求得位移的「平方平均根值(RMS, root mean square),相當於瞭解了結構的位移響應量值大小,可達到分析目的。

總結一下本單元的討論,進行結構的「振動分析」,會從三個階段觀察與模擬結構系統,分別是:

1.      實體結構:也就是左上方圖示的簡支樑之實體結構」。需要知道結構系統的幾何形狀尺寸(Geometry)、材料參數(Materials)、邊界狀態(Boundary),也需要知道「輸入(Input)的激振源,以及有興趣瞭解的「輸出(Output)響應。問題定義的技巧可參閱:結構系統之振動模擬分析:問題定義的F-GMBI-R】。
2.      數學模型:對此「簡支樑之實體結構」,進行「數學模型化(mathematical modeling),可以得到如圖示對應的「數學模型(mathematical model)。其中,「系統參數(system parameters),就是:樑的密度( )、楊氏係數(E)、截面積(A)、截面積慣性矩(I)、長度(L)。「輸入」是f(x,t),為系統的外力,當然也需要知道結構的「初始條件(initial conditions),包括:結構的「初始位移」及「初始速度」。以及定義有興趣的「輸出」是w(x,t),為「簡支樑」的位移響應。
3.      運動方程式:以中性軸簡化的樑結構」,其運動方程式(system equation)是「偏微分方程式」,其中,樑結構」的位移參數w(x,t)對時間 t有兩次偏微分,所以,需要兩個「初始條件」:「初始位移」及「初始速度」。另外,對位置座標 x有四次偏微分,所以,也需要四個「邊界條件」。如何解析此數學方程式,未來再另闢單元討論。

最後,統整一下本單元介紹的四種「振動分析類型」,總結說明如下:

1.      模態分析(modal analysis):主要在求得結構的「系統」資訊,也就是「模態參數(modal parameters),在此樑結構」,包括:「自然頻率ωr、「模態振型 、以及「模態阻尼比ξr。其中, r 是指第 r 個模態,樑結構」是連續系統(continuous system),會有無窮多個振動模態(vibration modes)模態分析」是一種「系統分析(system analysis),可簡稱P-analysis,在求得結構系統的「模態域參數」。
2.      簡諧響應分析(harmonic response analysis):也是一種「系統分析(P-analysis),在求得結構系統的「頻率域參數」,是求得輸出與輸入之間的FRF。主要在得到結構的「頻率響應函數(frequency response function, FRF) Hij(ω)=Wi/Fj,其物理意義是:輸出的「位移振幅Wi除以輸入的「外力振幅Fj。其中,ω=2πf為「簡諧激振」的「激振頻率」。「頻率響應函數Hij(ω)是三個「模態參數」的函數。
3.      暫態響應分析(transient response analysis):可以說是R-analysis響應分析(response analysis),在求得系統的「輸出響應(output response)。主要在求得結構系統如位移的「時間域響應」。當已知系統的外力f(x,t),以及樑結構的「初始位移」及「初始速度」,可以求得「輸出」是w(x,t),為樑結構的位移「時間域響應」
4.      頻譜響應分析(spectrum response analysis):也是R-analysis響應分析(response analysis),在求得系統的「頻率域輸出響應(output response)。會採用「頻譜響應分析」,主要應用在結構系統受到「隨機」的「外部激振」時,將「時間域」之隨機外力f(t),透過”FFT”轉換到「頻率域」進行求解,取得系統輸出的位移「功率頻譜密度函數」,進而可求得位移的「平方平均根值(RMS, root mean square),相當於瞭解了結構的位移響應量值大小。

本單元,以「樑結構」為例,探討了典型的四種「振動分析類型」,包括:模態分析」、「簡諧響應分析」、「暫態響應分析」、「頻譜響應分析」。也由4W的思考:What is? Why to do?What to get? What to know?How to do?,引導說明與討論四種「振動分析類型,希望讀者能對「振動分析」有進一步的瞭解。

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2020.07.18

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