這個單元來探討的主題：結構振動分析的步驟流程，會以「單自由度」 (single degree of
freedom, SDOF)系統為例，來說明。
1. 實體結構：也就是左上方圖示的「質塊彈簧之實體結構」。以一個「質塊」安置在「彈簧」的上方，而「彈簧」的另一端是固定在邊界上。如果，對「質塊」施予外力，「質塊」就會上下來回振盪，可以觀察「質塊」的「位移」運動狀態。
2. 數學模型：對此「質塊彈簧之實體結構」，進行「數學模型化」(mathematical
modeling)，可以得到如圖示對應的「數學模型」(mathematical model)。其中，「系統參數」(system parameters)，就是：m、c、k，分別是質塊的「質量」、彈簧的「黏滯阻尼係數」、彈簧的「彈簧常數」。「輸入」是f(t)，為系統的外力，以及質塊本身的「初始位移」X0及「初始速度」V0。「輸出」是x(t)，為系統質塊的位移響應。
3. 運動方程式：ma+cv+kx=f(t)。是「二階的常微分方程式」，所以需要兩個「初始條件」：「初始位移」X0及「初始速度」V0。【備註：比較明確的數學方程式，請讀者參考圖示，在文字說明，受限於方程式編寫，分別以x、v、a，代表位移、速度、加速度。】
接下來，可以藉由”4W”的思考想一下「振動分析」：
1. What is?：甚麼是「振動分析」？
2. Why to do?：為什麼要進行「振動分析」？
3. What to get/know?：進行「振動分析」可以得到/知道甚麼？
4. How to do?：如何進行「振動分析」？
接著，甚麼是「振動分析」？一個結構的「振動」「分析」，就是透過理論或實驗方法進行「分析」，以瞭解結構的「振動」現象、行為、特徵及影響。
一個結構的「振動」「分析」，可以分為四種類型，從”WHY to
do?”及”WHAT to get/know?”分別說明如下：
1. 模態分析(modal analysis)：”WHY”：瞭解結構的「振動模態」(vibration mode)。”WHAT
to get?”：求得結構的「模態參數」(modal parameters)。
2. 簡諧響應分析(harmonic response analysis)：”WHY”：瞭解結構系統的「頻譜響應」特性。”WHAT to get?”： 求得結構的「頻率響應函數」(frequency
response function, FRF)。
3. 暫態響應分析(transient response analysis)：”WHY”：瞭解結構系統受到「外部激振」的系統「時間域響應」。”WHAT to get?”：求得結構系統如位移的「時間域響應」。
4. 頻譜響應分析(spectrum response analysis)：”WHY”：瞭解結構系統受到「隨機」(random)的「外部激振」之系統「響應」。”WHAT
to get?”：求得結構系統如位移的「頻率域響應」。
參閱圖2，是結構振動分析的步驟流程，會以另外一角度，來看如何進行「單自由度系統」的四種「振動分析」。由圖2的流程圖，可以從兩個方向討論：
1.
振動理論分析：「由上而下」的流程，是進行「振動理論分析」的程序步驟，也就是本單元的討論重點。
2.
實驗模態分析：「由下而上」的流程，則是進行「實驗模態分析」的程序步驟，我們再另闢單元討論。
要進行一個結構的「振動分析」，是有多個步驟程序，參閱圖2，說明如下：
1. 數學模型化(mathematical modeling)：對「實際結構」(real structure)，進行「數學模型化」，可以得到結構的「數學模型」(mathematical
model)。
2. 推導運動方程式(derivation of equation of
motion (EOM))：由結構的「數學模型」，進行「推導運動方程式」，可以得到可描述系統的「系統方程式」(system equations)，不同系統特性，會有不同的數學方程式，例如：「單自由度系統」是二階的常微分方程式，「多自由度系統」會是二階的聯立常微分方程式，而「連續系統」則是偏微分程式。
3. 模態分析(modal analysis)：由得到的「系統方程式」，進行「理論模態分析」，可以求得系統的「模態參數」。進而，可以將原始物理域的「系統方程式」，以「模態參數」表示成模態域的「系統方程式」，此步驟有助於後續的響應分析。
4. 模態域數學模型(modal domain mathematical model)：由模態域的「系統方程式」，可以描繪出等效於「實際結構」、以及等效於物理域的「數學模型」，所對應的模態域的「數學模型」，於此，有助於瞭解結構的「模態參數」特徵。
5. 簡諧響應分析(harmonic response analysis)：係基於系統受到「簡諧激振」(harmonic excitation)假設，可以求得系統的「簡諧響應」(harmonic response)，稱之為「頻率響應函數」(frequency
response function, FRF)。
6. 暫態響應分析(transient response analysis)：若結構系統受到已知的時間域「外力」(external force)，透過「暫態響應分析」，可求得結構系統如位移的「時間域響應」。
7. 頻譜響應分析(spectrum response analysis)：如果，結構系統受到的是「隨機」(random)的「外部激振」(external
excitation)，透過「頻譜響應分析」，可求得結構系統如位移的「頻率域響應」。
在此，取「單自由度系統」以此程序步驟，進行探討：
1. 數學模型化(mathematical modeling)：首先有「實際結構」，一個「質塊」安置在「彈簧」的上方，對「質塊」施予外力，「質塊」就會上下來回振盪，可以觀察「質塊」的「位移」運動狀態。進行「數學模型化」，可以得到如圖示對應的「數學模型」。其中，「系統參數」(system parameters)，就是：m、c、k，分別是質塊的「質量」、彈簧的「黏滯阻尼係數」、彈簧的「彈簧常數」。「輸入」是f(t)，為系統的外力，以及質塊本身的「初始位移」X0及「初始速度」V0。「輸出」是x(t)，為系統質塊的位移響應。
2. 推導運動方程式(derivation of equation of
motion (EOM))：對此「單自由度系統」，可以得到ma+cv+kx=f(t)，是「二階的常微分方程式」，所以需要兩個「初始條件」：「初始位移」X0及「初始速度」V0。
3. 模態分析(modal analysis)：主要在求得結構的「模態參數」(modal parameters)。在此「單自由度系統」的「模態參數」為：「自然頻率」，ωn=2πfn=(k/m)^0.5，「阻尼比」，ξ=c/Cc。其中，c是「黏滯阻尼係數」，Cc=2*(mk)^0.5=2mωn，是「臨界黏滯阻尼係數」。所以，由「系統參數」：m、c、k，就可以求得「自然頻率」ωn以及「阻尼比」ξ。
4. 模態域數學模型(modal domain mathematical model)：有了系統原始物理域的「系統方程式」，可以轉換為以「模態參數」表示之模態域的「系統方程式」。在此，模態域的「數學模型」是以「自然頻率」ωn以及「阻尼比」ξ 表示，而物理域的「數學模型」，是以「系統參數」：m、c、k 表示。另外，也帶入了「模態外力」(modal force)及「模態座標」(modal coordinate)的概念，這對後續的分析是很有幫助。附註：在「多自由度系統」及「連續系統」之模態域的「系統方程式」更可以看到好處，是可以將二階的聯立常微分方程式、及偏微分程式，分解為獨立的二階常微分方程式，也就是化簡為
n個、或無窮多個等效的「單自由度系統」。此程序可稱為「理論模態分析」(theoretical
modal analysis, TMA)，我們再另闢單元討論。
5. 簡諧響應分析(harmonic response analysis)：主要在求得結構的「頻率響應函數」(frequency
response function, FRF)，圖示以H(ω)代表，其物理意義是：結構受到「簡諧激振」(harmonic
excitation)，其「外力振幅」為F，而系統的「穩態響應」也是「簡諧響應」，其「位移振幅」為X，所以H(ω)是輸出的「位移振幅」X除以輸入的「外力振幅」F，H(ω)=X/F。
6. 暫態響應分析(transient response analysis)：主要在求得結構系統如位移的「時間域響應」。當已知系統的外力f(t)，以及質塊本身的「初始位移」X0及「初始速度」V0。可以求得「輸出」是x(t)，為系統質塊的位移「時間域響應」。
7. 頻譜響應分析(spectrum response analysis)：當結構系統受到「隨機」的「外部激振」時，可求得「隨機外力」的「自身功率頻譜」Gff(f)，透過「頻譜響應分析」，即能求解系統位移的「頻率域響應」Gxx(f)，也就是位移的「功率頻譜密度函數」。
綜合本單元的討論，是從【「外力激振」的「單自由度系統」之振動分析】談起，在先前此單元，是個別的看「實際結構」、「數學模型」、及「系統方程式」，以及有四種「振動分析」：「模態分析」、「簡諧響應分析」、「暫態響應分析」、「頻譜響應分析」。而本單元的討論，是將這些個別的分析工作事項(tasks)，綜合歸納了系統化的結構振動分析步驟，以流程化的方式呈現討論。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2020.07.21文章粉絲團連結
