這個單元要來探討的主題是：如何建構「離散系統」(discrete system)的「數學模型」(mathematical model)？-
以「剛性長條形質塊」為例。
要進行一個結構的「振動分析」(vibration analysis)，建構「數學模型」(mathematical model)是其中一個重要步驟，稱為「數學建模」(mathematical modeling)。也就是將「實際結構」(real structure)做適當的假設，以能夠得到對應於「實際結構」的等效「數學模型」(mathematical model)。
參閱圖示之流程：「實際結構」→ 「數學建模」→
「數學模型」。建構「數學模型」的流程步驟：就是由「實際結構」→
進行「數學建模」→
得到「數學模型」。
觀察圖示右上方，【長條形桿件自由端具集中質量塊系統】的示意圖，其實，圖示本身可以說已經是個具體的「數學模型」了。不過，仍然將詳細說明其進行「數學建模」的詳細思考流程與步驟。
這個長條形桿件案例，假設為剛體(rigid body)，所以，會是個「離散系統」(discrete system)。
針對「離散系統」(discrete system)的「數學建模」，有7個步驟，包括：
1. 定義系統之質塊元件：
2. 定義系統之連接元件：
3. 定義系統之自由度：
4. 定義系統之邊界條件：
5. 定義系統之輸入條件：
6. 定義系統之初始條件：
7. 定義有興趣之系統輸出參數：
要考慮「數學建模」，也是需要：(1)先瞭解原始工程問題的描述與需求，同時，(2)需要明確的定義問題以及分析目標，其次，(3)才是根據問題需求和分析目標，建構「數學模型」。
第1個步驟：在工程問題描述(problem description)時，建議採用：【4個What】的心法，簡要說明如下：
1. What to know? 想要知道甚麼？：對於問題描述，我們想要知道甚麼？這只是口語化的陳述。
2. What to get? 需要得到甚麼？：根據想要知道甚麼？很具體地指出需要得到甚麼？
3. What to do? 必須做甚麼？：由需要得到甚麼？我們必須做甚麼樣的分析？才能夠得到所需要的甚麼。
4. What to show? 應該呈現甚麼？：最後，完成了以上的分析，在分析報告上，應該呈現甚麼？才能夠充分解答我們想要知道的甚麼？
【4個What】的心法，要注意：是有順序性的、邏輯性的，值得讀者好好思考與應用。
第2個步驟：定義問題(define problem)及擬定分析目標(analysis objectives)。在定義問題(define problem)，建議採用的心法：ISO / SPR / FGMBIR，概述如下：
1.
Input →
System →
Output
2.
Source →
Path →
Response
3.
Force →
GMBI →
Response
其中，【F → GMBI → R】心法，讀者可參考先前單元：#295，【針對「靜力分析」，如何「定義問題」？心法：FGMBIR】，引述說明如下：
本質上，【F → GMBI → R】、【Input →
System →
Output】、【Source →
Path →
Response】，三者有同樣的意涵，只是不同的表述方式。
完成定義問題(define problem)，也要確認分析目標(analysis objectives)。在此就需要瞭解「振動分析」(vibration analysis)，有4種分析類型：
1.
「模態分析」(modal analysis)。
2.
「簡諧響應分析」(harmonic response analysis)。
3.
「暫態響應分析」(transient response analysis)。
4.
「頻譜響應分析」(spectrum response analysis)。
第3個步驟：要建構「實際結構」(real structure)的「數學模型」(mathematical model)。
「數學模型」可以概分為兩種：「離散系統」(discrete system)和「連續系統」(continuous system)。讀者可參考先前單元：#311，【結構數學模型：「離散系統」和「連續系統」有甚麼區別？】。
本單元探討的【長條形桿件自由端具集中質量塊系統】，如果圖示的彈簧常數𝒌，很軟，也就是𝒌很小，可以想見長條形桿件會是接近於剛體(rigid body)，所以，在此就以「離散系統」的假設，進行「數學建模」。
要建構「數學模型」，還是要先思考原始的工程問題需求，在長條形桿件本案例，有興趣之一：
(1) What to know? 想要知道甚麼？：質量塊受到外力的振動響應的狀態？
(2) What to get? 需要得到甚麼？：質量塊的位移之時間域響應。
(3) What to do? 必須做甚麼？：振動分析之暫態響應分析。
在長條形桿件本案例，有興趣之二：
(1) What to know? 想要知道甚麼？：質量塊受到外力的振動響應，會不會產生共振？
(2) What to get? 需要得到甚麼？：結構系統的自然頻率？
(3) What to do? 必須做甚麼？：振動分析之模態分析。
針對「離散系統」(discrete system)的「數學建模」，有7個步驟，包括：
參閱圖示右下方，對長條形桿件本案例進行「數學建模」，以取得其「數學模型」，7個步驟說明如下：
1. 定義系統之質塊元件：就是Mass element。長條形桿件假設為剛體(rigid body)，有質量𝑴。其自由端有一個集中質量塊𝒎。
2. 定義系統之連接元件：就是Connection elements，K & C。在此，桿件在𝒂的位置，有一個彈簧常數𝒌。
3. 定義系統之自由度：就是Degree-of-Freedom (DOF)。由於長條形桿件會旋轉上下擺盪，桿件會有旋轉角度𝜽(𝒕)，在集中質量塊𝒎會有切線方向位移𝒙(𝒕)，桿件在𝒂的位置，也會有位移𝒙𝒌(𝒕)。三者之間會有明確的幾何關係：𝒙=(𝒃)𝐬𝐢𝐧𝜽≈𝒃𝜽，𝒙𝒌=(𝒂) 𝐬𝐢𝐧𝜽≈𝒂𝜽。所以，這是一個單自由度(SDOF)系統。
4. 定義系統之邊界條件：就是Boundary。如圖示的銷接位置是固定在長條形桿件左端，銷接(pin joint)方式，也假設銷接接點是純滑動、無摩擦(frictionless)、桿件可以自由旋轉。另外，彈簧常數𝒌基座，是固定的。
5. 定義系統之輸入條件：就是Input或Loading。除了作用在質量塊𝒎的外力是
𝒇(𝒕)。質量塊𝒎和長條形桿件會受到重力效應，自重外力𝒎𝒈和𝑴𝒈。同時，長條形桿件會有旋轉質量慣性矩(mass moment of inertia)效應𝑰𝒄𝒈=(𝑴𝑳^𝟐)/𝟏𝟐。
6. 定義系統之初始條件：就是Initial Condition (I.C.)。必須要定義「自由度」𝒙(𝒕) 的I.C.，包括：初始位移𝒙𝟎和初始速度𝒙 ̇𝟎。
7. 定義有興趣之系統輸出參數：就是Interested Output Variables。(1)系統之模態參數：自然頻率𝒇𝒏。(2) 系統的位移/速度/加速度之時間域響應 𝒙(𝒕) , 𝒗(𝒕), 𝒂(𝒕)。
綜合一下這個單元的討論重點，摘要如下：
1. 說明建構「數學模型」的流程步驟：由「實際結構」→
進行「數學建模」→
得到「數學模型」。主要看的是【長條形桿件自由端具集中質量塊系統】。
2. 再次以長條形桿件為例，針對「離散系統」(discrete system)的「數學建模」，有7個步驟，做了詳細說明。
3. 要建構「數學模型」，還是要先思考原始的工程問題需求，在長條形桿件本案例，以【4個What】的心法，提出了問題描述，What to know? 想要知道甚麼？：(1)質量塊受到外力的振動響應的狀態？(2)結構會不會產生共振？
4. 「數學建模」後，得到的「數學模型」是一個單自由度(SDOF)系統。針對兩個有興趣的【What to know?】，也定義了需要完成的兩種振動分析：(1) 暫態響應分析，(2) 模態分析。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2023.04.08
