要進行一個結構的「振動分析」(vibration analysis)，建構「數學模型」(mathematical model)是其中一個重要步驟，稱為「數學建模」(mathematical modeling)。也就是將「實際結構」(real structure)做適當的假設，以能夠得到對應於「實際結構」的等效「數學模型」(mathematical model)。
這個單元就以「單擺系統」的「實際結構」為例，說明由「數學建模」取得「數學模型」的建模過程與步驟。
參閱圖示之流程：「實際結構」→ 「數學建模」→
「數學模型」。這個單元會探討兩個「單擺系統」：
1. 細線「單擺系統」。
2. 長條形桿件「單擺系統」。
在先前單元：#13，【如何求得單擺的自然頻率？】，有介紹過此「單擺系統」。不過，這個單元著重在探討如何透過「數學建模」取得其對應「實際結構」的「數學模型」。
針對「離散系統」(discrete system)的「數學建模」，有7個步驟，包括：
1. 定義系統之質塊元件：
2. 定義系統之連接元件：
3. 定義系統之自由度：
4. 定義系統之邊界條件：
5. 定義系統之輸入條件：
6. 定義系統之初始條件：
7. 定義有興趣之系統輸出參數：
首先，參閱圖示左下方，對細線「單擺系統」進行「數學建模」，以取得其「數學模型」，7個步驟說明如下：
1. 定義系統之質塊元件：就是Mass element。以一個質量球體𝒎，代表「單擺」的球體。
2. 定義系統之連接元件：就是Connection elements，K & C。在此，是一條細線的連接，既不是彈簧常數𝒌，也沒有黏滯阻尼係數𝒄效應。所以，是一個沒有質量效應的剛性線(rigid line)。代表「單擺」球體和固定端的連接狀態。
3. 定義系統之自由度：就是Degree-of-Freedom (DOF)。由於「單擺」的球體會左右擺盪，剛性線會有旋轉角度𝜽(𝒕)，在球體會有切線方向位移𝒙(𝒕)。兩者之間會有明確的幾何關係：𝒙=𝑳𝐬𝐢𝐧𝜽≈𝑳𝜽。
4. 定義系統之邊界條件：就是Boundary。如圖示的線是固定在頂部。
5. 定義系統之輸入條件：就是Input或Loading。「單擺」的球體會受到重力效應，而形成來回擺盪，所以有球體的自重外力𝒎𝒈。另外，可以合理定義作用在球體𝒎上的切線方向外力是 𝒇(𝒕)。
6. 定義系統之初始條件：就是Initial Condition (I.C.)。必須要定義「自由度」𝒙(𝒕) 的I.C.，包括：初始位移𝒙𝟎和初始速度𝒙 ̇𝟎。
7. 定義有興趣之系統輸出參數：就是Interested Output Variables。(1)系統之模態參數：自然頻率𝒇𝒏&阻尼比𝝃。(2)「單擺」球體的位移/速度/加速度之時間域響應
𝒙(𝒕) , 𝒗(𝒕), 𝒂(𝒕)。
其次，參閱圖示右上方，對長條形桿件「單擺系統」進行「數學建模」，以取得其「數學模型」，7個步驟說明如下：
1. 定義系統之質塊元件：就是Mass element。除了以一個質量球體𝒎，代表「單擺」的球體之外，長條形桿件假設為剛體(rigid body)，也是有質量𝑴。
2. 定義系統之連接元件：就是Connection elements，K & C。在此，桿件是以銷接(pin joint)方式，固定在邊界，也假設銷接接點是純滑動、無摩擦(frictionless)。同時，也沒有彈簧常數𝒌和黏滯阻尼係數𝒄效應。所以，「單擺」的球體和桿件是一體的組成，同步繞著銷接接點，來回擺盪。
3. 定義系統之自由度：就是Degree-of-Freedom (DOF)。由於「單擺」的球體和桿件會同步地左右擺盪，桿件會有旋轉角度𝜽(𝒕)，在球體會有切線方向位移𝒙𝒎 (𝒕)，在桿件重心位置也會有切線方向位移𝒙𝑴(𝒕)。三者之間會有明確的幾何關係：𝒙𝒎=𝑳𝐬𝐢𝐧𝜽≈𝑳𝜽，𝒙𝑴=𝑳/𝟐 𝐬𝐢𝐧𝜽≈𝑳/𝟐(𝜽)。
4. 定義系統之邊界條件：就是Boundary。如圖示的銷接位置是固定在頂部。
5. 定義系統之輸入條件：就是Input或Loading。「單擺」的球體和桿件會受到重力效應，而形成來回擺盪，所以有球體和桿件的自重外力𝒎𝒈和𝑴𝒈。另外，可以合理定義作用在球體𝒎上的切線方向外力是 𝒇(𝒕)。
6. 定義系統之初始條件：就是Initial Condition (I.C.)。必須要定義「自由度」𝒙𝒎(𝒕) 的I.C.，包括：初始位移𝒙𝒎𝟎和初始速度𝒙 ̇𝒎𝟎。
7. 定義有興趣之系統輸出參數：就是Interested Output Variables。(1)系統之模態參數：自然頻率𝒇𝒏&阻尼比𝝃。(2)「單擺」球體的位移/速度/加速度之時間域響應
𝒙𝒎(𝒕) , 𝒗𝒎(𝒕), 𝒂𝒎(𝒕)。
當完成了「數學建模」的7個步驟程序，可以得到「實際結構」的「數學模型」，就可以據以進行後續的解析，如推導結構系統的「運動方程式」 (equation of motion, EOM)，再由EOM，進行求解，再另闢單元討論。
綜合這個單元的討論，重點摘要如下：
1. 建構「數學模型」的流程步驟：由「實際結構」→
進行「數學建模」→
得到「數學模型」。
2. 針對「離散系統」(discrete system)的「數學建模」，有7個步驟。
針對兩個「單擺系統」，分別詳細說明了「數學建模」的7個步驟的詳細流程：
1. 細線「單擺系統」。
2. 長條形桿件「單擺系統」。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2023.04.08
