這個單元的主題：【相同初始位移，不同阻尼比，對質塊的振動有甚麼影響？】，首先，破題的思考：甚麼是「初始位移」、「阻尼比」、「質塊」、「振動」、「影響」？為什麼質塊有「初始位移」，質塊會有振動現象？在先前單元：【什麼是「阻尼」(damping)？】，已經有說明。那麼，不同「阻尼比」時，質塊的振動，會有怎樣的差異呢？
在先前單元：【如何求得彈簧的彈簧常數？】，對圖示「質塊彈簧之實體結構」，進行「數學模型化」(mathematical
modeling)，可以得到對應的「數學模型」(mathematical model)，包括：「質量」m、「黏滯阻尼係數」c、「彈簧常數」k，可稱為mck「質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」，是典型的振動學課程重要單元之一。
又由先前單元：【工程實務上，如何表示阻尼？黏滯阻尼的特性】，最常採用的「黏滯阻尼模型」(viscous
damping model)，也就是圖示的「數學模型」，可以得到其「運動方程式」：ma+cv+kx=f(t)。【備註：比較明確的數學方程式，請讀者參考圖示，在文字說明，受限於方程式編寫，分別以x、v、a，代表位移、速度、加速度。】
由mck「質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」，得到其「運動方程式」，因為是「二階的常微分方程式」，所以需要兩個「初始條件」：「初始位移」X0及「初始速度」V0。如本單元主題，不同「初始位移」，指的就是X0，「質塊」拉動後的變形量，就是「初始位移」。
1. 「黏滯阻尼比」(viscous damping ratio)：以ξ代表，定義是：ξ=c/Cc。其中，c是「黏滯阻尼係數」，Cc 是「臨界黏滯阻尼係數」如下說明。
2. 「臨界黏滯阻尼係數」(critical
viscous damping coefficient)：以Cc代表，定義可參閱圖示，摘錄如下，Cc=2*(mk)^0.5=2mωn，其中，ωn=(k/m)^0.5，是系統的無阻尼狀態的「自然頻率」。
參閱圖示以及影片的動畫說明，系統參數設定如下：m=1 (kg)，k=100 (N/m)，所以，Cc=20 (N-s/m)。以質塊的「初始位移」X0=10 (m)及「初始速度」V0=0 (m/s)，探討質塊在不同「阻尼比」時的運動狀態：
1. 次阻尼(under damped)，0<ξ<1：其中，分別取「黏滯阻尼係數」c=5、10、15(N-s/m)，相當於「阻尼比」ξ=0.25、0.5、0.75。可以觀察幾個現象：因為，有「阻尼效應」質塊會來回振盪，並且振幅有衰減的現象；而且，「阻尼比」越大，也就是「黏滯阻尼係數」越大，質塊振盪衰減的越快。
2. 臨界阻尼(critically
damped)，ξ=1：當「黏滯阻尼係數」c=20 (N-s/m)，相當於「阻尼比」ξ=1。可以觀察：質塊沒有來回振盪的現象，而是，位移振幅快速的衰減到零。
3. 過阻尼(over damped)，ξ>1：取「黏滯阻尼係數」c=25
(N-s/m)，相當於「阻尼比」ξ=1.25。可以觀察質塊的運動情形，和「臨界阻尼」相似，都沒有來回振盪，質塊的位移振幅也是快速衰減到零。
由以上三種「阻尼」狀態，包括：「次阻尼」、「臨界阻尼」、及「過阻尼」，因為，都有「阻尼效應」，所以質塊受到拉伸的「初始位移」後，質塊的位移振幅都會衰減到零。但是，當「阻尼比」等於、大於1時，分別是「臨界阻尼」及「過阻尼」，質塊就不會有來回振盪的現象。這就是要定義「臨界阻尼」的主要原因。
只要有「阻尼」都有抑制質塊振動的效果，需要多大的「黏滯阻尼係數」c呢？一種評估方式，係採用「安定時間」(settling
time)，以需要多少時間，能夠使得質塊的振動，降低到某個程度之位移振幅，此時間為「安定時間」。例如：圖示中顯示，ξ=1，質塊位移振幅降為0.2 (m)時，「安定時間」約為0.5837
(sec)；ξ=1.25，質塊位移振幅降為0.2 (m)時，「安定時間」約為0.8401 (sec)。
這個單元，主要是探討了「質塊彈簧之實體結構」，以mck「質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」的動態分析，呈現了【相同初始位移，不同阻尼比，對質塊的振動有甚麼影響？】。其中，最主要的理念是「臨界阻尼」：在小於「臨界阻尼」時，也就是「次阻尼」，質塊的振動會呈現來回振盪的衰減現象；在「臨界阻尼」及「過阻尼」，質塊的運動狀態就是直接的衰減現象。這就是為什麼要定義「黏滯阻尼比」ξ以及「臨界黏滯阻尼係數」Cc，在本單元的案例說明，就可看出此「黏滯阻尼比」ξ定義的需要性及重要性。
希望由本單元的探討，讀者能夠初步了解「不同阻尼」的特徵，包括：「次阻尼」、「臨界阻尼」、及「過阻尼」，以及其不同振動衰減現象的差異。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2019.08.02
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