這個單元的主題：「外力激振」的「多自由度系統」之「振動分析」，解剖下來有兩個問題，「甚麼是『外力激振』的『多自由度系統』？」以及「甚麼是『振動分析』？」
在先前單元，編號：151的主題，【「外力激振」的「單自由度系統」之振動分析】，談的是「單自由度系統」(single degree of freedom (SDOF) system)，本單元則是「多自由度系統」(multiple degree of freedom (MDOF) system)。
首先，參閱圖示的「實體結構」(real structure)示意圖，是由一系列的「質塊」和「彈簧」堆疊起來的「多自由度系統」(MDOF system)，每一個「質塊」有外力作用，也有垂直方向的運動。
接下來，回顧一下「振動分析」，可以藉由”4W”的思考想一下「振動分析」：
1. What is?：甚麼是「振動分析」？
2. Why to do?：為什麼要進行「振動分析」？
3. What to get/know?：進行「振動分析」可以得到/知道甚麼？
4. How to do?：如何進行「振動分析」？
一個結構的「振動」「分析」，可以分為四種類型，從”WHY to
do?”及”WHAT to get/know?”分別說明如下：
1. 模態分析(modal analysis)：”WHY”：瞭解結構的「振動模態」(vibration mode)。”WHAT
to get?”：求得結構的「模態參數」(modal parameters)。
2. 簡諧響應分析(harmonic response analysis)：”WHY”：瞭解結構系統的「頻譜響應」特性。”WHAT to get?”： 求得結構的「頻率響應函數」(frequency
response function, FRF)。
3. 暫態響應分析(transient response analysis)：”WHY”：瞭解結構系統受到「外部激振」的系統「時間域響應」。”WHAT to get?”：求得結構系統如位移的「時間域響應」。
4. 頻譜響應分析(spectrum response analysis)：”WHY”：瞭解結構系統受到「隨機」(random)的「外部激振」之系統「響應」。”WHAT
to get?”：求得結構系統如位移的「頻率域響應」。
本單元就來探討「多自由度系統」(MDOF system)的四種類型之「振動分析」，有了圖示的「實體結構」(real structure)，對此結構進行「數學模型化」(mathematical modeling)，可以得到如圖示對應的「數學模型」(mathematical model)。說明如下：
1. 「系統參數」(system parameters)：對應實體結構，可將每一個「質塊」以點質量模擬，而每一個彈簧，假設有「彈簧常數」及「黏滯阻尼係數」的特性，可以得到系統的「物理域參數」(physical parameters)：mi、ci、ki，分別是第 i 個質塊的「質量」、第 i 個彈簧的「黏滯阻尼係數」、及其「彈簧常數」。
2. 「系統輸出參數」(system output
parameters)：可以定義每一個「質塊」的「自由度」(degree
of freedom, DOF)，只有在垂直方向運動，以變數符號xi(t)表示第 i 個質塊的位移，也可以說是第 i 個自由度的位移，i=1,2,…,n，是n個自由度的系統。
3. 「系統輸入參數」(system input
parameters)：一個振動系統的輸入，可以概分為：「外部激振」以及「初始條件」。在此系統的「外部激振」，以fj(t)表示，為作用在第j個自由度的外力。而「初始條件」分別為每一個「質塊」的「初始位移」及「初始速度」，分別以xi(0)及vi(0)表示。
有了「數學模型」(mathematical model)，要以理論解析方式探討，就要先推導「系統的運動方程式」(system equations of motion)，參閱圖示完整的「數學方程式」，特性說明如下：
1. 「系統運動方程式」是n個聯立的「二階常微分方程式」，每一個方程式來自每一個「質塊」的平衡方程式。
2. 「系統運動方程式」可以寫成如圖顯示的「矩陣」形式，其中，[M]、[C]、[K]分別是系統的質量、阻尼、剛性矩陣，{x}、{v}、{a}分別為系統的位移、速度、加速度輸出向量。等號右邊
{f} 是外力向量。因為是 n 個「自由度」系統，矩陣是
nxn 的大小，向量是 nx1 。
3. 「系統運動方程式」也需要定義「初始條件」，分別為 {X0}、{V0} 是初始位移及初始速度向量。
在此，不在討論如何解析此數學方程式，而是以概念性的說明，在「多自由度系統」(MDOF system)的四種分析，可以得到哪些分析結果，討論如下：
1. 模態分析(modal analysis)：主要在求得結構的「模態參數」(modal
parameters)。在此「多自由度系統」的「模態參數」為：「自然頻率」，ωr，「模態振型向量」，{φr}，「模態阻尼比」，ξr。其中，r=1,2,…,n，共有個「振動模態」(vibration modes)。又，「模態振型向量」{φr}與系統矩陣[M]、[C]、[K]，有正交性關係(orthonormal)，如圖顯示的三個方程式。重要的是可以得到以「模態參數」表示的「模態方程式」(modal
equations)，以及對應此「模態方程式」的 n 個獨立的「單自由度系統」，此「模態域」方程式與前述的「物理域」之「系統運動方程式」，是等效的(equivalent)。而且，n 個獨立的「單自由度系統」，與「實體結構」(real structure)也是等效的。
2. 簡諧響應分析(harmonic response analysis)：主要在求得結構的「頻率響應函數」(frequency
response function, FRF)，圖示以[H(ω)]代表，是「頻率響應函數矩陣」，其中，第 i 列、第 j行的「頻率響應函數」，可以寫為Hij(ω)，物理意義是：結構在第 j 個自由度，受到「簡諧激振」(harmonic excitation)，其「外力振幅」Fj，而系統的「穩態響應」也是「簡諧響應」，第 i 個自由度其「位移振幅」Xi，所以Hij(ω)是輸出的「位移振幅」Xi除以輸入的「外力振幅」Fj。Hij(ω)=Xi/Fj，完整的表示式參閱圖示，可以觀察得知，Hij(ω) 和「模態參數」：ωr、{φr}、ξr，及「激振頻率」：ω=2πf相關。典型的「多自由度系統」之「頻率響應函數」Hij(ω) 的振幅圖，如圖示，係由每一個自由度的「模態響應」組合而成。
3. 暫態響應分析(transient response analysis)：主要在求得結構系統如位移的「時間域響應」。當已知系統的外力 {f(t)}，以及各個質塊本身的「初始位移向量」 {X0} 及「初始速度向量」{V0}。可以求得「輸出」是 {x(t)}，為系統每一個質塊的位移「時間域響應」。由圖示的xi(t)方程式，可以看到是「模態座標」(modal coordinate) qr(t)，與「模態振型向量」{φr} 的線性組合(linear
combination)，此稱為「擴充原理」(expansion theorem)。
4. 頻譜響應分析(spectrum response analysis)：當結構系統受到「隨機」的「外部激振」時，如圖示的「隨機外力」{f(t)}，若以前項的「暫態響應分析」方式求解「時間域響應」，雖然可行，但是不容易解析、也曠日廢時，所以會將「隨機外力」{f(t)}，進行FFT(快速傅立業轉換)【甚麼是頻譜分析？】，求得「隨機外力」的「自身功率頻譜」[Gff(ω)]，透過「頻譜響應分析」方式，求解得到系統的位移「頻率域響應」[Gxx(ω)]，也就是位移的「功率頻譜密度函數」。對任一個自由度的Gxx(ω) 取積分、開根號，可以求得該自由度位移的「平方平均根值」(RMS, root mean square)，相當於瞭解了結構的位移響應量值大小，可達到分析目的。
最後，總結一下本單元的討論，當有一個結構系統，要進行「振動分析」，會有三個層次的步驟程序：
1. 實體結構(real
structure)
2. 數學模型(mathematical model)
3. 系統運動方程式(system equations of motion)
有了「系統運動方程式」，可以對此系統進行理論解析。一個結構的「振動分析」，有四種分析：
1. 模態分析(modal analysis)：瞭解結構的「振動模態」(vibration mode)，在求得結構的「模態參數」(modal parameters)。
2. 簡諧響應分析(harmonic response analysis)：瞭解結構系統的「頻譜響應」特性，在求得結構的「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)。
3. 暫態響應分析(transient response analysis)：瞭解結構系統受到「外部激振」的「時間域響應」，在求得結構系統如位移的「時間域響應」。
4. 頻譜響應分析(spectrum response analysis)：瞭解結構系統受到「隨機」(random)的「外部激振」之系統「響應」，在求得結構系統如位移的「頻率域響應」。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2020.07.25文章粉絲團連結
