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《振動噪音科普專欄》頌缽的模態振型有甚麼特徵?

這個單元要討論的是:「頌缽(singing bowl)的「模態振型」有甚麼特徵?接續前面兩個單元:【頌缽的發聲頻率與振動模態有甚麼關係?】,【敲擊力道對頌缽的聲音響應有甚麼影響?】,都是在討論「頌缽」的聲音特徵,以及與「振動模態」的關聯性。

首先參閱1,右下方是「頌缽」的實體結構,另外,也以FEA有限元素分析」建立了「頌缽」的「有限元素分析模型」,進行了結構的「模態分析(modal analysis),所以可以得到如1左側的前三個「振動模態」的「自然頻率」及對應的「模態振型」。

看到這裡,先回顧一下:【頌缽的發聲頻率與振動模態有甚麼關係?】,摘錄如2,綜合如下:

1.      聲音的「主觀評價:有嗡嗡的聽感,就是beating sound,稱之為「重擊音」、「拍擊音」、或「拍振音」。
2.      聲音的「時間波形:可以觀察到有典型的「重擊現象」波形特徵。
3.      聲音頻譜:每一個「峰值頻率」就是對應於結構的「自然頻率」。而每個「自然頻率」會有對應的「模態振型」。
4.      此「頌缽」的「發聲頻率:主要是來自「環模態(ring modes)的「自然頻率」。可分別由分析(FEA)與實驗(EMA)得到的「模態振型」,觀察出(Z,θ)=(1,2)(1,3)(1,4)(1,9)的「振動模態」特徵。
5.      對聲音有高貢獻度的「振動模態:主要是低頻率的「振動模態」,來自前兩個「峰值頻率118.4 Hz361.7 Hz有較高的貢獻度。
6.      頌缽」的「軸對稱模態:由於不是真圓,所以會有兩個「自然頻率」為118.4 Hz120.2 Hz,很相近但是不相等,因而使得有beating sound的「重擊音」效應。

因為,在敲擊「頌缽」時,都是敲擊在「頌缽」的上緣位置,所以主要都是激發出「環模態」的「自然頻率」,也就是「聲音頻譜」的「峰值頻率(peak frequencies)

這種只在「頌缽」上緣位置振動的「模態振型」,如1可觀察出(Z,θ)=(1,2)(1,3)(1,4),都是「頌缽」上緣位置的振動形式,所以可稱為:

1.      局部模態Local modes:會稱之為「局部模態」,是因為只有「頌缽」的上緣位置有振動現象,而「頌缽」的下緣底部位置都是不動的。
2.      「環模態」Ring modes:會稱之為「環模態」,是因為「頌缽」的上緣部位,是個環形結構,讀者可參閱:【如何解讀圓形環結構之模態振型?】。在此Ring,也可以說是「雙關語」,除了代表環形結構外,也是代表主要發出聲音的「環模態」。由1的左側標示的紅色線段,代表對應的「節線(nodal lines),可以區別出(Z,θ)=(1,2)(1,3)(1,4)的物理意義。

2是「頌缽」小力敲擊的分析結果,詳細的討論可參考前一單元:【頌缽的發聲頻率與振動模態有甚麼關係?】。可以觀察到:「頌缽」小力敲擊時,都只激發出這種Ring modes,也是Local modes的「模態振型」之「振動模態」,會有「發聲頻率」的貢獻度。

又由另一單元:【敲擊力道對頌缽的聲音響應有甚麼影響?】,參閱3,在大力敲擊「頌缽」時,與小力敲擊比較,除了「環模態」的「峰值頻率」之外,又有出現一些未知的「峰值頻率」,此現象,也是來自「頌缽」的「振動模態」,但是不是「環模態」,這就是本單元的重點:「頌缽」的「模態振型」有甚麼特徵?

接續,觀察1,呈現的表格為(r, )的「振動模態」,如何解讀「頌缽」的(r, )模態振型」,綜合說明如下:

1.   (r, )r=1:如1(r, )的標示,其中,r是指沿著「頌缽」上緣到底部的半徑方向。當r=1時,其間,沒有任何的「節線」,所以,r=1是相當於一等份。可以看到分別有:(r, )=(1,0)(1,1)(1,2)(1,3)等模態。為什麼 =0呢?因為,沿著「頌缽」底部的圓周方向,沒有任何的「節線」。
2.   (r, )r=2:沿著「頌缽」上緣到底部的半徑方向,中間有一條「節線」,所以有兩等份,因此,標示為(r, )=(2,0)(2,1)(2,2)等模態。當r=3以及r=4時,可依此類推,並觀察動畫可以符合此現象。
3.   (r, ) =0:也就是沿著「頌缽」底部的圓周方向,沒有任何的「節線」,如(r, )=(1,0)(2,0)(3,0)(4,0) 等模態,都有此現象。
4.   (r, ) =1:也就是沿著「頌缽」底部的圓周方向,有一條「節線」,如(r, )=(1,1)(2,1)(3,1)等模態,都有此現象。其實,這幾個模態特徵,尤其是(r, )=(1,0)(1,1)(2,1),都是「頌缽」底部的振動為主,也可判斷為「頌缽」底部的「局部模態(local modes),如同前述的「環模態」也是「頌缽」上緣的「局部模態」。
5.   (r, ) =2 =3:可以觀察在「頌缽」底部的圓周方向,分別有23條「節線」,如(r, )=(1,2)(1,3)。可以觀察,(r, )的數值越大,「模態振型」的「節線」越多,也就越複雜。透過此(r, )的標示方式,可以有效的解讀「頌缽」之「振動模態」的「模態振型」物理意義。

解讀了以上(r, )的「振動模態」有甚麼意義呢?首先,這些(r, )的「模態振型」都是「頌缽」的「振動模態」,都會貢獻到「頌缽」的「發聲頻率」,只是不同的「模態振型」有不同的貢獻度。

有別於「頌缽」上緣的「環模態」,稱之為local modes局部模態」,在此,系列的(r, )振動模態」可稱之為global modes整體結構模態」,因為,可以看出是「頌缽」整體結構的振動。當然,若是看(r, )=(1,0)(1,1)(2,1),都是「頌缽」底部的振動為主,也可判斷為「頌缽」底部的「局部模態(local modes)

最後,總結一下本單元,針對「頌缽」的「模態振型」物理意義,可以概分為兩種:

1.      Local modes局部模態」的ring modes環模態」:參閱2,當小力敲擊「頌缽」時,主要的「發聲頻率」,都是來自此「環模態」的效應。
2.   Global modes整體結構模態」的(r, )振動模態」:參閱2,當大力敲擊「頌缽」時,主要的「發聲頻率」,除了來自「環模態」的效應,也會有(r, )振動模態」的效應。

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2020.06.05

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1、頌缽的模態振型有甚麼特徵?
2、頌缽的發聲頻率與振動模態有甚麼關係?
3、敲擊力道對頌缽的聲音響應有甚麼影響?