這個單元要討論的是：「頌缽」(singing bowl)的「模態振型」有甚麼特徵？接續前面兩個單元：【頌缽的發聲頻率與振動模態有甚麼關係？】，【敲擊力道對頌缽的聲音響應有甚麼影響？】，都是在討論「頌缽」的聲音特徵，以及與「振動模態」的關聯性。
首先參閱圖1，右下方是「頌缽」的實體結構，另外，也以FEA「有限元素分析」建立了「頌缽」的「有限元素分析模型」，進行了結構的「模態分析」(modal analysis)，所以可以得到如圖1左側的前三個「振動模態」的「自然頻率」及對應的「模態振型」。
1. 聲音的「主觀評價」：有嗡嗡的聽感，就是beating sound，稱之為「重擊音」、「拍擊音」、或「拍振音」。
2. 聲音的「時間波形」：可以觀察到有典型的「重擊現象」波形特徵。
3. 「聲音頻譜」：每一個「峰值頻率」就是對應於結構的「自然頻率」。而每個「自然頻率」會有對應的「模態振型」。
4. 此「頌缽」的「發聲頻率」：主要是來自「環模態」(ring modes)的「自然頻率」。可分別由分析(FEA)與實驗(EMA)得到的「模態振型」，觀察出(Z,θ)=(1,2)、(1,3)、(1,4)到(1,9)的「振動模態」特徵。
5. 對聲音有高貢獻度的「振動模態」：主要是低頻率的「振動模態」，來自前兩個「峰值頻率」118.4 Hz及361.7 Hz有較高的貢獻度。
6. 「頌缽」的「軸對稱模態」：由於不是真圓，所以會有兩個「自然頻率」為118.4 Hz及120.2 Hz，很相近但是不相等，因而使得有beating sound的「重擊音」效應。
因為，在敲擊「頌缽」時，都是敲擊在「頌缽」的上緣位置，所以主要都是激發出「環模態」的「自然頻率」，也就是「聲音頻譜」的「峰值頻率」(peak frequencies)。
這種只在「頌缽」上緣位置振動的「模態振型」，如圖1可觀察出(Z,θ)=(1,2)、(1,3)、(1,4)，都是「頌缽」上緣位置的振動形式，所以可稱為：
1. 「局部模態」Local modes：會稱之為「局部模態」，是因為只有「頌缽」的上緣位置有振動現象，而「頌缽」的下緣底部位置都是不動的。
2. 「環模態」Ring modes：會稱之為「環模態」，是因為「頌缽」的上緣部位，是個環形結構，讀者可參閱：【如何解讀圓形環結構之模態振型？】。在此”Ring”，也可以說是「雙關語」，除了代表環形結構外，也是代表主要發出聲音的「環模態」。由圖1的左側標示的紅色線段，代表對應的「節線」(nodal lines)，可以區別出(Z,θ)=(1,2)、(1,3)、(1,4)的物理意義。
由圖2是「頌缽」小力敲擊的分析結果，詳細的討論可參考前一單元：【頌缽的發聲頻率與振動模態有甚麼關係？】。可以觀察到：「頌缽」小力敲擊時，都只激發出這種”Ring modes”，也是”Local modes”的「模態振型」之「振動模態」，會有「發聲頻率」的貢獻度。
又由另一單元：【敲擊力道對頌缽的聲音響應有甚麼影響？】，參閱圖3，在大力敲擊「頌缽」時，與小力敲擊比較，除了「環模態」的「峰值頻率」之外，又有出現一些未知的「峰值頻率」，此現象，也是來自「頌缽」的「振動模態」，但是不是「環模態」，這就是本單元的重點：「頌缽」的「模態振型」有甚麼特徵？
接續，觀察圖1，呈現的表格為(r,
)的「振動模態」，如何解讀「頌缽」的(r,
)「模態振型」，綜合說明如下：
1. (r,
)，r=1：如圖1(r,
)的標示，其中，r是指沿著「頌缽」上緣到底部的半徑方向。當r=1時，其間，沒有任何的「節線」，所以，r=1是相當於一等份。可以看到分別有：(r,
)=(1,0)、(1,1)、(1,2)、(1,3)等模態。為什麼
=0呢？因為，沿著「頌缽」底部的圓周方向，沒有任何的「節線」。
2. (r,
)，r=2：沿著「頌缽」上緣到底部的半徑方向，中間有一條「節線」，所以有兩等份，因此，標示為(r,
)=(2,0)、(2,1)、(2,2)等模態。當r=3以及r=4時，可依此類推，並觀察動畫可以符合此現象。
3. (r,
)，
=0：也就是沿著「頌缽」底部的圓周方向，沒有任何的「節線」，如(r,
)=(1,0)、(2,0)、(3,0)、(4,0) 等模態，都有此現象。
4. (r,
)，
=1：也就是沿著「頌缽」底部的圓周方向，有一條「節線」，如(r,
)=(1,1)、(2,1)、(3,1)等模態，都有此現象。其實，這幾個模態特徵，尤其是(r,
)=(1,0)、(1,1)、(2,1)，都是「頌缽」底部的振動為主，也可判斷為「頌缽」底部的「局部模態」(local modes)，如同前述的「環模態」也是「頌缽」上緣的「局部模態」。
5. (r,
)，
=2，
=3：可以觀察在「頌缽」底部的圓周方向，分別有2、3條「節線」，如(r,
)=(1,2)、(1,3)。可以觀察，(r,
)的數值越大，「模態振型」的「節線」越多，也就越複雜。透過此(r,
)的標示方式，可以有效的解讀「頌缽」之「振動模態」的「模態振型」物理意義。
解讀了以上(r,
)的「振動模態」有甚麼意義呢？首先，這些(r,
)的「模態振型」都是「頌缽」的「振動模態」，都會貢獻到「頌缽」的「發聲頻率」，只是不同的「模態振型」有不同的貢獻度。
有別於「頌缽」上緣的「環模態」，稱之為local
modes「局部模態」，在此，系列的(r,
)「振動模態」可稱之為global modes「整體結構模態」，因為，可以看出是「頌缽」整體結構的振動。當然，若是看(r,
)=(1,0)、(1,1)、(2,1)，都是「頌缽」底部的振動為主，也可判斷為「頌缽」底部的「局部模態」(local modes)。
最後，總結一下本單元，針對「頌缽」的「模態振型」物理意義，可以概分為兩種：
1. Local modes「局部模態」的ring
modes「環模態」：參閱圖2，當小力敲擊「頌缽」時，主要的「發聲頻率」，都是來自此「環模態」的效應。
2. Global modes「整體結構模態」的(r,
)「振動模態」：參閱圖2，當大力敲擊「頌缽」時，主要的「發聲頻率」，除了來自「環模態」的效應，也會有(r,
)「振動模態」的效應。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2020.06.05文章粉絲團連結
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| 圖1、頌缽的模態振型有甚麼特徵？ |
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| 圖2、頌缽的發聲頻率與振動模態有甚麼關係？ |
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| 圖3、敲擊力道對頌缽的聲音響應有甚麼影響？ |
