《振動噪音科普專欄》甚麼是「外力激振」的「單自由度系統」？

結構振動的「單自由度系統」(single degree-of-freedom, SDOF, system)是振動課程的基礎入門單元之一，因為可以從「SDOF系統」，學習許多振動的現象。除了「外力激振」(force excitation)形式外，還有「基座激振」(base excitation)形式，本單元要介紹的是「外力激振」的「單自由度系統」。

首先，如圖示「質塊彈簧之實體結構」，以一個「質塊」吊掛在「彈簧」的下方，而「彈簧」的另一端是固定在邊界上。如果，對「質塊」施予外力，「質塊」就會上下來回振盪，可以觀察「質塊」的「位移」運動狀態。

對此「質塊彈簧之實體結構」，進行「數學模型化」(mathematical modeling)，可以得到如圖示對應的「數學模型」(mathematical model)，說明如下：

1.          質塊(mass)：假設質塊為「剛體」(rigid body)，以一個質點「質量」m，代表質塊，SI制單位：kg。

2.          阻尼元件(damper)：為了模擬彈簧的「阻尼效應」，常採用的「阻尼模型」(damping model)是「黏滯阻尼模型」(viscous damping model)，以「黏滯阻尼係數」(viscous damping coefficient)，c，代表此彈簧的「阻尼效應」(damping effect)，SI制單位：N / m/s = N.s/m，是彈簧變形每單位速度的受力，也就是「彈簧阻尼力」fd=c*v，v是質塊的速度。

3.          彈簧(spring)：彈簧以其「彈簧常數」(spring constant)，k，代表此彈簧的剛性(stiffness)，SI制單位：N/m，是彈簧每單位長度變形的受力。

所以，可以得到「系統參數」(system parameters)，就是：m、c、k，分別是質塊「質量」、彈簧的「黏滯阻尼係數」、彈簧的「彈簧常數」。

得到了「數學模型」可以推導其「運動方程式」(equation of motion, EOM)：ma+cv+kx=f(t)。【備註：比較明確的數學方程式，請讀者參考圖示，在文字說明，受限於方程式編寫，分別以x、v、a，代表位移、速度、加速度。】

由「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」，得到其「運動方程式」，因為是「二階的常微分方程式」，所以需要兩個「初始條件」：「初始位移」X0及「初始速度」V0。

接下來以「ISO系統方塊圖」的理念作說明【甚麼是ISO及SPR？】。ISO：雖然是簡單的系統方塊圖，但是隱含了許多物理意義，針對此「外力激振」的「單自由度系統」指的是：

1.          Input輸入：也就是施加於此系統的「外力」(external force)，以及兩個「初始條件」：「初始位移」X0及「初始速度」V0。

2.          System系統：也就是「系統參數」m、c、k。另外一個角度看系統，也就是「模態參數」(modal parameters)，包括：fn，「自然頻率」(natural frequency)；ξ，「阻尼比」(damping ratio)。

3.          Output輸出：此系統的「輸出」就是「質塊」的位移、速度、加速度，分別以x、v、a代表。

至此，我們瞭解了系統參數、輸入、及輸出，接下來觀察右上方圖示，是「次阻尼」(under-damped)狀態下，0<ξ<1，此「質塊」的位移軌跡圖，有興趣讀者可參閱先前單元：【相同初始位移，不同阻尼比，對質塊的振動有甚麼影響？】、【不同阻尼比對質塊的振動有甚麼影響？】。

甚麼是「阻尼比」呢？摘錄先前單元：【工程實務上，如何表示阻尼？黏滯阻尼的特性】，「阻尼比」是「黏滯阻尼比」的簡稱，說明如下：

1.      「黏滯阻尼比」(viscous damping ratio)：以ξ代表，定義是：ξ=c/Cc。其中，c是「黏滯阻尼係數」，Cc 是「臨界黏滯阻尼係數」如下說明。

2.      「臨界黏滯阻尼係數」(critical viscous damping coefficient)：以Cc代表，定義可參閱圖示，摘錄如下，Cc=2*(mk)^0.5=2mωn，其中，ωn=(k/m)^0.5，是系統的無阻尼狀態的「自然頻率」。

甚麼是「自然頻率」呢？摘錄先前單元：【如何計算質塊彈簧系統的「自然頻率」？】。參閱圖示的「自然頻率」方程式，可知：fn = 1/(2π)*(k/m)^0.5。又由「質塊」的「振動週期」T≒ 1/fn，和「自然頻率」直接的關聯性。

參閱右上方圖示，是「質塊」受到「初始位移」X0作用，系統是「次阻尼」(under-damped)狀態下，0<ξ<1，此「質塊」的位移軌跡圖，重點討論如下：

1.      「質塊」的上下來回振盪的「振動週期」，和系統的「自然頻率」相關。

2.      「質塊」的上下來回振盪的「衰減」現象，和系統的「阻尼比」相關。

接著，再看「數學模型」的示意圖，兩種「數學模型」的表示方式，在本質上是相同的，只是一個是「質塊」在上、一個是「質塊」在下。

接下來參閱右下方圖示，是外力f(t)=0，有「初始位移」X0及「初始速度」V0的作用之「質塊」位移響應軌跡圖，可以看出幾個特徵：

1.      「質塊」的上下來回振盪的「對數衰減」現象，衰減速度與「阻尼比」相關。

2.      「質塊」的上下來回振盪的「振動週期」，和系統的「阻尼自然頻率」相關。T=2π/ωd，其中，ωd=ωn*sqrt(1-ξ^2)為「阻尼自然頻率」(damped natural frequency)，而ωn=(k/m)^0.5，是「無阻尼自然頻率」(undamped natural frequency)。若是，阻尼比很小，則ωd~=ωn，也就是「阻尼自然頻率」相近於「無阻尼自然頻率」。

好的，這個單元我們主要介紹的是：「外力激振」的「單自由度系統」。回顧一下本單元的重點：

1.      實體結構：也就是左上方圖示的「質塊彈簧之實體結構」。

2.      數學模型化：對「實體結構」進行「數學模型化」，可以得到「數學模型」。

3.      數學模型：如圖示有兩種表示方式，一個是「質塊」在上、一個是「質塊」在下，在本質上兩種表示是相同的。

4.      系統參數：就是：m、c、k，分別是質塊「質量」、彈簧的「黏滯阻尼係數」、彈簧的「彈簧常數」。

5.      運動方程式：ma+cv+kx=f(t)。是「二階的常微分方程式」，所以需要兩個「初始條件」：「初始位移」X0及「初始速度」V0。

6.      ISO系統方塊圖：由Input輸入、System系統、Output輸出，解讀此系統的ISO內涵與關係。

7.      模態參數：包括：fn，「自然頻率」(natural frequency)；ξ，「阻尼比」(damping ratio)。也是系統參數。

8.      系統輸出響應：觀察了典型的「質塊」位移軌跡圖之特徵。

以上個人看法，請多指教！

王栢村

2020.02.14

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