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《振動噪音科普專欄》SDOF簡諧激振FRF系列(9):頻率響應函數(FRF)有哪些型式?

 

這個單元是SDOF簡諧激振FRF系列的9,要來探討的主題是:「頻率響應函數(Frequency Response Function, FRF)有哪些型式?

 

首先,快速回顧一下這個「外力激振」「單自由度系統」,參考圖示左上方,是實際結構的示意圖,一個質塊,懸吊在一個彈簧下面,彈簧的另一端是固定邊界,當質塊受到外力作用,質塊會有上下振盪的現象。

 

為了分析這個質塊-彈簧的實際結構(real structure),建構此系統數學模型(mathematical model),如示意圖。其中,

 

1.          系統參數(system parameters),就是:mck,分別是質塊的「質量(mass)、彈簧的「黏滯阻尼係數(viscous damping coefficient)、彈簧的「彈簧常數(spring constant)

2.          輸入」是f(t),為系統的外力,以及質塊本身的兩個「初始條件(initial condition, IC),包括:「初始位移(initial displacement) X0及「初始速度(initial velocity) V0

3.          輸出」是x(t),為系統質塊的位移響應。

 

由系統的數學模型」,可以推導出這個單自由度系統」的「運動方程式ma+cv+kx=f(t)。是「二階的常微分方程式」,所以需要兩個「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0。【備註:比較明確的數學方程式,請讀者參考圖示,在文字說明,受限於方程式編寫,分別以xva,代表位移速度加速度。】

 

在解析「頻率響應函數FRF,會定義系統的「輸入參數」,假設受到了簡諧外力」激振,例如是正弦函數 𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕),其中,𝑭 =簡諧外力振幅」;𝒇=簡諧外力」的「激振頻率」。

 

當這個正弦波的簡諧外力」,作用在此SDOF單自由度系統」,由先前單元:#208,【SDOF簡諧激振系列(2):為甚麼簡諧激振,會有簡諧響應?】,質塊的位移響應𝒙(𝒕),可以區別出,有暫態響應(transient state response),以及「穩態響應(steady state response)的區間。

 

其中,有興趣的是「穩態位移響應」,也是簡諧響應」,可以寫出位移響應方程式:𝒙(𝒕)=𝑿𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕+𝝓),其中,

 

1.      𝑿:是「穩態位移響應」的「位移振幅」。

2.      𝒇:是「穩態位移響應」的「響應頻率」,此頻率值就是「簡諧外力」的「激振頻率」。

3.      𝝓是「穩態位移響應」的「相位角(phase angle),是「位移𝒙(𝒕)和「外力𝒇(𝒕)的「相位角」差。

 

特別有興趣的是「位移振幅𝑿 相位角𝝓。為了有效率的全盤了解穩態位移響應」的特性,所以,定義了頻率響應函數(Frequency Response Function, FRF)𝑯(𝒇)

 

1.      𝑯(𝒇) = 輸出/輸入。

2.      𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇)

3.      𝑯(𝒇) =穩態位移振幅/外力振幅

 

這樣,可以快速知道𝑿(𝒇)𝑭(𝒇)的關係。又,因為不同的激振頻率𝒇,會有不同的穩態位移振幅𝑿,所以,分別以𝑿(𝒇)𝑭(𝒇)變數符號表示之。

 

這個單元,將更深入的探討不同型式的「頻率響應函數FRF,首先,針對「單自由度系統」之 FRF𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇) / 𝑭(𝒇) = 𝟏 / [(𝒌𝒎𝝎^𝟐 )+𝒊(𝝎𝒄)],會和系統參數」:mck相關,也會隨著不同的「激振頻率𝝎=𝟐𝝅𝒇,而會有不同的𝑯(𝒇)

 

又,由FRF定義:𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇),可以推導出來,𝑿(𝒇) = 𝑭(𝒇) 𝑯(𝒇)。也就是說,如果知道系統的mck,就可以求得頻率響應函數𝑯(𝒇),當已知簡諧外力」的「外力振幅𝑭,以及其激振頻率𝒇,就可以透過上面的方程式,推算出「穩態位移響應𝑿(𝒇),包括:位移振幅𝑿相位角𝝓

 

為了推導不同型式的「頻率響應函數FRF,首先,由已知的穩態位移響應」:𝒙(𝒕)=𝑿𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕+𝝓),對𝒙(𝒕)作微分,可得到「穩態速度響應」:𝑣(𝒕)=𝑿𝝎𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕+𝝓) =𝑽𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕+𝝓),其中,𝑽 =𝑿𝝎𝑽=速度振幅 (m/s)

 

再對𝑣(𝒕)作微分,可得到「穩態加速度響應」:𝑎(𝒕)=−𝑿𝝎^𝟐 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕+𝝓) =𝑨𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕+𝝓),其中,𝑨 = −𝑿𝝎^𝟐𝑨 =加速度振幅 (m/s^2)

 

𝒙(𝒕)𝑣(𝒕)𝑎(𝒕),的方程式,可以得知三者之間的相位(phase)關係:

 

1.      速度𝑣(𝒕)領先位移𝒙(𝒕)90度相位角。因為,cos函數,領先sin函數,90度相位角。

2.      加速度𝑎(𝒕)領先速度𝑣(𝒕)90度相位角。因為,-sin函數,領先cos函數,90度相位角。

3.      加速度𝑎(𝒕)領先位移𝒙(𝒕)180度相位角。因為,-sin函數,領先sin函數,180度相位角,或是正負值,就是180度相位角差。

 

接下來就來定義,不同的「頻率響應函數FRF如下:

 

1.      Receptance位移率𝑯𝒙(𝒇) = 𝑿(𝒇) / 𝑭(𝒇) = 位移振幅 / 外力振幅。

2.      Mobility移動率𝑯𝒗(𝒇) = 𝑽(𝒇) / 𝑭(𝒇) = 速度振幅 / 外力振幅。

3.      Accelerance加速率𝑯𝒂(𝒇) = 𝑨(𝒇) / 𝑭(𝒇) = 加速度振幅 / 外力振幅。

 

在此,列舉的實際數值案例,令「系統參數」:m = 1 (kg)c = 1 (N/ m/s)k = 39.48 (N/m),也就是mck固定。由「系統參數」:mck,可以推算得到「模態參數」:自然頻率𝒇𝒏 =1 (Hz)阻尼比𝝃 =0.0796。因為,0 < 𝝃 < 1,所以都是次阻尼狀態。

 

因為,這三個FRF,都是複數(complex number),參閱圖示,可以分別得到Receptance位移率」、Mobility移動率」、以及Accelerance加速率」的「振幅(amplitude)圖和相位角(phase angle)圖,其特徵討論如下:

 

1.      在「振幅(amplitude)圖,可以觀察到在𝒇 =1 (Hz),都有一個峰值(peak),對應的就是此SDOF系統的自然頻率𝒇𝒏 =1 (Hz)

2.      在「振幅(amplitude)圖,在 𝒇 =1 (Hz) 所對應的振幅值」,「位移率𝑯𝒙(𝒇) = 0.15 (m/N)移動率𝑯𝒗(𝒇) = 1 ((m/s)/N)加速率𝑯𝒂(𝒇) = 6.28 ((m/s^2)/N),其間的倍數關係是𝝎=𝟐𝝅𝒇,因為,𝒇 =1 (Hz),所以,會有𝝎=𝟐𝝅=6.28的倍數關係。

3.      在「相位角(phase angle)圖,在 𝒇 =0 (Hz) 三個FRF所對應的相位角,分別是0度、90度、180度,這就是前面所提到的:速度𝑣(𝒕)領先位移𝒙(𝒕)90度相位角;加速度𝑎(𝒕)領先速度𝑣(𝒕)90度相位角;加速度𝑎(𝒕)領先位移𝒙(𝒕)180度相位角。

4.      在「相位角(phase angle)圖,當激振頻率𝒇,穿越過「自然頻率𝒇𝒏時,三個FRF所對應的相位角」,都會有180度的變化。同時,在𝒇= 𝒇𝒏時,其「相位角」剛好會是在各別FRF所對應變化180度相位角的中間值,在位移率𝑯𝒙(𝒇),是-90度,在移動率𝑯𝒗(𝒇),是0度,在加速率𝑯𝒂(𝒇),是90度。

 

最後,統整一下這個單元的討論,主要探討三種不同的「頻率響應函數FRF型式:

 

1.      Receptance位移率= 位移 / 外力。

2.      Mobility移動率= 速度 / 外力。也有稱為Mechanical Mobility機械移動率」。

3.      Accelerance加速率= 加速度 / 外力。

 

可以知道,「頻率響應函數FRF是一種通稱的名詞,其定義是:𝑯(𝒇)=輸出/輸入,當輸入都是外力,輸出分別為:位移、速度、加速度時,其「頻率響應函數FRF有其定義的名稱,以及不同的頻譜特徵。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2021.07.07

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