這個單元是SDOF簡諧激振FRF系列的第9篇，要來探討的主題是：「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)有哪些型式？
首先，快速回顧一下這個「外力激振」「單自由度系統」，參考圖示左上方，是實際結構的示意圖，一個質塊，懸吊在一個彈簧下面，彈簧的另一端是固定邊界，當質塊受到外力作用，質塊會有上下振盪的現象。
為了分析這個質塊-彈簧的「實際結構」(real structure)，建構此系統「數學模型」(mathematical model)，如示意圖。其中，
1.
「系統參數」(system parameters)，就是：m、c、k，分別是質塊的「質量」(mass)、彈簧的「黏滯阻尼係數」(viscous damping coefficient)、彈簧的「彈簧常數」(spring constant)。
2.
「輸入」是f(t)，為系統的外力，以及質塊本身的兩個「初始條件」(initial condition, IC)，包括：「初始位移」(initial displacement) X0及「初始速度」(initial velocity) V0。
3.
「輸出」是x(t)，為系統質塊的位移響應。
由系統的「數學模型」，可以推導出這個「單自由度系統」的「運動方程式」：ma+cv+kx=f(t)。是「二階的常微分方程式」，所以需要兩個「初始條件」：「初始位移」X0及「初始速度」V0。【備註：比較明確的數學方程式，請讀者參考圖示，在文字說明，受限於方程式編寫，分別以x、v、a，代表位移、速度、加速度。】
在解析「頻率響應函數」FRF，會定義系統的「輸入參數」，假設受到了「簡諧外力」激振，例如是正弦函數
𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕)，其中，𝑭 =「簡諧外力振幅」；𝒇=「簡諧外力」的「激振頻率」。
當這個正弦波的「簡諧外力」，作用在此「SDOF單自由度系統」，由先前單元：#208，【SDOF簡諧激振系列(2)：為甚麼簡諧激振，會有簡諧響應？】，質塊的位移響應𝒙(𝒕)，可以區別出，有「暫態響應」(transient state response)，以及「穩態響應」(steady state response)的區間。
其中，有興趣的是「穩態位移響應」，也是「簡諧響應」，可以寫出位移響應方程式：𝒙(𝒕)=𝑿𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕+𝝓)，其中，
1. 𝑿：是「穩態位移響應」的「位移振幅」。
2. 𝒇：是「穩態位移響應」的「響應頻率」，此頻率值就是「簡諧外力」的「激振頻率」。
3. 𝝓：是「穩態位移響應」的「相位角」(phase
angle)，是「位移」𝒙(𝒕)和「外力」𝒇(𝒕)的「相位角」差。
特別有興趣的是「位移振幅」𝑿 和「相位角」𝝓。為了有效率的全盤了解「穩態位移響應」的特性，所以，定義了「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)，𝑯(𝒇)：
1.
𝑯(𝒇) = 輸出/輸入。
2.
𝑯(𝒇) =
𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇)。
3.
𝑯(𝒇) =「穩態位移振幅」/「外力振幅」。
這樣，可以快速知道𝑿(𝒇)和𝑭(𝒇)的關係。又，因為不同的「激振頻率」𝒇，會有不同的「穩態位移振幅」𝑿，所以，分別以𝑿(𝒇)和𝑭(𝒇)變數符號表示之。
這個單元，將更深入的探討不同型式的「頻率響應函數」FRF，首先，針對「單自由度系統」之 FRF：𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇) / 𝑭(𝒇) = 𝟏
/ [(𝒌−𝒎𝝎^𝟐 )+𝒊(𝝎𝒄)]，會和「系統參數」：m、c、k相關，也會隨著不同的「激振頻率」𝝎=𝟐𝝅𝒇，而會有不同的𝑯(𝒇)。
又，由FRF定義：𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇)，可以推導出來，𝑿(𝒇) = 𝑭(𝒇)
𝑯(𝒇)。也就是說，如果知道系統的m、c、k，就可以求得「頻率響應函數」𝑯(𝒇)，當已知「簡諧外力」的「外力振幅」𝑭，以及其「激振頻率」𝒇，就可以透過上面的方程式，推算出「穩態位移響應」𝑿(𝒇)，包括：「位移振幅」𝑿和「相位角」𝝓。
為了推導不同型式的「頻率響應函數」FRF，首先，由已知的「穩態位移響應」：𝒙(𝒕)=𝑿𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕+𝝓)，對𝒙(𝒕)作微分，可得到「穩態速度響應」：𝑣(𝒕)=𝑿𝝎𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕+𝝓) =𝑽𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕+𝝓)，其中，𝑽 =𝑿𝝎，𝑽=速度振幅 (m/s)。
再對𝑣(𝒕)作微分，可得到「穩態加速度響應」：𝑎(𝒕)=−𝑿𝝎^𝟐
𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕+𝝓) =𝑨𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕+𝝓)，其中，𝑨
= −𝑿𝝎^𝟐，𝑨 =加速度振幅 (m/s^2)。
從𝒙(𝒕)、𝑣(𝒕)及𝑎(𝒕)，的方程式，可以得知三者之間的相位(phase)關係：
1. 速度𝑣(𝒕)領先位移𝒙(𝒕)，90度相位角。因為，cos函數，領先sin函數，90度相位角。
2. 加速度𝑎(𝒕)領先速度𝑣(𝒕)，90度相位角。因為，-sin函數，領先cos函數，90度相位角。
3. 加速度𝑎(𝒕)領先位移𝒙(𝒕)，180度相位角。因為，-sin函數，領先sin函數，180度相位角，或是正負值，就是180度相位角差。
接下來就來定義，不同的「頻率響應函數」FRF如下：
1. Receptance「位移率」：𝑯𝒙(𝒇) = 𝑿(𝒇) / 𝑭(𝒇) = 位移振幅
/ 外力振幅。
2. Mobility「移動率」：𝑯𝒗(𝒇) = 𝑽(𝒇) / 𝑭(𝒇) = 速度振幅
/ 外力振幅。
3. Accelerance「加速率」：𝑯𝒂(𝒇)
= 𝑨(𝒇) / 𝑭(𝒇) = 加速度振幅
/ 外力振幅。
在此，列舉的實際數值案例，令「系統參數」：m = 1 (kg)、c =
1 (N/ m/s)、k = 39.48 (N/m)，也就是m、c及k固定。由「系統參數」：m、c、k，可以推算得到「模態參數」：「自然頻率」𝒇𝒏 =1 (Hz)，「阻尼比」𝝃 =0.0796。因為，0 < 𝝃 < 1，所以都是「次阻尼」狀態。
因為，這三個FRF，都是複數(complex number)，參閱圖示，可以分別得到Receptance「位移率」、Mobility「移動率」、以及Accelerance「加速率」的「振幅」(amplitude)圖和「相位角」(phase angle)圖，其特徵討論如下：
1. 在「振幅」(amplitude)圖，可以觀察到在𝒇 =1 (Hz)，都有一個峰值(peak)，對應的就是此SDOF系統的「自然頻率」𝒇𝒏 =1 (Hz)。
2. 在「振幅」(amplitude)圖，在 𝒇 =1 (Hz) 所對應的「振幅值」，「位移率」𝑯𝒙(𝒇) = 0.15 (m/N)，「移動率」𝑯𝒗(𝒇) = 1 ((m/s)/N)，「加速率」𝑯𝒂(𝒇)
= 6.28
((m/s^2)/N)，其間的倍數關係是𝝎=𝟐𝝅𝒇，因為，𝒇 =1 (Hz)，所以，會有𝝎=𝟐𝝅=6.28的倍數關係。
3. 在「相位角」(phase angle)圖，在 𝒇 =0 (Hz) 三個FRF所對應的相位角，分別是0度、90度、180度，這就是前面所提到的：速度𝑣(𝒕)領先位移𝒙(𝒕)，90度相位角；加速度𝑎(𝒕)領先速度𝑣(𝒕)，90度相位角；加速度𝑎(𝒕)領先位移𝒙(𝒕)，180度相位角。
4. 在「相位角」(phase angle)圖，當「激振頻率」𝒇，穿越過「自然頻率」𝒇𝒏時，三個FRF所對應的「相位角」，都會有180度的變化。同時，在𝒇= 𝒇𝒏時，其「相位角」剛好會是在各別FRF所對應變化180度相位角的中間值，在「位移率」𝑯𝒙(𝒇)，是-90度，在「移動率」𝑯𝒗(𝒇)，是0度，在「加速率」𝑯𝒂(𝒇)，是90度。
最後，統整一下這個單元的討論，主要探討三種不同的「頻率響應函數」FRF型式：
1. Receptance「位移率」= 位移
/ 外力。
2. Mobility「移動率」= 速度
/ 外力。也有稱為Mechanical Mobility「機械移動率」。
3. Accelerance「加速率」= 加速度
/ 外力。
可以知道，「頻率響應函數」FRF是一種通稱的名詞，其定義是：𝑯(𝒇)=輸出/輸入，當輸入都是外力，輸出分別為：位移、速度、加速度時，其「頻率響應函數」FRF有其定義的名稱，以及不同的頻譜特徵。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2021.07.07
