這個單元來探討的主題：結構振動分析的步驟與流程，會以「IC封裝電路板」 (IC package printed circuit board)系統為例來說明。
在先前單元有多個系列的「結構振動分析步驟流程」主題如下：
1. #171，【結構振動分析步驟流程：SDOF系統】
2. #173，【結構振動分析步驟流程：MDOF系統】
3. #174，【結構振動分析步驟流程：樑結構】
這幾個單元，都有共同的主題：「結構振動分析步驟流程」。只是探討的主題分別是「單自由度系統」(single degree of freedom (SDOF) system)、「多自由度系統」(multiple degree of freedom (MDOF) system)、及「樑結構系統」(beam structure system)。
由圖1，是結構振動分析的步驟流程，會以另外一角度，來看如何進行「IC封裝電路板」的四種「振動分析」。由圖1的流程圖，可以從兩個方向討論：
1. 振動理論分析：「由上而下」的流程，是進行「振動理論分析」的程序步驟，也就是本單元的討論重點。
2. 實驗模態分析：「由下而上」的流程，則是進行「實驗模態分析」的程序步驟，我們再另闢單元討論。
要進行一個結構的「振動分析」，是有多個步驟程序，參閱圖1，說明如下：
1. 數學模型化(mathematical modeling)：對「實際結構」(real structure)，進行「數學模型化」，可以得到結構的「數學模型」(mathematical model)。
2. 推導運動方程式(derivation of equation of motion (EOM))：由結構的「數學模型」，進行「推導運動方程式」，可以得到可描述系統的「系統方程式」(system equations)，不同系統特性，會有不同的數學方程式，例如：「單自由度系統」是二階的常微分方程式，「多自由度系統」會是二階的聯立常微分方程式，而「連續系統」則是偏微分程式。在此案例，採用採用「有限元素分析」(finite element analysis, FEA)，所以，建構了對應的「有限元素模型」(finite element model)，並依此模型，依序進行以下的分析。所以，沒有實際地推導「系統運動方程式」(system equations of motion)。
3. 模態分析(modal analysis)：由得到對應的「有限元素模型」，進行「理論模態分析」，可以求得系統的「模態參數」。進而，可以將原始物理域的「系統方程式」，以「模態參數」表示成模態域的「系統方程式」，此步驟有助於後續的響應分析。
4. 模態域數學模型(modal domain mathematical model)：由模態域的「模態參數」，可以描繪出等效於「實際結構」、以及等效於物理域的「數學模型」，所對應的模態域的「數學模型」，於此，有助於瞭解結構的「模態參數」特徵。在此案例，採用採用「有限元素分析」，此模態域的等效「數學模型」也是存在的，分析人員應能有此認知。
5. 簡諧響應分析(harmonic response analysis)：係基於系統受到「簡諧激振」(harmonic excitation)假設，可以求得系統的「簡諧響應」(harmonic response)，稱之為「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)。
6. 暫態響應分析(transient response analysis)：若結構系統受到已知的時間域「外力」(external force)，透過「暫態響應分析」，可求得結構系統如位移的「時間域響應」。
7. 頻譜響應分析(spectrum response analysis)：如果，結構系統受到的是「隨機」(random)的「外部激振」(external excitation)，透過「頻譜響應分析」，可求得結構系統如位移的「頻率域響應」。
這個單元將探討「IC封裝電路板」，如何透過圖示的這些程序步驟，進行結構振動分析。首先，回顧一下先前單元#175：【印刷電路板之振動分析】，參閱圖2，簡要說明如下：
1. 實體結構：參閱圖示的實際結構(real structure)，在一部振動試驗機，其上有一振動平台，在平台上安置了「印刷電路板」及夾持的治具，此「印刷電路板」相當於四個角落固定的平板結構。
2. 數學模型：對應實體結構，可透過「數學模型化」(mathematical modeling)的步驟，取得「物理域數學模型」(physical mathematical model)。需要明確定義：「系統參數」(system parameters)、「輸入參數」(input parameters)、「輸出參數」(output parameters)，也就是ISO/SPR的理念。「系統參數」：對應「IC封裝電路板」的實體結構，針對幾何參數，以及材料參數，可以建構其結構模型。「IC封裝電路板」的四個角落，有螺絲鎖固，分別以「彈簧常數」模擬代表鎖固的邊界狀態。「輸入參數」：此案例的輸入，是基座激振的加速度頻譜，施加於四個螺絲鎖固點，其「加速度頻譜」係由JEDEC標準所規範的「加速度功率頻譜密度函數」。「輸出參數」：可以定義「IC封裝電路板」的位移輸出，是主要的有興趣的輸出參數，對應實驗量測，也可得到每一個位置的加速度響應。
3. 有限元素模型：有了「數學模型」(mathematical model)，在此案例，採用採用「有限元素分析」(finite element analysis, FEA)，所以，建構了對應的「有限元素模型」(finite element model)，並依此模型，依序進行以下的分析。所以，沒有實際地推導「系統運動方程式」(system equations of motion)。
接下來，回顧一下「振動分析」，一個結構的「振動」「分析」，可以分為四種類型，從”WHY to do?”及”WHAT to get/know?”分別說明如下：
1. 模態分析(modal analysis)：”WHY”：瞭解結構的「振動模態」(vibration mode)。”WHAT to get?”：求得結構的「模態參數」(modal parameters)。
2. 簡諧響應分析(harmonic response analysis)：”WHY”：瞭解結構系統的「頻譜響應」特性。”WHAT to get?”： 求得結構的「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)。
3. 暫態響應分析(transient response analysis)：”WHY”：瞭解結構系統受到「外部激振」的系統「時間域響應」。”WHAT to get?”：求得結構系統如位移的「時間域響應」。
4. 頻譜響應分析(spectrum response analysis)：”WHY”：瞭解結構系統受到「隨機」(random)的「外部激振」之系統「響應」。”WHAT to get?”：求得結構系統如位移的「頻率域響應」。
要進行一個結構的「振動分析」，是有多個步驟程序，參閱圖1，在此取「IC封裝電路板」以此程序步驟，進行探討：
1. 數學模型化(mathematical modeling)：參閱圖示的實際結構(real structure)，在一部振動試驗機，其上有一振動平台，在平台上安置了「印刷電路板」及夾持的治具，此「印刷電路板」相當於四個角落固定的平板結構。對應實體結構，可透過「數學模型化」(mathematical modeling)的步驟，取得「物理域數學模型」(physical mathematical model)。需要明確定義：「系統參數」(system parameters)、「輸入參數」(input parameters)、「輸出參數」(output parameters)，也就是ISO/SPR的理念。對應「印刷電路板」的實體結構，針對幾何參數，以及材料參數，可以建構其結構模型。「印刷電路板」的四個角落，有螺絲鎖固，分別以「彈簧常數」模擬代表鎖固的邊界狀態。此案例的輸入，是基座激振的加速度頻譜，施加於四個螺絲鎖固點，其「加速度頻譜」係由JEDEC標準所規範的「加速度功率頻譜密度函數」。可以定義「印刷電路板」的位移輸出，是主要的有興趣的輸出參數，對應實驗量測，也可得到每一個位置的加速度響應。
2. 推導運動方程式(derivation of equation of motion (EOM))：有了「數學模型」(mathematical model)，在此案例，採用採用「有限元素分析」(finite element analysis, FEA)，所以，建構了對應的「有限元素模型」(finite element model)，並依此模型，依序進行以下的分析。所以，沒有實際地推導「系統運動方程式」(system equations of motion)。實際的應用步驟是：建構了「有限元素模型」，需要明確定義的是：幾何(geometry)、材料(material)、邊界條件(boundary)，以及對應的輸入(input)和有興趣的輸出(output)。
3. 模態分析(modal analysis)：主要在求得結構的「模態參數」(modal parameters)。在此「IC封裝電路板」的「模態參數」為：「自然頻率」，ωr，「模態振型向量」，{φr}，「模態阻尼比」，ξr。其中，r=1,2,…，共有無窮多個「振動模態」(vibration modes)。在此分為兩個階段，第一個階段是「自由邊界」印刷電路板的「模態分析」，由圖示為前4個「振動模態」的「模態振型」，分別由FEA及EMA求得，也就是由分析及實驗所得到的結果，可看到「模態參數」比對良好，在此是確認了「IC封裝電路板」的幾何及材料參數之設定。第二個階段是「固定邊界」印刷電路板的「模態分析」，同樣可看到「模態參數」比對良好，在此是確認了「IC封裝電路板」4個角落邊界模擬的正確性。在此完成了「有限元素模型」在「模態域」的「模型驗證」(model verification)，也就是確認「IC封裝電路板」的「有限元素分析模型」等效於「實際結構」。
4. 模態域數學模型(modal domain mathematical model)：有了系統原始的「物理域系統方程式」，可以轉換為以「模態參數」表示的「模態域系統方程式」。在此，「模態域數學模型」是以「自然頻率」，ωr，「模態阻尼比」，ξr所表示的無窮多個獨立的「單自由度系統」。值得注意的是，此「模態域系統方程式」和「物理域系統方程式」所對應的「模態域數學模型」和「物理域數學模型」是等效的。在此案例，採用採用「有限元素分析」，此模態域的等效「數學模型」也是存在的，分析人員應能有此認知。
5. 簡諧響應分析(harmonic response analysis)：主要在求得結構的「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)，圖示以H(ω)代表，可以寫為Hij(ω)，物理意義是：結構在第 j 個自由度，受到「簡諧激振」(harmonic excitation)，其「外力振幅」Fj，而系統的「穩態響應」也是「簡諧響應」，第 i 個自由度其「位移振幅」Xi，所以Hij(ω)是輸出的「位移振幅」Xi除以輸入的「外力振幅」Fj。在實務上，通常以加速度規(accelerometer)進行量測，所以，FRF會是Hij(ω)=Ai/Fj，其中，Ai是「加速度振幅」。圖示為分析與實驗求得的FRF比較，可看出在頻譜的趨勢及量值都有很好的比對，代表的意義是：完成了「有限元素模型」在「頻率域」的「模型驗證」(model verification)，也就是更明確的確認了「IC封裝電路板」的「有限元素分析模型」等效於「實際結構」。在此補充說明，「模態分析」及「簡諧響應分析」都是「系統分析」的一環，分別求得結構的「模態參數」以及「頻率響應函數」。
6. 頻譜響應分析(spectrum response analysis)：當結構系統受到「隨機」的「外部激振」時，如圖示的「IC封裝電路板」基座激振的加速度頻譜，施加於四個螺絲鎖固點，其「加速度頻譜」係由JEDEC標準所規範的「加速度功率頻譜密度函數」。由已知的輸入PSD頻譜，透過「頻譜響應分析」方式，求解得到「IC封裝電路板」的位移「頻率域響應」Gxx(ω)，也就是位移的「功率頻譜密度函數」，當然也可得到加速度的「功率頻譜密度函數」，可以與實驗測試作比較驗證。對任一個位置的Gxx(ω) 取積分、開根號，可以求得該位移的「平方平均根值」(RMS, root mean square)，相當於瞭解了「IC封裝電路板」的位移響應量值大小，可達到分析目的。透過與實驗的樑測比對任意位置之加速度「功率頻譜密度函數」，當比對良好時，可以應用「有限元素分析模型」預測探討「IC封裝」的應力狀態。
7. 暫態響應分析(transient response analysis)：主要在求得結構系統如位移的「時間域響應」。當已知系統的外力 f(t)，是可以求得「輸出」是 {x(t)}，為「IC封裝電路板」的位移「時間域響應」。此「IC封裝電路板」也有衝擊測試(shock test)的規範，就需要採用「暫態響應分析」方式，求得系統如位移的「時間域響應」。
綜合本單元的討論，是從先前單元#175：【印刷電路板之振動分析】談起，是個別的看「實際結構」、「數學模型」、及「系統方程式」，以及有四種「振動分析」：「模態分析」、「簡諧響應分析」、「暫態響應分析」、「頻譜響應分析」。而本單元的討論，則是將這些個別的分析工作事項(tasks)，綜合歸納了系統化的結構振動分析步驟，以流程化的方式呈現及討論。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
