這個單元是SDOF簡諧激振系列的第6篇，要來探討的主題是：「負值」的「黏滯阻尼係數」，對振動響應有甚麼影響？
首先，回顧一下這個「外力激振」「單自由度系統」，參考圖示左上方，是此系統「數學模型」(mathematical model)示意圖。其中，
1.
「系統參數」(system parameters)，就是：m、c、k，分別是質塊的「質量」(mass)、彈簧的「黏滯阻尼係數」(viscous damping coefficient)、彈簧的「彈簧常數」(spring constant)。
2.
「輸入」是f(t)，為系統的外力，以及質塊本身的兩個「初始條件」(initial condition, IC)，包括：「初始位移」(initial displacement) X0及「初始速度」(initial velocity) V0。
3.
「輸出」是x(t)，為系統質塊的位移響應。
參考左下方圖示，是「ISO系統方塊圖」(ISO system block diagram)，其中：
1. Input 輸入：f(t)，為系統的外力，以及兩個「初始條件」的「初始位移」X0及「初始速度」V0。
2. System 系統：m、c、k。
3. Output 輸出：x(t)、v(t)、a(t) 分別為系統質塊的位移、速度及加速度響應。
參考左下方的圖示，就是此「單自由度系統」的「運動方程式」：ma+cv+kx=f(t)。是「二階的常微分方程式」，所以需要兩個「初始條件」：「初始位移」X0及「初始速度」V0。【備註：比較明確的數學方程式，請讀者參考圖示，在文字說明，受限於方程式編寫，分別以x、v、a，代表位移、速度、加速度。】
若是對此「單自由度系統」，進行「理論模態分析」(theoretical modal analysis, TMA)，可以得到兩個「模態參數」(modal parameters)，在此「單自由度系統」的「模態參數」為：
1.
「自然頻率」(natural frequency)，ωn = 2 π fn=(k/m)^0.5，
2.
「阻尼比」(damping ratio)，ξ=c/Cc。其中，c是「黏滯阻尼係數」，Cc=2*(mk)^0.5=2mωn，是「臨界黏滯阻尼係數」(critically viscous damping coefficient)。
所以，由「系統參數」：m、c、k，就可以求得「自然頻率」fn以及「阻尼比」ξ。
以下舉實際的數值案例，進行分析，令「系統參數」：m = 1 (kg)、c =
–0.5 (N/ m/s)、k = 39.47 (N/m)，可以求得兩個「模態參數」：「自然頻率」𝒇𝒏 = 1 (Hz)，「阻尼比」𝝃
= –0.0398。因為， 0 < 𝝃 <–1，就是「負次阻尼」狀態。注意，這個單元特別要探討的是「負值」的「黏滯阻尼係數」，對振動響應有甚麼影響？
接著，定義系統的「輸入參數」，假設系統受到了「簡諧外力」激振，為正弦函數
𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕)，其中，𝝎= 𝟐𝝅𝒇，令「簡諧外力振幅」𝑭 = 0.2 (N)。為了探討不同「簡諧外力」的「激振頻率」𝒇
之影響，分別令：𝒇 = 0.6 (Hz) =0.6𝒇𝒏< 𝒇𝒏、𝒇 = 1.0 (Hz) =1.0𝒇𝒏= 𝒇𝒏、𝒇 = 1.4 (Hz) =1.4𝒇𝒏> 𝒇𝒏。分別有「共振激振」(resonant excitation)的狀態，也就是𝒇 =𝒇𝒏，以及「非共振激振」(non-resonant excitation)的狀態，𝒇≠𝒇𝒏。
再定義系統的「輸入參數」，也就是兩個「初始條件」(initial condition, IC)，「初始位移」𝒙𝟎及「初始速度」𝒗𝟎。在此，都假設為0，也就是：𝒙𝟎
= 0 (m)，𝒗𝟎 = 0 (m/s)。
參閱右邊中間圖示的動畫，呈現了c =–0.5 (N / m/s)，𝝃 =–0.0398 (負次阻尼)，在「簡諧外力」激振，𝒇 =0.6𝒇𝒏< 𝒇𝒏、𝒇 =1.0𝒇𝒏= 𝒇𝒏、𝒇 =1.4𝒇𝒏> 𝒇𝒏，也就是三種不同「激振頻率」的質塊位移響應𝒙(𝒕)，說明如下：
1. 𝒇 =0.6𝒇𝒏< 𝒇𝒏，以及𝒇 =1.4𝒇𝒏> 𝒇𝒏：兩者都是「非共振激振」，可觀察到隨著時間增長，位移響應會逐次放大，甚至到無窮大，這是因為在「負次阻尼」狀態，在「正阻尼」會有消散能量進而抑制振動，反之，在「負阻尼」狀態，會有增大能量而加劇振動增大響應。
2. 𝒇 =1.0𝒇𝒏= 𝒇𝒏：這是「共振激振」，已經知道「共振」會引發大的振動量，在「正阻尼」時，會有一定程度的抑制振動，由於在此是「負阻尼」狀態，使得增大能量而加劇振動增大響應，同時，又是「共振激振」，可以觀察在相同的20
sec之內，其最大的位移振幅𝑿=6
(m)，比起前述兩個「非共振激振」的狀態，大約有10倍大的響應。
接著，再增大「負值」的「黏滯阻尼係數」，觀察下方左邊的動畫，呈現了c =–1 (N / m/s)，𝝃 =–0.07958 (負次阻尼)，以及𝒇 = 𝒇𝒏的「共振激振」下，質塊的位移響應𝒙(𝒕)，可以觀察在相同的20 sec之內，其最大的位移振幅高達𝑿=400 (m)，比起c =–0.5 (N / m/s)，𝝃 =–0.0398 (負次阻尼)，最大的位移振幅𝑿=6
(m)，飆高了許多，除了是「共振」會引發大的振動量外，最主要是更小的「負阻尼」狀態的影響。
再回顧一下，觀察下方中間的動畫，呈現了c = 0 (N / m/s)，ξ= 0 (無阻尼)時，以及𝒇 = 𝒇𝒏的「共振激振」下，質塊的位移響應𝒙(𝒕)，可以發現會隨著時間增長，位移響應會逐次放大，可以觀察在相同的20 sec之內，其最大的位移振幅大約只有 𝑿=0.3 (m)，由此對照的比較，可以知道「負阻尼」會大大增大了能量，使得系統的振動加劇，增大了質塊位移響應。
最後回顧一下「正阻尼」狀態的響應，觀察下方右邊的動畫，呈現了c = 0.1 (N / m/s)，ξ= 0.00796 (正次阻尼)時，以及𝒇 = 𝒇𝒏的「共振激振」下，質塊的位移響應𝒙(𝒕)，盡管隨著時間增長，位移響應會逐次放大，但是因為有「正阻尼」的效應，最後仍會抑制在一個量值範圍，呈現出「穩態響應」，在此案例最大的穩態位移振幅大約只有 𝑿=0.17
(m)。
綜合一下這個單元的討論，著重在「負值」的「黏滯阻尼係數」之探討，也就是「負阻尼」狀態的系統響應，總結如下：
1. 當c = 0 (N / m/s)，ξ= 0 (無阻尼)時，又是𝒇 = 𝒇𝒏
的「共振激振」：質塊的位移響應𝒙(𝒕)，可以發現會隨著時間增長，位移響應會逐次放大，在相同的20 sec之內，其最大的位移振幅大約只有 𝑿=0.3 (m)。
2. 當c =–0.5 (N / m/s)，𝝃 =–0.0398 (負次阻尼)時，不管是𝒇 =
𝒇𝒏 的「共振激振」、或是𝒇≠𝒇𝒏
的「非共振激振」：質塊的位移響應𝒙(𝒕)，也可以發現都會隨著時間增長，位移響應會逐次放大，在相同的20 sec之內，其最大的位移振幅，對不同「簡諧外力」的「激振頻率」，分別為 𝑿=0.4 (m)、𝑿=6 (m)、𝑿=0.6 (m)，都比前項的「無阻尼」的𝑿=0.3 (m)要大，這是因為「負阻尼」的效應，會增大能量，使得系統的振動加劇，增大了質塊位移響應。在此可知，如果系統的阻尼是「負阻尼」狀態，是不樂見的情形，因為，會使得振動增大。
3. 當c = 0.1 (N / m/s)，ξ= 0.00796 (正次阻尼)時，不管是𝒇 = 𝒇𝒏
的「共振激振」、或是𝒇≠𝒇𝒏
的「非共振激振」：質塊的位移響應𝒙(𝒕)，也可以發現都會隨著時間增長，位移響應會逐次放大，但是因為有「正阻尼」的效應，最後仍會抑制在一個量值範圍，呈現出「穩態響應」，在此案例最大的穩態位移振幅大約只有 𝑿=0.17 (m)。
簡而言之，「負值」的「黏滯阻尼係數」，也就是「負阻尼」狀態，對於結構系統而言，是一種不良的現象，會造成結構大的振動響應，應該要避免系統有「負阻尼」的效應。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
