這個單元的主題：「對數衰減」(logarithmic decrement)，是「阻尼」的特徵之一，為了探討「對數衰減」的名詞定義，以及相關的應用，還是需要從圖示的「質塊彈簧之實體結構」談起。
在先前單元：【如何求得彈簧的彈簧常數？】，對圖示「質塊彈簧之實體結構」，進行「數學模型化」(mathematical
modeling)，可以得到對應的「數學模型」(mathematical model)，包括：「質量」m、「黏滯阻尼係數」c、「彈簧常數」k，可稱為「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」，是典型的振動學課程重要單元之一。
又由先前單元：【工程實務上，如何表示阻尼？黏滯阻尼的特性】，最常採用的「黏滯阻尼模型」(viscous damping model)，也就是圖示的「數學模型」，可以得到其「運動方程式」：ma+cv+kx=f(t)。【備註：比較明確的數學方程式，請讀者參考圖示，在文字說明，受限於方程式編寫，分別以x、v、a，代表位移、速度、加速度。】
由「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」，得到其「運動方程式」，因為是「二階的常微分方程式」，所以需要兩個「初始條件」：「初始位移」X0及「初始速度」V0。
1. 「黏滯阻尼比」(viscous damping ratio)：以ξ代表，定義是：ξ=c/Cc。其中，c是「黏滯阻尼係數」，Cc 是「臨界黏滯阻尼係數」如下說明。
2. 「臨界黏滯阻尼係數」(critical
viscous damping coefficient)：以Cc代表，定義可參閱圖示，摘錄如下，Cc=2*(mk)^0.5=2mωn，其中，ωn=(k/m)^0.5，是系統的「無阻尼自然頻率」。
在先前單元的主題：【不同阻尼比對質塊的振動有甚麼影響？】，當0<ξ<1，是「次阻尼」(under-damped)狀態，也就是「黏滯阻尼係數」c介於0和Cc之間，此系統的質塊運動狀態呈現來回振盪的衰減現象，而且，「阻尼比」ξ越大，質塊振盪的振幅就衰減越快。
參閱圖示，針對「次阻尼」狀態，0<ξ<1，質塊來回振盪的位移衰減信號，做進一步的解析討論如下：
1. 當f(t)=0，有「初始位移」X0及「初始速度」V0的「初始條件」：質塊的初始狀態，即如圖示顯示的質塊初始位移，及其速度向量。
2. 因為，系統是「次阻尼」狀態，0<ξ<1，所以，質塊會呈現來回振盪的現象，而振盪的週期具有規律性，週期T=2π/ωd，其中，ωd=ωn*sqrt(1-ξ^2)為「阻尼自然頻率」(damped natural frequency)，而ωn=(k/m)^0.5，是「無阻尼自然頻率」(undamped natural frequency)。若是，阻尼比很小，則ωd~=ωn，也就是「阻尼自然頻率」相近於「無阻尼自然頻率」。
3. 質塊的衰減現象，係與exp(–ξωn
t)相關，因為指數函數為負值，所以，質塊的運動會隨時間增長，而逐漸衰減到零。其中，ξωn可以定義為「衰減率」，代表質塊來回振盪衰減的速率。可以看出：「阻尼比」ξ越大，「衰減率」越大；「無阻尼自然頻率」ωn越大，「衰減率」也越大。當「衰減率」ξωn越大，則質塊來回振盪的衰減速率就越快。
了解了「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」，在「次阻尼」狀態，0<ξ<1，質塊有來回振盪的位移衰減信號的特徵，可以定義「對數衰減」δ及其與「阻尼比」ξ的關係，說明如下：
1. 「對數衰減」δ：參閱圖示的方程式，摘錄如下，δ=1/(n-1)*ln(x1/xn)，當n=2、n=3，可寫出不同的「對數衰減」δ表示式，可參閱圖示。
2. 「阻尼比」ξ：和「對數衰減」δ，有如圖示的關係式，ξ=δ/sqrt((2π)^2+δ^2)。
3. 如果，「阻尼比」ξ很小，「阻尼比」ξ和「對數衰減」δ的關係式，可以化簡為：ξ=δ/2π。
這個單元的重點，在介紹「對數衰減」δ的理念及其定義。需要注意的是，只有適用在系統的阻尼是「次阻尼」狀態。由於實務上，結構系統大都是0<ξ<1的「次阻尼」狀態，所以，了解「對數衰減」δ有其需要性，也可以應用在測定「黏滯阻尼係數」的時間域方法，將另闢單元討論。
這個單元，主要是探討了「對數衰減」δ的理念及其定義，由「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」的質塊位移響應之動態特性分析，可以得到，「阻尼比」ξ和「對數衰減」δ的關係式，未來還可應用到求得系統「黏滯阻尼係數」，希望由本單元的探討，讀者能夠初步了解「對數衰減」δ的特徵以及其定義。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2019.08.08
