這個單元要來探討的主題是：振動的「傅立葉頻譜」(Fourier spectrum)和「功率頻譜」(power spectrum)有甚麼不同？
為什麼要探討這個主題呢？一般常說「頻譜」(spectrum)，就有「傅立葉頻譜」以及「功率頻譜」兩者是有很大的差異。
尤其在討論”R-test-V”：Response-test-Vibration：響應-實驗-振動：最常用的感測器是加速度規(accelerometer)，就是量測結構的加速度響應 𝒂(𝒕)。需要解析各種振動的「頻譜」，這個單元就來探討區別「傅立葉頻譜」以及「功率頻譜」兩者之間的關係與差異。
參閱圖示左上方，顯示先前單元：#109，【對一個信號進行頻譜分析的原理為何？】，振動量測信號的頻譜分析流程圖，有甚麼Index 指標？簡要回顧說明如下：
1. 𝒂(𝒕) = time waveform = 時間波形：量測到的加速度響應
𝒂(𝒕)，是原始數據(raw data)。
2. 𝑨(𝒇) = Fourier spectrum = 傅立葉頻譜：對
𝒂(𝒕)進行FFT快速傅立葉轉換(fast Fourier
transform, FFT)處理，可以得到𝑨(𝒇)
傅立葉頻譜，會是複數，不可平均，是單一個時間區間的頻譜特徵。所以，通常並不會深入探討。
3. 𝑮𝒂𝒂(𝒇) = acceleration spectrum = 加速度頻譜：取得的
𝑨(𝒇)，透過PSD (power spectral density, PSD)處理，可以取得加速度的功率頻譜(power spectrum, auto PSD spectrum) 𝑮𝒂𝒂(𝒇)，可簡稱加速度頻譜(acceleration spectrum)。加速度頻譜顯示的峰值(peaks)，就是主要振動的頻率。
4. 𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄) = 1/3 octave band
spectrum = 三分之一倍頻頻譜：再由𝑮𝒂𝒂(𝒇)，進行三分之一倍頻(one third octave
band)處理，可以取得 𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)，主要是配合人體感官的效果。
5. 𝑳𝒂,𝒆𝒒 = equivalent acceleration
level = 等效加速度位準/加速度級：由𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)，可以累加 𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄) 每一個 𝒇𝒄 中心頻率(central frequency)的加速度位準dB，進而得到𝑳𝒂,𝒆𝒒。簡單說，就是在量測時間內的加速度大小之平均值，實際上是均能 (equivalent energy)的概念。
6. 𝑮𝒂𝒂(𝒕,𝒇) = spectrogram = 時頻圖：必須透過時頻分析(time frequency
analysis)，常用短時傅立葉轉換(short time Fourier transform, STFT)處理，以得到時頻圖。
7. 𝑳𝒂(𝒕) = acceleration level = 加速度位準/加速度級：對應時間軸，每一個瞬間的加速度位準/加速度級。
本單元著重在區別：振動的「傅立葉頻譜」𝑨(𝒇) 以及「功率頻譜」𝑮𝒂𝒂(𝒇)，以及實務上，如何取得
𝑨(𝒇)以及 𝑮𝒂𝒂(𝒇)？
首先，參閱圖示左邊的【量測FFT參數設定】以及完整的64 sec量測到的加速度響應
𝒂(𝒕)，是原始數據(raw data)。有關FFT參數設定，重點說明如下：
1. Nyquist Frequency = 20000 Hz：是最高的有效頻率範圍，Fmax = 20000 Hz。
2. Frequency Lines = 12800 lines：是頻譜的解析條數(Line of resolution, LOR)，LOR = 12800。
3. Resolution = 1.5625 Hz：是頻譜的頻率解析度，R = Fmax / LOR = 20000 / 12800 = 1.5625 Hz。
4. Average Times = 100：設定的平均次數，AVG = 100。
5. Overlap = 0%：平均處理(averaging)的時間波形數據之重疊率為Overlap = 0%，也就是完全沒有重疊。
6. Measurement Time = 64 sec：如果，一個FFT的分析時間長度，T = 1/R = 1/1.5625 = 0.64 s。總量測時間：Ttotal = T + T*(1- Overlap%) *(AVG-1) = 0.64 + 0.64*(1- 0%) *(100-1) = 64 s。
接下來，就來看如何進行信號的頻譜分析(spectral analysis)，以取得振動的加速度「傅立葉頻譜」𝑨(𝒇) 以及「功率頻譜」𝑮𝒂𝒂(𝒇)，說明如下：
1. 振動加速度「傅立葉頻譜」𝑨(𝒇)：理論上，是透過傅立葉轉換(Fourier transform)，由 𝒂(𝒕)取得𝑨(𝒇)，數學表示式：𝑨(𝒇)=𝓕[𝒂(𝒕)]，其中，𝓕[ ]代表傅立葉轉換運算子，是積分計算。而實務上是透過FFT快速傅立葉轉換(fast Fourier transform, FFT)處理，而得到𝑨(𝒇)
傅立葉頻譜，會是複數，不可平均，是單一個時間區間的頻譜特徵。參閱圖示，當取AVG = 100次平均，會有100個𝑨(𝒇)，圖示呈現的是𝑨(𝒇) 的振幅值| 𝑨(𝒇)|，由於沒有平均，看到的頻譜，不具代表性，通常並不會深入探討，可以視為過程資訊。然而，通常有興趣的平均頻譜是 𝑮𝒂𝒂(𝒇)。
2. 振動加速度「功率頻譜」𝑮𝒂𝒂(𝒇)：比較完整的名詞是「自身功率頻譜」(auto power spectrum)，數學表示式：𝑮𝒂𝒂(𝒇)= 𝑨∗(𝒇) 𝑨(𝒇)/𝜟𝒇，其中，∗是取共軛複數(complex conjugate)，𝜟𝒇 = R =頻率解析度，所以，𝑮𝒂𝒂(𝒇)是純實數，可以取平均。本案例，如圖示的𝑮𝒂𝒂(𝒇)，是AVG = 100次的平均。
取得了振動加速度「功率頻譜」𝑮𝒂𝒂(𝒇)，繪圖呈現的方式，參閱圖示左下方的四個圖示，有兩種方式，說明如下：
1. y軸：物理量 = 加速度 (g)，可以取LIN (linear) 或是
LOG (logarithmic)座標。而x軸：物理量 = 頻率 (Hz)，也是可以取LIN (linear) 或是
LOG (logarithmic)座標。透過y軸的linear圖示，可以容易判斷，高振動的實際頻帶，圖示案例，主要高振動頻帶，大約在0~6000 Hz。那麼，又為什麼需要觀察𝑮𝒂𝒂(𝒇)的dB圖示？因為，可以看出可能的共振之自然頻率效應。
2. y軸：物理量 = 加速度位準 (dB)，完整的單位標註：dB 𝒓𝒆 𝟏𝟎^(−𝟔) 𝐦/𝐬^𝟐 =𝟏𝟎^(−𝟔)/(𝟗.𝟖𝟎𝟕) 𝐠。會除以𝟗.𝟖𝟎𝟕，是因為： 1 𝐠 = 𝟗.𝟖𝟎𝟕
𝐦/𝐬^𝟐。加速度位準的定義：𝑳𝒂=𝟐𝟎
𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 (𝑨𝒓𝒎𝒔/ 𝑨𝒓𝒆𝒇)，其中，𝑨𝒓𝒆𝒇=𝟏𝟎^(−𝟔) 𝐦/𝐬^𝟐。而x軸：物理量 = 頻率 (Hz)，也是可以取LIN (linear) 或是
LOG (logarithmic)座標。x軸，會取LOG座標，主要是配合人體感官的感覺效果，人體對頻率的變動是LOG，而不是LIN。在爾後單元探討
𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄) = 1/3 octave band
spectrum = 三分之一倍頻頻譜，會再詳細討論。
如果，由𝑮𝒂𝒂(𝒇)圖示，比較y軸：物理量 = 加速度 (g)，以及y軸：物理量 = 加速度位準 (dB)，可以觀察到，兩者的曲線趨勢完全相同，因為取dB，已經有取LOG的效果。
要注意：實務上在解讀分析振動加速度頻譜，會是以加速度「功率頻譜」𝑮𝒂𝒂(𝒇)為主，同時，也會以y軸：物理量 = 加速度位準
(dB)，進行診斷分析。
綜合一下這個單元的討論：振動的加速度「傅立葉頻譜」(Fourier spectrum)和「功率頻譜」(power spectrum)有甚麼不同？總結如下：
1. 回顧了先前單元：#109，【對一個信號進行頻譜分析的原理為何？】：振動量測信號的頻譜分析流程圖，𝒂(𝒕) → 𝑨(𝒇) → 𝑮𝒂𝒂(𝒇) → 𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄) → 𝑳𝒂,𝒆𝒒。
2. 本單元著重在區別：𝑨(𝒇)「傅立葉頻譜」(Fourier spectrum)和
𝑮𝒂𝒂(𝒇)「功率頻譜」(power spectrum)，以及對應的數學學理以及數值分析。𝑨(𝒇)
由於沒有平均，看到的頻譜，不具代表性，通常並不會深入探討，可以視為過程資訊。然而，通常有興趣的平均頻譜是 𝑮𝒂𝒂(𝒇)，振動的診斷分析，會是以加速度「功率頻譜」𝑮𝒂𝒂(𝒇)為主。
3. 針對𝑮𝒂𝒂(𝒇)的繪圖呈現方式：實務上，𝑮𝒂𝒂(𝒇) 會以y軸：物理量
= 加速度 (g)，或 加速度位準 (dB) 進行分析診斷。取dB時，要注意其參考值 𝑨𝒓𝒆𝒇=𝟏𝟎^(−𝟔) 𝐦/𝐬^𝟐
的定義。x軸：物理量 = 頻率 (Hz)，可以取LIN (linear) 或是
LOG (logarithmic)座標，各有其需求與應用目的。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
