這個單元要來探討的主題是：如何由結構的「變形」(Deformation)，求得「應變」(Strain)和「應力」(Stress)？
要注意：「變形」(Deformation)是一種通稱，實際上，分析求得「變形」的物理量(physical quantity)是結構的「位移」(Displacement)。
本單元就由應用電腦輔助工程分析CAE軟體，也就是常採用的有限元素分析FEA軟體，進行結構分析的角度來看。在先前單元：#289，【如何進行結構的「靜力分析」？】，探討如何進行「靜力分析」的主要步驟，包括：
1. 定義問題：
2. 建構數學模型：
3. 發展有限元素模型：
4. 進行FEA軟體應用分析：
5. 解讀分析結果討論評估：
1. 定義問題：在此，舉一個案例：懸臂樑受均佈壓力之靜力分析，參閱左上方第一個圖示，樑的左端是牆面的固定邊界。在樑結構的上表面，受到均佈壓力P (N/m2)的作用，若是進行「靜力分析」，就是假設此均佈壓力P是常數，也就是不隨時間變化。可以採用【F → GMBI → R】心法，破題與問題定義。
2. 建構數學模型：對實際結構做適當地假設，取得數學模型，參閱左邊第二個圖示，也是採用【F → GMBI → R】心法，分別說明之。G=Geometry幾何，如圖示懸臂樑，就需要交待幾何參數，如長度、寬度、厚度。M=Material材料，也需說明這個樑結構所使用的材料，如鋼材、鋁材等。B=Boundary邊界條件，本案例，懸臂樑的左端是固定於牆面。I=Interface接觸介面，本案例是單一材料結構，沒有接觸效應，所以可忽略。F=Force外力負荷，本案例在樑結構的上表面，受到均佈壓力P的作用。最後就是R=Response結構響應，在「靜力分析」得到的R，就是結構的「位移」變形以及結構上每個位置的「應力」。
3. 發展有限元素模型：針對後續要採用有限元素分析FEA軟體進行分析，需要構想所擬進行有限元素分析的模型，參閱左邊第三個圖示，必須包括4個項目EMCL，說明如下：
(1) Element元素：本案例採用線性立方體元素(linear hexahedron element)，如圖示右下方，有8個節點(node)，每個節點有3個自由度(degree of freedom, DOF)，分別是(𝒖, 𝒗, 𝒘)三方向的位移(displacement)。對應的節點外力也有3個，分別是(𝒇𝒙,
𝒇𝒚, 𝒇𝒛)三方向的外力(external force)。
(2) Mesh元素分割：如圖示，必須有適當的元素分割，並做必要的「收斂性分析」(convergence analysis)。
(3) Constraints位移限制：在左端所有的節點的自由度都為零，即(𝒖, 𝒗, 𝒘)= (0, 0, 0)，模擬理想的固定邊界狀態。
(4) Loadings負荷條件：在樑的頂面，設定均佈壓力P (N/m2)的作用。
4. 進行FEA軟體應用分析：針對前述建構的有限元素模型(finite element model)，透過FEA軟體進行分析，參閱左邊第四個圖示，可以得到結構每個節點的變形位移(𝒖, 𝒗, 𝒘)，以及結構的各項應力，包含：(𝝈𝒙,𝝈𝒚,𝝈𝒛) 3個正向應力(normal stress)，和(𝝉_𝒙𝒚,𝝉_𝒚𝒛,𝝉_𝒛𝒙) 3個剪應力(shear stress)。由正向應力和剪應力可以推算出3個主應力Principal stress，𝝈𝟏,𝝈𝟐,𝝈𝟑，通常令𝝈𝟏>𝝈𝟐>𝝈𝟑。也可得到𝝈𝒆𝒒𝒗，是等效應力Equivalent/Effective stress，也稱為麥西斯應力von Mises stress。
回顧了進行結構「靜力分析」的主要步驟，回到這個單元要來探討的重點是，在取得了結構每個節點的變形位移(𝒖, 𝒗, 𝒘)，要如何求得結構的「應變」(Strain)和「應力」(Stress)？
參閱圖示右邊，「應變」(Strain)和「位移」(Displacement)關係：{𝜺}=[𝝏]{𝒂}，界定了「應變向量」(Strain vector){𝜺}和「位移向量」(Displacement vector) {𝒂}的關係，是透過一個微分矩陣[𝝏]。其中，{𝒂}=「位移向量」，包含：(𝒖, 𝒗, 𝒘)，3個方向的位移。{𝜺} = 應變向量，有6項，包含：(𝜺𝒙, 𝜺𝒚, 𝜺𝒛)，
3個正向應變(normal strain)，和(𝜸_𝒙𝒚,𝜸_𝒚𝒛,
𝜸_𝒛𝒙)，3個剪應變(shear strain)。理念上，若是「位移向量」{𝒂} 已知，就可以透過此關係式，求得「應變向量」{𝜺}。
參閱圖示右邊，「應力」(Stress)和「應變」(Strain)關係：{𝝈}=[𝑫]{𝜺}，界定了「應力向量」(Stress vector){𝝈}和「應變向量」(Strain vector){𝜺}的關係，是透過[𝑫]= Material Stiffness Matrix材料勁度矩陣。理念上，若是「應變向量」{𝜺}已知，就可以透過此關係式，求得「應力向量」{𝝈}，有6項，包含：(𝝈𝒙,𝝈𝒚,𝝈𝒛) ，3個正向應力(normal stress)，和(𝝉_𝒙𝒚,𝝉_𝒚𝒛,𝝉_𝒛𝒙) ，3個剪應力(shear stress)。
綜合這個單元的討論，如何由結構的「變形」(deformation, displacement)，求得「應變」(Strain)和「應力」(Stress)？首先，探討了一個懸臂樑結構的靜力分析流程，在建構的有限元素模型(finite element model)，採用線性立方體元素(linear hexahedron element)，每個節點有3個自由度(degree of freedom, DOF)，分別是(𝒖, 𝒗, 𝒘)三方向的位移(displacement)。
所以，在FEA軟體分析程序流程，是分成三個階段，以求得「位移」(Displacement)、「應變」(Strain)、「應力」(Stress)：
1. 「位移向量」(Displacement vector){𝒂}=(𝒖, 𝒗, 𝒘)：求得結構上每個節點的「位移向量」{𝒂}=(𝒖, 𝒗, 𝒘)。
2. 「應變向量」(Strain vector){𝜺}：由「應變」(Strain)和「位移」(Displacement)關係：{𝜺}=[𝝏]{𝒂}，即可求得「應變向量」(Strain vector){𝜺}。
3. 「應力向量」(Stress vector){𝝈}：由「應力」(Stress)和「應變」(Strain)關係：{𝝈}=[𝑫]{𝜺}，即可求得「應力向量」(Stress vector){𝝈}。
其中，「位移向量」(Displacement vector){𝒂}，稱為初始結果(primary results)，因為是有限元素分析FEA直接的分析結果。而，「應變向量」{𝜺}和「應力向量」{𝝈}稱為二次結果(secondary results)，因為是由「位移向量」{𝒂}的初始結果所求得。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2022.12.26
