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《振動噪音科普專欄》如何由結構的變形求得應變和應力?

 

這個單元要來探討的主題是:如何由結構的「變形(Deformation),求得「應變(Strain)和「應力(Stress)

 

要注意:「變形(Deformation)是一種通稱,實際上,分析求得「變形」的物理量(physical quantity)是結構的「位移(Displacement)

 

本單元就由應用電腦輔助工程分析CAE軟體,也就是常採用的有限元素分析FEA軟體,進行結構分析的角度來看。在先前單元:#289如何進行結構的「靜力分析」?】,探討如何進行「靜力分析」的主要步驟,包括:

 

1.      定義問題

2.      建構數學模型

3.      發展有限元素模型

4.      進行FEA軟體應用分析

5.      解讀分析結果討論評估

 

1. 定義問題:在此,舉一個案例:懸臂樑受均佈壓力之靜力分析,參閱左上方第一個圖示,樑的左端是牆面的固定邊界。在樑結構的上表面,受到均佈壓力P (N/m2)的作用,若是進行靜力分析」,就是假設此均佈壓力P常數,也就是不隨時間變化。可以採用【F GMBI R】心法,破題與問題定義。

 

2. 建構數學模型:對實際結構做適當地假設,取得數學模型,參閱左邊第二個圖示,也是採用【F GMBI R】心法,分別說明之。G=Geometry幾何,如圖示懸臂樑,就需要交待幾何參數,如長度、寬度、厚度。M=Material材料,也需說明這個樑結構所使用的材料,如鋼材、鋁材等。B=Boundary邊界條件,本案例,懸臂樑的左端是固定於牆面。I=Interface接觸介面,本案例是單一材料結構,沒有接觸效應,所以可忽略。F=Force外力負荷,本案例在樑結構的上表面,受到均佈壓力P的作用。最後就是R=Response結構響應,在靜力分析」得到的R,就是結構的位移」變形以及結構上每個位置的「應力」。

 

3. 發展有限元素模型:針對後續要採用有限元素分析FEA軟體進行分析,需要構想所擬進行有限元素分析的模型,參閱左邊第三個圖示,必須包括4個項目EMCL,說明如下:

 

(1)   Element元素:本案例採用線性立方體元素(linear hexahedron element),如圖示右下方,有8節點(node),每個節點3自由度(degree of freedom, DOF),分別是(𝒖, 𝒗, 𝒘)三方向的位移(displacement)。對應的節點外力也有3個,分別是(𝒇𝒙, 𝒇𝒚, 𝒇𝒛)三方向的外力(external force)

(2)   Mesh元素分割:如圖示,必須有適當的元素分割,並做必要的「收斂性分析(convergence analysis)

(3)   Constraints位移限制:在左端所有的節點自由度都為零,即(𝒖, 𝒗, 𝒘)= (0, 0, 0),模擬理想的固定邊界狀態。

(4)   Loadings負荷條件:在樑的頂面,設定均佈壓力P (N/m2)的作用。

 

4. 進行FEA軟體應用分析:針對前述建構的有限元素模型(finite element model),透過FEA軟體進行分析,參閱左邊第四個圖示,可以得到結構每個節點的變形位移(𝒖, 𝒗, 𝒘),以及結構的各項應力,包含:(𝝈𝒙,𝝈𝒚,𝝈𝒛) 3正向應力(normal stress),和(𝝉_𝒙𝒚,𝝉_𝒚𝒛,𝝉_𝒛𝒙) 3剪應力(shear stress)。由正向應力剪應力可以推算出3主應力Principal stress𝝈𝟏,𝝈𝟐,𝝈𝟑,通常令𝝈𝟏>𝝈𝟐>𝝈𝟑。也可得到𝝈𝒆𝒒𝒗,是等效應力Equivalent/Effective stress,也稱為麥西斯應力von Mises stress

 

回顧了進行結構「靜力分析」的主要步驟,回到這個單元要來探討的重點是,在取得了結構每個節點的變形位移(𝒖, 𝒗, 𝒘),要如何求得結構的「應變(Strain)和「應力(Stress)

 

參閱圖示右邊,應變(Strain)和「位移(Displacement)關係{𝜺}=[𝝏]{𝒂},界定了「應變向量(Strain vector){𝜺}和「位移向量(Displacement vector) {𝒂}的關係,是透過一個微分矩陣[𝝏]。其中,{𝒂}=位移向量」,包含:(𝒖, 𝒗, 𝒘)3個方向的位移。{𝜺} = 應變向量,有6項,包含:(𝜺𝒙, 𝜺𝒚, 𝜺𝒛) 3個正向應變(normal strain),和(𝜸_𝒙𝒚,𝜸_𝒚𝒛, 𝜸_𝒛𝒙)3個剪應變(shear strain)。理念上,若是「位移向量{𝒂} 已知,就可以透過此關係式,求得「應變向量{𝜺}

 

參閱圖示右邊,應力(Stress)和「應變(Strain)關係{𝝈}=[𝑫]{𝜺},界定了「應力向量(Stress vector){𝝈}和「應變向量(Strain vector){𝜺}的關係,是透過[𝑫]= Material Stiffness Matrix材料勁度矩陣。理念上,若是「應變向量{𝜺}已知,就可以透過此關係式,求得「應力向量{𝝈},有6項,包含:(𝝈𝒙,𝝈𝒚,𝝈𝒛) 3個正向應力(normal stress),和(𝝉_𝒙𝒚,𝝉_𝒚𝒛,𝝉_𝒛𝒙) 3個剪應力(shear stress)

 

綜合這個單元的討論,如何由結構的「變形(deformation, displacement),求得「應變(Strain)和「應力(Stress)?首先,探討了一個懸臂樑結構的靜力分析流程,在建構的有限元素模型(finite element model),採用線性立方體元素(linear hexahedron element),每個節點3自由度(degree of freedom, DOF),分別是(𝒖, 𝒗, 𝒘)三方向的位移(displacement)

 

所以,在FEA軟體分析程序流程,是分成三個階段,以求得「位移(Displacement)、「應變(Strain)、「應力(Stress)

 

1.      位移向量(Displacement vector){𝒂}=(𝒖, 𝒗, 𝒘):求得結構上每個節點的「位移向量{𝒂}=(𝒖, 𝒗, 𝒘)

2.      應變向量(Strain vector){𝜺}:由「應變(Strain)和「位移(Displacement)關係:{𝜺}=[𝝏]{𝒂},即可求得「應變向量(Strain vector){𝜺}

3.      應力向量(Stress vector){𝝈}:由「應力(Stress)和「應變(Strain)關係:{𝝈}=[𝑫]{𝜺},即可求得「應力向量(Stress vector){𝝈}

 

其中,「位移向量(Displacement vector){𝒂},稱為初始結果(primary results),因為是有限元素分析FEA直接的分析結果。而,「應變向量{𝜺}和「應力向量{𝝈}稱為二次結果(secondary results),因為是由「位移向量{𝒂}初始結果所求得。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2022.12.26

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