在先前單元#183：【FFT系列：甚麼是洩漏(leakage)？窗函數(window)如何改善洩漏(leakage)？】指出：對一個信號進行「FFT頻譜分析」時，是無法避免「洩漏」的現象，當有「洩漏」時，所得到信號的「傅立業頻譜」𝑿(𝒇) 就可能會誤判其正確的「頻率」以及其真實的「振幅值」，那麼就沒能達到「FFT頻譜分析」的目的。因此，需要有改善「洩漏」現象的方法，就是適當的選用「窗函數」，讀者可參考先前單元：#106【典型的Window視窗加權函數有哪些？】。
這個單元針對「振幅調制」(AM)信號，觀察其「洩漏」的現象，並探討施加不同「窗函數」處理「洩漏」的有效性比較。
首先，觀察「無洩漏」(without leakage)的「振幅調制」(AM)信號，讀者可以回顧一下先前單元#185：【FFT系列：甚麼是振幅調制(Amplitude Modulation)？】，參閱圖1的左上角圖示，是一個「振幅調制」信號，特徵說明如下：
1. 「振幅調制」信號是三個「簡諧波」(harmonic waves)的組成：參閱圖示，分別是
𝒙1(𝒕)=𝑿1𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇1 𝒕)，𝑿1 = 1，𝒇1 = 190 Hz。𝒙2(𝒕)=𝑿2𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇2 𝒕)，𝑿2 = 7，𝒇2 = 200 Hz。𝒙3(𝒕)=𝑿3𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇3 𝒕)，𝑿3 = 1，𝒇3 = 210 Hz。是三個相位角相同的餘弦波。
2. 「中心頻率」(center frequency)：三個簡諧波的「中心頻率」在此例就是𝒇2 = 200 Hz，其「振幅值」為𝑿2 = 7。
3. 「邊帶頻率」(side band frequency)：是除了「中心頻率」外，三個簡諧波的另外兩個頻率的簡諧波，其實際的頻率分別是𝒇1 = 190 Hz及𝒇3 = 210 Hz，有一個重要特徵是，𝒇2 –𝒇1= 10 Hz，而且，𝒇3 –𝒇2= 10 Hz，因此，「邊帶頻率」就是
10 Hz。而𝒇1 = 190 Hz及𝒇3 = 210 Hz的兩個簡諧波稱為「邊帶」(side bands)。
此「振幅調制」信號，會是「無洩漏」，是因為「FFT分析參數」如圖1的中間上圖所示，Fmax = fnyq= 1000 Hz，LOR = Nf = 2000 lines。所以，「頻率解析度」(frequency resolution)，Δf = fnyq / Nf = 1000/2000 = 0.5 Hz。而「振幅調制」信號的三個「簡諧波」之「頻率」，除以「頻率解析度」都能夠整除，所以，不會「洩漏」。
但是，讀者必須有個認知，實務上，真實的信號各種頻率都有，所以說：「洩漏」是無法避免的現象。
參閱圖1，就舉一個有「洩漏」的「振幅調制」信號，當「中心頻率」𝒇2 = 200.2
Hz，而「邊帶頻率」一樣是 10 Hz。就可以得到兩個「邊帶」的「簡諧波」，分別是 𝒇1 = 190.2
Hz及
𝒇3 = 210.2 Hz。對應三個「簡諧波」的「振幅值」如前，分別是 𝑿2 = 7，𝑿1 = 1，𝑿3 = 1。在此例，因為三個「簡諧波」的「頻率」都無法對「頻率解析度」整除，所以，就會有「洩漏」的現象。
以下針對圖1這個有「洩漏」的「振幅調制」信號，分別以三種「窗函數」進行「FFT頻譜分析」，比較說明如下：
1. ”Box”「窗函數」：也稱為”Uniform”、或”Rectangular”，中文稱為「方形/均勻/矩形窗函數」，相當於是”無”「窗函數」(without window)的效應。參閱圖1的右上圖示，「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)，在「頻率」的解析，可以看出能夠明顯的區別出「中心頻率」以及兩個「邊帶」，也可正確取得「邊帶頻率」就是 10 Hz。另外，在「振幅值」的解析，在靠近實際「中心頻率」的𝒇 = 200 Hz「振幅值」是 𝑿2 = 5.29，而兩個「邊帶」的「簡諧波」之「振幅值」，分別是𝑿1 = 0.86，𝑿3 = 0.64。顯然，在「振幅值」有偏低的現象，這就是「洩漏」所導致。
2. 「漢寧窗函數」(Hanning window)：參閱圖1的左下方圖示，在時間波形，可觀察加入「漢寧窗函數」處理，使得時間區間的兩端，強迫歸零，所以可以減少「洩漏」現象。在「傅立業頻譜」𝑿(𝒇) 就可看到振幅值有提高，在靠近實際「中心頻率」的𝒇 = 200 Hz「振幅值」是 𝑿2 = 6.31，而兩個「邊帶」的「簡諧波」之「振幅值」，分別是𝑿1 = 0.90，𝑿3 = 0.90。和”Box”「窗函數」相比較，”Hanning”「窗函數」是可以改善解析的「振幅值」。
3. 「平頂窗函數」(flat top window)：參閱圖1的右下方圖示，在時間波形，可觀察加入「平頂窗函數」處理，使得時間區間的兩端，強迫歸零，所以也可以減少「洩漏」現象。但要注意，和”Hanning”「窗函數」比較，”flat top”「窗函數」的時間域加權效應略有不同。在「傅立業頻譜」𝑿(𝒇) ，”flat
top”「窗函數」會有幾乎完全正確的振幅值，𝑿2 = 6.99，𝑿1 = 0.99，𝑿3 = 0.99。
對於進行「FFT頻譜分析」，要取得「好」的「頻譜」，有兩個重點：
1. 良好的「頻率」解析
2. 良好的「振幅值」解析
由圖1有「洩漏」的「振幅調制」信號案例來看，三種「窗函數」的比較，似乎「平頂窗函數」有最好的「FFT頻譜分析」效果。不過，要注意這只是針對此範例，而且，實務上來說，真實的信號並不會是像此範例，只有單純的三個「簡諧波」。
接下來，再看另一個有「洩漏」的「振幅調制」信號，參閱圖2的左上角圖示，是一個「振幅調制」信號，特徵說明如下：
1. 「振幅調制」信號是三個「簡諧波」(harmonic waves)的組成：參閱圖2，分別是
𝒙1(𝒕)=𝑿1𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇1 𝒕)，𝑿1 = 1，𝒇1 = 198.2 Hz。𝒙2(𝒕)=𝑿2𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇2 𝒕)，𝑿2 = 7，𝒇2 = 200.2 Hz。𝒙3(𝒕)=𝑿3𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇3 𝒕)，𝑿3 = 1，𝒇3 = 202.2 Hz。是三個相位角相同的餘弦波。
2. 「中心頻率」(center frequency)：三個簡諧波的「中心頻率」在此例就是𝒇2 = 200.2 Hz，其「振幅值」為𝑿2 = 7。
3. 「邊帶頻率」(side band frequency)：是除了「中心頻率」外，三個簡諧波的另外兩個頻率的簡諧波，其實際的頻率分別是𝒇1 = 198.2 Hz及𝒇3 = 202.2 Hz，有一個重要特徵是，𝒇2 –𝒇1= 2 Hz，而且，𝒇3 –𝒇2= 2 Hz，因此，「邊帶頻率」就是
2 Hz。而𝒇1 = 198.2 Hz及𝒇3 = 202.2 Hz的兩個簡諧波稱為「邊帶」(side bands)。
以下針對圖2這個有「洩漏」的「振幅調制」信號，分別以三種「窗函數」進行「FFT頻譜分析」，比較說明如下：
1. ”Box”「窗函數」：也稱為”Uniform”、或”Rectangular”，中文稱為「方形/均勻/矩形窗函數」，相當於是”無”「窗函數」(without window)的效應。參閱圖2的右上圖示，「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)，在「頻率」的解析，可以看出可以明顯的區別出「中心頻率」以及兩個「邊帶」，也可正確取得「邊帶頻率」就是 2 Hz。另外，在「振幅值」的解析，在靠近實際「中心頻率」的𝒇 = 200 Hz「振幅值」是 𝑿2 = 5.28，而兩個「邊帶」的「簡諧波」之「振幅值」，分別是𝑿1 = 1.27，𝑿3 = 1.00。顯然，在「中心頻率」的「振幅值」有偏低的現象，這就是「洩漏」所導致。而兩個「邊帶」的「振幅值」有略高的趨勢，尤其，𝑿1 = 1.27甚至高於真實值𝑿1 = 1，這是因為「中心頻率」的「簡諧波」之「洩漏」所導致。因此，在「振幅值」的解析，其實是不正確的。
2. 「漢寧窗函數」(Hanning window)：參閱圖2的左下方圖示，在時間波形，可觀察加入「漢寧窗函數」處理，使得時間區間的兩端，強迫歸零，所以可以減少「洩漏」現象。在「傅立業頻譜」𝑿(𝒇) 就可看到振幅值有提高，在靠近實際「中心頻率」的𝒇 = 200 Hz「振幅值」是 𝑿2 = 6.31，而兩個「邊帶」的「簡諧波」之「振幅值」，分別是𝑿1 = 0.87，𝑿3 = 0.95。和”Box”「窗函數」相比較，”Hanning”「窗函數」是可以改善解析的「振幅值」。而且，此「振幅值」的解析是比較接近真實信號的狀態。
3. 「平頂窗函數」(flat top window)：參閱圖2的右下方圖示，在時間波形，可觀察加入「平頂窗函數」處理，使得時間區間的兩端，強迫歸零，所以也可以減少「洩漏」現象。但要注意，和”Hanning”「窗函數」比較，”flat top”「窗函數」的時間域加權效應略有不同。在「傅立業頻譜」𝑿(𝒇) ，”flat
top”「窗函數」會有較高的振幅值，𝑿2 = 7.05，𝑿1 = 1.02，𝑿3 = 1.37。此現象是因為，”flat top”「窗函數」對「頻率」解析較差，在對應實際頻率峰值的頻帶寬度會增大，使得”覆蓋”了兩個「邊帶」的「簡諧波」之「振幅值」，也就是在不知道此信號特徵的前提下，看到此「頻譜」，應該只會認定只有一個「峰值頻率」(peak frequency)，這樣就誤判了、錯失了兩個「邊帶」的「振幅調制」信號之解析。
由圖2有「洩漏」的「振幅調制」信號案例來看，三種「窗函數」的比較，「漢寧窗函數」是折衷下有最好的「FFT頻譜分析」效果。因為，有較好的「頻率」解析和「振幅值」解析，對「FFT頻譜分析」的兩大需求重點，均可兼顧。
綜合本單元的討論，針對有「洩漏」的「振幅調制」信號，在進行「FFT頻譜分析」時，要選擇適當的「窗函數」，兩個案例中：
1. 圖1：因為「邊帶頻率」是 10 Hz，雖然”flat top”「窗函數」有較寬的頻帶效應，但是「邊帶頻率」大，所以，仍然可以正確解析「振幅調制」信號的三個「簡諧波」之「頻率」及「振幅」。所以，在此案例，”flat top”「窗函數」似乎是不錯的選擇，但是，不適用在通則的「FFT頻譜分析」。
2. 圖2：因為「邊帶頻率」是 2 Hz，因為”flat top”「窗函數」有較寬的頻帶效應，而且「邊帶頻率」小，所以，無法正確解析「振幅調制」信號的三個「簡諧波」之「頻率」及「振幅」。所以，通則來說，選用「漢寧窗函數」是比較好的選擇。
總結來說，要處理解決「洩漏」的現象，對一般的隨機信號(random signal)，因為有各種頻率的組成，要有好的「頻率」解析，以及好的「振幅值」解析，「窗函數」最適當的折衷選擇會是「漢寧窗函數」(Hanning window)。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2020.10.16
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| 圖1、振幅調制(AM)信號的洩漏(leakage)會有甚麼現象？施加窗函數(window)的效應？ |
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| 圖2、振幅調制(AM)信號的洩漏(leakage)會有甚麼現象？施加窗函數(window)的效應？ |
