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《振動噪音科普專欄》不同窗函數對具有庫倫阻尼響應之頻譜分析,有甚麼影響?(2)

這個單元要來探討的主題是:不同窗函數對具有庫倫阻尼(Coulomb Damping)響應之頻譜分析,有甚麼影響(2)?這是庫倫阻尼」系列的第7篇,也是接續前一個單元,不同窗函數影響探討的第二部分

 

首先,參閱1,簡要回顧前一個單元:#286不同窗函數對具有庫倫阻尼響應之頻譜分析,有甚麼影響?(1)】,概述如下:

 

1.      在這個「庫倫阻尼」系列,一直在探討的是「庫倫阻尼SDOF系統,參閱圖示左上方,系統參數包括:𝒎=質量 (kg)𝒄=黏滯阻尼係數 (N / m/s)𝒌=彈簧常數 (N/m)𝝁=摩擦係數。

2.      探討了實際的數值分析案例作說明,設定:𝒎=1 (kg)𝒄=0 (N-s/m)𝒌=39.48 (N/m),則自然頻率 𝒇𝒏= 1 (Hz)。令𝒇(𝒕)=0𝒙𝟎 = 1 (m)𝒗𝟎=𝟎 (m/s),而 𝝁=𝟎.2所以是單獨的庫倫阻尼」效應的自由振動狀態。

3.      進行了暫態響應分析」,就可以得到系統的時間域響應,如位移𝒙(𝒕)的時間波形。

4.      應用FFT快速傅立業轉換(fast Fourier transform),進行「頻譜分析(spectral analysis),可以得到對應的「頻譜(spectrum)

5.      位移𝒙(𝒕)時間波形,對之進行FFT頻譜分析」,可以得對應的位移頻譜𝑿(𝒇),取其絕對值|𝑿(𝒇)|如圖示。

6.      探討使用4種「窗函數」,包括:Box windowHanning windowFlat top windowExponential window,對位移𝒙(𝒕)時間波形作加權處理(weighting),以取得對應的位移頻譜𝑿(𝒇)

7.      探討使用不同「取樣時間T = 6 10 sec,比較位移頻譜𝑿(𝒇)的差異。

8.      位移頻譜𝑿(𝒇)之絕對值|𝑿(𝒇)|顯示方式,可以採用「線性座標(linear scale),也可採用「對數座標(logarithmic scale)

 

1的數值分析案例,系統的自然頻率𝒇𝒏= 1 (Hz),主要在便於說明,本單元將採用不同的系統參數,參閱2設定:𝒎=1 (kg)𝒄=0 (N-s/m)𝒌=98,696 (N/m),則自然頻率 𝒇𝒏= 50 (Hz),會是比較貼近於實際結構的狀態。

 

同時,令𝒇(𝒕)=0𝒙𝟎 = 1 (m)𝒗𝟎=𝟎 (m/s),而 𝝁=𝟎.2所以是單獨的庫倫阻尼」效應的自由振動狀態。進行了暫態響應分析」,就可以得到系統的時間域響應。

 

參閱2,觀察左側第一欄的位移𝒙(𝒕)時間波形,令「取樣時間T = 5 sec,在t = 1 sec時,已經衰減到幾乎是零,由放大的時間波形,可以明顯看出𝒇= 50 (Hz)的震盪波動、而且有衰減的現象。

 

對位移𝒙(𝒕)時間波形,進行FFT頻譜分析」,分析設定:「取樣頻率fs = 10,000 Hz,「取樣時間T = 5 sec。並選用3種「窗函數」,包括:Box windowHanning windowExponential window,對位移𝒙(𝒕)時間波形作加權處理(weighting),以取得對應的位移頻譜𝑿(𝒇)

 

參閱2,觀察左側第二欄的位移頻譜𝑿(𝒇),分別採用3種「窗函數」,圖示的位移頻譜|𝑿(𝒇)|係採用「對數座標(logarithmic scale),標示為Log plot,可以觀察到Box window Exponential window都呈現出典型的SDOF頻譜特徵。而Hanning window則呈現出135奇數倍的簡諧倍頻(harmonics)。不過,由Linear plotHanning window 仍然可發現是單一頻率主導的響應特徵。

 

其次,再來觀察「摩擦力(frictional force) 𝑭𝒔(𝒕)的時間波形以及其對應的頻譜。參閱2,觀察右側上方是「摩擦力𝑭𝒔(𝒕)的時間波形,放大來看,可以看出是如預期的週期性、連續的方波,一個正負週期,對應的是自然頻率 𝒇𝒏= 50 (Hz)

 

摩擦力𝑭𝒔(𝒕)的時間波形,進行FFT頻譜分析」,分析設定:「取樣頻率fs = 10,000 Hz,「取樣時間T = 5 sec。並選用3種「窗函數」,包括:Box windowHanning windowExponential window,對「摩擦力𝑭𝒔(𝒕)時間波形作加權處理(weighting),以取得對應的摩擦力頻譜|𝑭𝒔 (𝒇)|

 

參閱2,第三欄和第四欄分別為摩擦力頻譜|𝑭𝒔 (𝒇)|,以Log plotLinear plot顯示,討論如下:

 

1.      Box window:不管是Log plotLinear plot顯示,都可觀察到以基礎頻率𝒇= 50 (Hz)135奇數倍的簡諧倍頻(harmonics)。因為,𝑭𝒔(𝒕)是週期性、連續性的方波,數學上定義是「奇函數(odd function),所以,其頻譜特徵,會有135的奇數倍的簡諧倍頻(harmonics),也可簡稱諧頻」。數學上,也可以由「傅立業級數(Fourier series)的物理意義來解釋。Box window的缺點是,在Log plot顯示,有明顯的雜訊(noise)效應,在實務的診斷分析,會造成一些困擾。

2.      Hanning window:也有得到類似於Box window的結果,不過,在Log plot顯示,可以明顯看出沒有雜訊(noise)效應,具有最好的頻率解析效果。

3.      Exponential window:也有得到類似於Box window的結果,不過,在Log plot顯示,仍有小量的雜訊(noise)效應。

 

從以上的位移頻譜|𝑿(𝒇)|摩擦力頻譜|𝑭𝒔 (𝒇)|,選用不同window比較,可以推論:

 

1.      位移頻譜|𝑿(𝒇)|:採用Box window,最能夠反應出實際的時間波形特徵。Hanning window雖然在Log plot顯示,會出現奇數的「簡諧倍頻(harmonics),不過其量值很小,也可視為是不錯的選擇。

2.      摩擦力頻譜|𝑭𝒔 (𝒇)|3window都可以合理的顯示出簡諧倍頻」現象,不過,採用Hanning window能夠有效的消除雜訊(noise)效應,會是最好的選擇。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2022.09.03


1、不同窗函數對具有庫倫阻尼響應之頻譜分析,有甚麼影響?(2) - 𝒇𝒏= 1 (Hz)


2、不同窗函數對具有庫倫阻尼響應之頻譜分析,有甚麼影響?(2) - 𝒇𝒏= 50 (Hz)