這個單元要來探討的主題是：聲音的「傅立葉頻譜」(Fourier spectrum)和「功率頻譜」(power spectrum)有甚麼不同？
為什麼要探討這個主題呢？一般常說「頻譜」(spectrum)，就有「傅立葉頻譜」以及「功率頻譜」兩者是有很大的差異。
尤其在討論”R-test-N”：Response-test-Noise：響應-實驗-噪音：就是量測結構的聲音壓力響應 𝒑(𝒕)。需要解析各種聲音的「頻譜」，這個單元就來探討區別「傅立葉頻譜」以及「功率頻譜」兩者之間的關係與差異。
參閱圖示左上方，顯示先前單元：#109，【對一個信號進行頻譜分析的原理為何？】，聲音量測信號的頻譜分析流程圖，有甚麼Index 指標？簡要回顧說明如下：
1. 𝒑(𝒕) = time waveform = 時間波形：量測到的聲音壓力響應 𝒑(𝒕)，是原始數據(raw data)。
2. 𝑷(𝒇) = Fourier spectrum = 傅立葉頻譜：對
𝒑(𝒕)進行FFT快速傅立葉轉換(fast Fourier
transform, FFT)處理，可以得到𝑷(𝒇)
傅立葉頻譜。
3. 𝑮𝒑𝒑(𝒇) = sound spectrum = 聲音頻譜：取得的 𝑷(𝒇)，透過PSD (power spectral density, PSD)處理，可以取得聲音的功率頻譜(power spectrum, auto PSD spectrum) 𝑮𝒑𝒑(𝒇)，可簡稱聲音頻譜(sound spectrum)。
4. 𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄) = 1/3 octave band
spectrum = 三分之一倍頻頻譜：再由𝑮𝒑𝒑(𝒇)，進行三分之一倍頻(one third octave
band)處理，可以取得 𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)，主要是配合人耳感官的聽覺效果。
5. 𝑳𝒑,𝒆𝒒 = equivalent sound pressure level = 等效聲音壓力位準/聲壓級：由𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)，可以累加 𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄) 每一個 𝒇𝒄 中心頻率(central frequency)的聲音壓力位準dB，進而得到𝑳𝒑,𝒆𝒒。簡單說，就是在量測時間內的噪音量大小之平均值，實際上是均能 (equivalent energy)的概念。
6. 𝑮𝒑𝒑(𝒕,𝒇) = spectrogram = 時頻圖：必須透過時頻分析(time frequency
analysis)，常用短時傅立葉轉換(short time Fourier transform, STFT)處理，以得到時頻圖。
7. 𝑳𝒑(𝒕) = sound pressure level = 聲音壓力位準/聲壓級：對應時間軸，每一個瞬間的聲音壓力位準/聲壓級。
本單元著重在區別：聲音的「傅立葉頻譜」𝑷(𝒇) 以及「功率頻譜」𝑮𝒑𝒑(𝒇)，以及實務上，如何取得
𝑷(𝒇)以及 𝑮𝒑𝒑(𝒇)？
首先，參閱圖示左邊的【量測FFT參數設定】以及完整的64 sec量測到的聲音壓力響應
𝒑(𝒕)，是原始數據(raw data)。有關FFT參數設定，重點說明如下：
1. Nyquist Frequency = 20000 Hz：是最高的有效頻率範圍，Fmax = 20000 Hz。
2. Frequency Lines = 12800 lines：是頻譜的解析條數(Line of resolution, LOR)，LOR = 12800。
3. Resolution = 1.5625 Hz：是頻譜的頻率解析度，R = Fmax / LOR = 20000 / 12800 = 1.5625 Hz。
4. Average Times = 100：設定的平均次數，AVG = 100。
5. Overlap = 0%：平均處理(averaging)的時間波形數據之重疊率為Overlap = 0%，也就是完全沒有重疊。
6. Measurement Time = 64 sec：如果，一個FFT的分析時間長度，T = 1/R = 1/1.5625 = 0.64 s。總量測時間：Ttotal = T + T*(1-%) *(AVG-1) = 0.64 + 0.64*(1- 0%) *(100-1) = 64 s。
接下來，就來看如何進行信號的頻譜分析(spectral analysis)，以取得聲音的「傅立葉頻譜」𝑷(𝒇) 以及「功率頻譜」𝑮𝒑𝒑(𝒇)，說明如下：
1. 聲音「傅立葉頻譜」𝑷(𝒇)：理論上，是透過傅立葉轉換(Fourier transform)，由 𝒑(𝒕)取得𝑷(𝒇)，數學表示式：𝑷(𝒇)=𝓕[𝒑(𝒕)]，其中，𝓕[ ]代表傅立葉轉換運算子，是積分計算。而實務上是透過FFT快速傅立葉轉換(fast Fourier transform, FFT)處理，而得到𝑷(𝒇)
傅立葉頻譜，會是複數，不可平均，是單一個時間區間的頻譜特徵。參閱圖示，當取AVG = 100次平均，會有100個𝑷(𝒇)，圖示呈現的是𝑷(𝒇) 的振幅值|𝑷(𝒇)|，由於沒有平均，看到的頻譜，不具代表性，通常並不會深入探討，可以視為過程資訊。然而，通常有興趣的平均頻譜是 𝑮𝒑𝒑(𝒇)。
2. 聲音「功率頻譜」𝑮𝒑𝒑(𝒇)：比較完整的名詞是「自身功率頻譜」(auto power spectrum)，數學表示式：𝑮𝒑𝒑(𝒇)= 𝑷∗(𝒇) 𝑷(𝒇)/𝜟𝒇，其中，∗是取共軛複數(complex conjugate)，𝜟𝒇 = R =頻率解析度，所以，𝑮𝒑𝒑(𝒇)是純實數，可以取平均。本案例，如圖示的𝑮𝒑𝒑(𝒇)，是AVG = 100次的平均。
取得了聲音「功率頻譜」𝑮𝒑𝒑(𝒇)，繪圖呈現的方式，參閱圖示左下方的四個圖示，有兩種方式，說明如下：
1. y軸：物理量 = 聲音壓力 (Pa)，可以取LIN (linear) 或是 LOG (logarithmic)座標。而x軸：物理量 = 頻率
(Hz)，也是可以取LIN (linear) 或是
LOG (logarithmic)座標。
2. y軸：物理量 = 聲音壓力位準 (dB)，完整的單位標註：dB 𝒓𝒆 𝟐𝟎×𝟏𝟎^(−𝟔) 𝐏𝐚。聲音壓力位準的定義：𝑳𝒑=𝟐𝟎
𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 (𝑷𝒓𝒎𝒔/𝑷𝒓𝒆𝒇)，其中，𝑷𝒓𝒆𝒇=𝟐𝟎×𝟏𝟎^(−𝟔) 𝐏𝐚。而x軸：物理量 = 頻率 (Hz)，也是可以取LIN (linear) 或是
LOG (logarithmic)座標。x軸，會取LOG座標，主要是配合人耳感官的聽覺效果，人耳對頻率的變動是LOG，而不是LIN。在爾後單元探討
𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄) = 1/3 octave band
spectrum = 三分之一倍頻頻譜，會再詳細討論。
如果，由𝑮𝒑𝒑(𝒇)圖示，比較y軸：物理量 = 聲音壓力 (Pa)，以及y軸：物理量 = 聲音壓力位準 (dB)，可以觀察到，兩者的曲線趨勢完全相同，因為取dB，已經有取LOG的效果。
要注意：實務上在解讀分析聲音頻譜，會是以聲音「功率頻譜」𝑮𝒑𝒑(𝒇)為主，同時，也會以y軸：物理量 = 聲音壓力位準 (dB)，進行診斷分析。
綜合一下這個單元的討論：聲音的「傅立葉頻譜」(Fourier spectrum)和「功率頻譜」(power spectrum)有甚麼不同？總結如下：
1. 回顧了先前單元：#109，【對一個信號進行頻譜分析的原理為何？】：聲音量測信號的頻譜分析流程圖，𝒑(𝒕)
à 𝑷(𝒇)
à 𝑮𝒑𝒑(𝒇)à 𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄) à 𝑳𝒑,𝒆𝒒。
2. 本單元著重在區別：𝑷(𝒇)「傅立葉頻譜」(Fourier spectrum)和
𝑮𝒑𝒑(𝒇)「功率頻譜」(power spectrum)，以及對應的數學學理以及數值分析。𝑷(𝒇)
由於沒有平均，看到的頻譜，不具代表性，通常並不會深入探討，可以視為過程資訊。然而，通常有興趣的平均頻譜是 𝑮𝒑𝒑(𝒇)，噪音的診斷分析，會是以聲音「功率頻譜」𝑮𝒑𝒑(𝒇)為主。
3. 針對𝑮𝒑𝒑(𝒇)的繪圖呈現方式：實務上，𝑮𝒑𝒑(𝒇)
會以y軸：物理量 = 聲音壓力位準 (dB)，進行分析診斷。x軸：物理量 = 頻率 (Hz)，可以取LIN (linear) 或是
LOG (logarithmic)座標，各有其需求與應用目的。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2024.01.09
