首先，回顧一下「振動模態」的相關同義詞如下：
1. Vibration modes 振動模態。
2. Natural modes of vibration 振動自然模態。
3. Modal parameters 模態參數：包括三個重要參數：(1)Natural frequency 自然頻率/固有頻率。(2)Mode shape 模態振型。Modal damping ratio模態阻尼比。
4. Modal properties、Modal characteristics模態特性。
以上這些名詞「振動模態」、「振動自然模態」、「模態參數」、「模態特性」等，可以說都是等效的名詞。其中，最重要的莫過於「模態參數」，包括3個重要的「模態參數」(modal parameters)：
(1) 自然頻率(natural frequency)
(2) 模態振型(mode shape)
(3) 模態阻尼比(modal damping ratio)
接下來的提問：如何求得結構的「振動模態」呢？大體上，可以分為實驗方法及數值分析方法，在此，以圖示的「銅鐘」為例，作深入的探討概述如下：
1. EMA: Experimental Modal
Analysis 實驗模態分析，也可稱為Modal Testing 模態試驗(測試)。讀者可參考：【甚麼是【實驗模態分析】？What is 'Experimental Modal Analysis' (EMA)？】。傳統的EMA，採用「衝擊槌」敲擊結構，以「加速度規」量測結構的響應，參閱圖示，分別對「銅鐘」施加外力及量測的加速度，就可以量測得到Hij(f)「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)，透過「曲線嵌合」(curve fitting)或稱為「模態參數截取方法」(modal parameters extraction method)，可求得結構的「模態參數」，包括：「自然頻率」、「模態振型」、「模態阻尼比」，分別以變數符號表示如下：
、
、
。圖示中列舉前5個「振動模態」的「自然頻率」以及對應的「模態振型」動畫。
2. TMA: Theoretical Modal
Analysis理論模態分析，工程實務上，最常採用的就是FEA: Finite Element
Analysis有限元素分析。透過FEA「有限元素分析」通常採用「正交(正規)模態分析」(normal mode analysis)或稱「實數模態分析」(real mode analysis)，所以可以求得結構的「自然頻率」以及對應的「模態振型」。在此，須注意通常「模態阻尼比」只能由實驗方法求得。圖示中由FEA「理論模態分析」也可觀察到「銅鐘」前5個「振動模態」的「自然頻率」以及對應的「模態振型」動畫。
當分別由EMA及FEA求得了結構的「振動模態」，也就是「模態參數」，其中包括了「自然頻率」、「模態振型」、「模態阻尼比」三個「模態參數」，他們是成對出現，也就每一個「振動模態」的
、
、
是相互對應的。
1.
Source 激振源：可以是來自結構振動或其他噪音源的激勵(excitation)。以「銅鐘」來說，會以打擊棒敲擊「銅鐘」，就有「衝擊力」(impact force)作用在「銅鐘」結構上。打擊棒敲擊頭材料的軟或硬，會影響激發的頻率範圍，如先前單元：【銅鑼使用不同敲擊頭，聲音有甚麼差異？】的討論。較軟材料的敲擊頭，比較能激發低頻率的響應；而較硬材料的敲擊頭，比較能激發較高頻率的響應。另外，已知力有三要素：「大小」、「方向」、「作用點」。所以，敲擊的大小力道、敲擊的方向都會影響激發的聲音特性，特別是敲擊的位置，敲在不同位置，會與「銅鐘」的「模態振型」相關，使得有不同的頻率響應特徵。
2.
Path是傳遞路徑：以「銅鐘」的「發聲機制」(sound generation mechanism)過程來看，包括了「結構路徑」(structural path)及「空氣路徑」(air path)。對「銅鐘」而言，最重要的就是「銅鐘」的「模態參數」，其中包括了
「自然頻率」、
「模態振型」、
「模態阻尼比」。
3.
Response 響應：也可以說是receiver是「接受者」，所以說是Response「響應」。對「銅鐘」的「發聲機制」來說，「銅鐘」結構的「振動響應」以及其「聲音響應」是重點。
針對「銅鐘」的「發聲機制」，以及與「銅鐘」結構的「模態參數」關係，討論如下：
1. 「銅鐘」的「自然頻率」
：「銅鐘」主要發出聲音的「發聲頻率」，主要來自「銅鐘」的「振動模態」之「自然頻率」
。每一個「自然頻率」都是潛在會發出聲音的「發聲頻率」。
2. 「銅鐘」的「模態振型」
：由圖示FEA「理論模態分析」也可觀察到「銅鐘」前5個「振動模態」的「模態振型」動畫。其中，紅色區域是振動大的位置，而藍色區域是不會振動的「節線」(nodal line)。如果，敲擊位置是在紅色區域，可以激發該「振動模態」之「自然頻率」，例如：敲擊在「銅鐘」的下部區域，可以激發出前5個「振動模態」之「自然頻率」，因為各個「振動模態」的「模態振型」都有紅色區域。但是，如果，敲擊在「銅鐘」的上部區域，如圖示的第4、第5個「模態振型」動畫，此時，比較能夠被激發的「發聲頻率」是第4、第5個「振動模態」之「自然頻率」
。所以，不同的敲擊位置的確會影響不同「振動模態」之「發聲頻率」的貢獻度。
3. 「銅鐘」的「模態阻尼比」
：「模態阻尼比」會影響的是「發聲頻率」的「衰減率」
，其關係式為
，可以知道「模態阻尼比」越大，「衰減率」就越大；同時，「自然頻率」
越大，「衰減率」也就越大，所以通常高頻率的「銅鐘」的「自然頻率」就是「發聲頻率」，其聲音就有較快的衰減現象。
最後，來提問：如何設計與製造出有好聽的聲音的「銅鐘」呢？思考方向統整如下：
1.
「銅鐘」的「自然頻率」
：因為「銅鐘」的「發聲頻率」來自其結構的「自然頻率」，所以，「銅鐘」的結構設計，就是讓「銅鐘」的「自然頻率」組成，使得「銅鐘」有好聽的「音色」(tonality)，因此，「銅鐘」結構的幾何設計及材料的選用，就需要適當的設計分析。有關「音色」讀者可參考：【甚麼是「基音頻率」和「泛音頻率」？】。
2.
「銅鐘」的「模態振型」
：有「自然頻率」就有對應的「模態振型」，就如前述對於選擇「銅鐘」的敲擊位置，有很大的差異與影響，必須確認適當的敲擊點，使得哪些「振動模態」之「自然頻率」能夠被有效的激發出來，而得到其「發聲頻率」。
3.
「銅鐘」的「模態阻尼比」
：「銅鐘」材料的「阻尼比」也是很重要，如果，希望「銅鐘」的聲音能持續迴盪有較久的時間，就要讓「衰減率」越小越好，也就是「銅鐘」材料的「阻尼比」要越小越好。
這個單元綜合一下，儘管要討論的是：為什麼需要瞭解「銅鐘」結構的「振動模態」呢？重點彙整如下：
1.
首先，要瞭解「銅鐘」結構的「振動模態」，包括：「自然頻率」、「模態振型」、「模態阻尼比」三個「模態參數」。
2.
其次，瞭解「銅鐘」的「發聲機制」，其主要的「發聲頻率」來自其結構的「自然頻率」，所以，透過「銅鐘」的結構設計可以改變結構的「自然頻率」，進而改善「銅鐘」的「發聲頻率」。
3.
最後，如何設計與製造出有好聽的聲音的「銅鐘」呢？藉由「銅鐘」的結構設計，就是讓「銅鐘」的「自然頻率」組成，使得「銅鐘」有好聽的「音色」(tonality)。選用適當的「銅鐘」材料的「阻尼比」，可以使得「衰減率」越小，進而使得「銅鐘」的聲音能有較長時間的持續迴盪效果。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2020.05.08文章粉絲團連結
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