這個單元要來探討的主題是：為什麼結構的「分析」，可以採用「靜力分析」(Static Analysis)來取代「振動分析」(Vibration Analysis)？
在先前單元：#288，【「靜力分析」和「振動分析」有什麼不同？】，#289，【如何進行結構的「靜力分析」？】，#290，【如何進行結構的「安全性」評估？】，分別探討了幾個關鍵詞，包括：「靜力分析」(Static Analysis)、「振動分析」(Vibration Analysis)、結構的「靜力分析」、以及結構的「安全性」評估等。
又，已經知道「靜力分析」的假設：(1) 外力：
𝒇(𝒕)= 常數，也就是不隨時間變化。(2) 結構是沒有運動/振動的，也就是速度 𝒗(𝒕)=𝟎、加速度 a(𝒕)=𝟎。
又，實際結構的外力𝒇(𝒕)，可能都不是常數，那麼為什麼可以採用「靜力分析」(Static Analysis)來取代「振動分析」(Vibration Analysis)呢？
在此，取一個案例：兩端夾持平板受往復拉力之結構分析，參閱圖示左上方，顯示問題描述的實際結構示意圖，平板在兩端有治具的夾持，夾持位置兩端受到往復拉力𝒑(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕)的作用，看起來是一個正弦波的變動外力。
參閱圖示左下方，正弦波的簡諧外力示意圖，外力為正弦函數 𝒑(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇
𝒕)，其中，𝑭 =「簡諧外力振幅」；𝒇=「簡諧外力」的「激振頻率」。由圖示的𝒑(𝒕)示意圖，可以從時間波形，分別界定出「簡諧外力振幅」 𝑭，以及「激振頻率」𝒇是「週期」T的倒數。
如果，結構受到這樣的簡諧外力，可能就需要進行「振動分析」(Vibration Analysis)，而且進行的是「簡諧響應分析」(harmonic response analysis)。
不過，觀察一下外力
𝒑(𝒕)的時間波形，其最大值會是+𝑭，而最小值是−𝑭，盡管𝒑(𝒕)是隨時間變化，但是可以以兩個「靜力分析」來取代「振動分析」：
1. 取最大外力+𝑭，進行靜力分析
2. 取最小外力−𝑭，進行靜力分析
這樣的兩個「靜力分析」方式，重要的意義，在免於進行進階的、複雜的振動「簡諧響應分析」，而只透過兩個「靜力分析」方式，也可以分別解析出結構的最大與最小之變形與應力狀態，而結構的變形與應力，應該會是介於最大與最小之間。
接下來，就針對這個案例：兩端夾持平板受往復拉力之結構分析，以「靜力分析」方式，進行整體的分析步驟。
首先，對「實際結構」，作適當的假設，建構「數學模型」(Mathematical Model)，參閱圖示中間上方的「數學模型」示意圖，建議以【F → GBMI → R】心法思考，分別說明如下：
1. F=Force外力負荷：本案例在兩端受夾持力，可假設為均勻的均佈拉力𝑷=𝑭/(𝑳×𝒉)。
2. G=Geometry幾何：忽略夾持端的治具，只取中間部分的平板。由於平板是個薄板結構，可以採用「平面元素」(plane element)進行分析。因此，只取厚度方向，一個截面如圖示，進行分析。
3. M=Material材料：平板當然有其材料，所以，需設定對應的材料參數。
4. B=Boundary邊界條件：原有的夾持邊界，已經轉換為均佈拉力𝑷，所以，沒有邊界效應。
5. I=Interface接觸介面：本案例是單一材料結構，沒有接觸效應，所以可忽略。
6. R=Response結構響應：在「靜力分析」得到的響應，就是結構的「位移」變形以及結構上每個位置的「應力」。
有了「數學模型」，其次，就要建構對應的「有限元素模型」(finite element model)，參閱圖示右上方的「有限元素模型」示意圖。由於符合結構的「對稱性」，只取1/4個平板進行分析，在下方與左邊的線段，需要設定「對稱邊界」的位移限制。外力為均佈拉力𝑷=𝟏𝟎𝟎𝟎 𝐏𝐚。
有了「有限元素模型」的構想，就可以應用CAE/FEA有限元素分析軟體進行應用分析，實現出FEA的分析構想，參閱圖示右下方的結構應力分佈圖示是𝝈𝒙，也就是x-方向正向應力分佈圖。可以觀察：
1. 當+𝑭時，最大應力𝝈𝒙,𝐦𝐚𝐱
= 3041.08 𝐏𝐚，出現在圓孔的上方位置。
2. 當−𝑭時，最小應力𝝈𝒙,𝐦𝐢𝐧
= −3041.08 𝐏𝐚，也是出現在圓孔的上方位置。
分析到此，可以發現，會有最大、最小應力位置，是在圓孔的上方位置，量值大小相等、方向相反，所以此變動性的「簡諧外力」，可以合理推測結構的應力，應該會是介於最大應力𝝈𝒙,𝐦𝐚𝐱與最小應力𝝈𝒙,𝐦𝐢𝐧之間。
對於結構受到這種往復拉力之可能破壞，最可能的就是「疲勞破壞」(fatigue failure)，有關「疲勞破壞」，我們再另闢單元討論。
由於「有限元素模型」的構想，是採用了1/4個平板的「對稱模型」進行分析，所以參閱圖示中間下方圖示，可以解讀此「對稱模型」應力分佈的物理意義，可觀察出最大、最小應力的發生位置以及其量值大小。
在此仍需注意，此分析結果還不是很好，仍然需要進行所謂的「收斂性分析」(convergence analysis)，我們再另闢單元討論。
綜合一下本單元的重點：為什麼結構的「分析」，可以採用「靜力分析」(Static Analysis)來取代「振動分析」(Vibration Analysis)？在此案例：兩端夾持平板受往復拉力之結構分析，其往復拉力𝒑(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕)，其實是「簡諧外力」。
在本案例，沒有進行「振動分析」之「簡諧響應分析」，而是以兩個「靜力分析」來取代「振動分析」，可以解析出最大、最小應力位置，是在圓孔的上方位置，進而可以合理推測結構的應力，應該會是介於最大應力𝝈𝒙,𝐦𝐚𝐱與最小應力𝝈𝒙,𝐦𝐢𝐧之間，所以，就是採用了「靜力分析」(Static Analysis)，取代了「振動分析」(Vibration Analysis)。
針對本案例的分析流程步驟，歸納進行「靜力分析」之主要步驟如下：
1. 定義問題：
2. 建構數學模型：
3. 發展有限元素模型：
4. 進行FEA軟體應用分析：
5. 解讀分析結果討論評估：
以上個人看法，請多指教！
王栢村
