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《振動噪音科普專欄》FFT系列:相同FFT參數,不同單頻率簡諧波的頻譜分析?


這個單元的主題:FFT系列:相同FFT參數,不同單頻率簡諧波的頻譜分析?其中,FFTfast Fourier transform快速傅立業轉換」是進行「頻譜分析(spectral analysis)的數學方法,讀者可參閱#27:【甚麼是頻譜分析?】。

 

不同單頻率簡諧波是指「單一頻率(single frequency)的「餘弦波」或「正弦波」,或是有不同的「相位角」,都可泛稱為「簡諧波(harmonic wave)

 

首先參閱圖示中央,以ISOC系統方塊圖」的理念,來看「FFT頻譜分析」程式,說明如下:

 

1.      Input 輸入𝒙(𝒕) 是一個信號的時間波形(time waveform)

2.      System 系統:就是所要發展的FFT快速傅立業轉換」的「頻譜分析」程式。

3.      Output 輸出𝑿(𝒇) 𝒙(𝒕) 的「傅立業頻譜(Fourier spectrum)

4.      Control variables控制變數:由先前單元#179:【FFT系列:FFT參數 Fmax LOR 對量測信號之影響?】,常用的「FFT分析參數」之設定有兩個:「有效頻率(effective frequency)fnyq = Fmax,以及「頻率解析條數(lines of resolution)Nf = LOR

 

取一個「餘弦波」,「時間域」方程式:𝒙(𝒕)=𝑿𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇𝟎 𝒕),其中,𝑿 是振幅(amplitude)𝒇𝟎是頻率(frequency)。本單元將探討不同「餘弦波」的頻率之「FFT頻譜分析」。

 

採用相同的「FFT分析參數」,令 Fmax = fnyq= 50 HzLOR = Nf = 50 lines。可以得到其他5個「FFT分析參數」:

 

1.      取樣頻率(sampling frequency)fs = fnyq*2 = 50*2 = 100 Hz

2.      總取樣點數(number of samples)Nt = Nf*2 = 50*2 = 100 samples

3.      時間間距(time interval)Δt = 1/fs = 1/100 = 0.01 sec

4.      頻率解析度(frequency resolution)Δf = fnyq / Nf = 50/50 = 1 Hz

5.      時間長度(time frame)T = 1/Δf = Nf/ fnyq = 50/50 = 1 sec

 

令「餘弦波 𝑿 = 1,對於不同的頻率 𝒇𝟎,分別進行「FFT頻譜分析」可得到 𝒙(𝒕) 的「傅立業頻譜(Fourier spectrum)  𝑿(𝒇),討論如下:

 

1.          𝒇𝟎=1 Hz:對應 𝒙(𝒕) 的「時間波形(time waveform)如圖示,符合「餘弦波」的特徵,在量測時間 T = 1 sec,顯示一個週期的波。𝑿(𝒇) 頻譜圖,確實在 𝒇𝟎=1 Hz時,其「振幅值(amplitude) 𝑿 = 1,其他頻率皆為零。

2.          𝒇𝟎=5 Hz:對應 𝒙(𝒕) 的圖示,符合「餘弦波」的特徵,在量測時間 T = 1 sec,顯示 5個週期的波。𝑿(𝒇) 頻譜圖,確實在 𝒇𝟎=5 Hz時,其「振幅值(amplitude) 𝑿 = 1,其他頻率皆為零。

3.          𝒇𝟎=10 Hz:對應 𝒙(𝒕) 的圖示,符合「餘弦波」的特徵,在量測時間 T = 1 sec,顯示 10個週期的波。𝑿(𝒇) 頻譜圖,確實在 𝒇𝟎=10 Hz時,其「振幅值(amplitude) 𝑿 = 1,其他頻率皆為零。

4.          𝒇𝟎=25 Hz:對應 𝒙(𝒕) 的圖示,在量測時間 T = 1 sec,顯示 25個週期的波,但是已經不能完整的呈現出「餘弦波」的特徵,不過可以看出正負值變化,符合𝒇𝟎=25 Hz特徵。這就是所謂的「4倍原則」,要解讀一個完整「簡諧波」的時間波形,一個週期至少需要4個取樣點,才可以完整解析該信號的正負值變化。在此,因為𝒇s= 100 Hz𝒇s/𝒇𝟎=4,剛好符合4倍原則」,所以仍然可以明顯得解析時間域信號的頻率特徵。對應的 𝑿(𝒇) 頻譜圖,確實在 𝒇𝟎=25 Hz時,其「振幅值(amplitude) 𝑿 = 1,其他頻率皆為零。所以,「FFT頻譜分析」可正確解析。

5.          𝒇𝟎=40 Hz:對應 𝒙(𝒕) 的圖示,看起來已經不像是「餘弦波」的特徵,取樣的信號已經有所扭曲/失真(distortion),不過,對應的 𝑿(𝒇) 頻譜圖,確實在 𝒇𝟎=40 Hz時,其「振幅值(amplitude) 𝑿 = 1,其他頻率皆為零,顯示仍有正確的「FFT頻譜分析」。雖然,在時間域取樣的「時間波形」已經「失真」,但是,𝑿(𝒇) 頻譜圖仍有正確的解析。

6.          𝒇𝟎=52 Hz:對應 𝒙(𝒕) 的圖示,看起來完全不像是「餘弦波」的特徵,取樣的信號已經完全失真(distortion),而對應的 𝑿(𝒇) 頻譜圖,卻是在 𝒇𝟎=48 Hz時,其「振幅值(amplitude) 𝑿 = 1,其他頻率皆為零,「FFT頻譜分析」得到了錯誤的頻率值 𝒇𝟎=48 Hz,稱之為「假象頻率(aliasing frequency)。原因是信號頻率 𝒇𝟎=52 Hz > 最高有效頻率Fmax = fnyq= 50 Hz,所以,會出現「假象(aliasing),就是因為 𝒇𝟎 > Fmax = fnyq,使得「FFT頻譜分析」得到了「」的、錯誤的信號頻率。

7.          𝒇𝟎=60 Hz:信號頻率 𝒇𝟎=60 Hz > 最高有效頻率Fmax = fnyq= 50 Hz,所以,會出現「假象(aliasing),得到了錯誤的「假象頻率𝒇𝟎=40 Hz,若比較 𝒇𝟎=60 Hz 𝒇𝟎=40 Hz𝒙(𝒕) 圖示,完全相同,顯然對 𝒇𝟎=60 Hz的取樣是不正確的。原因就是 𝒇𝟎 > Fmax = fnyq,使得「FFT頻譜分析」得到了「」的、錯誤的信號頻率。

8.          𝒇𝟎=75 Hz:信號頻率 𝒇𝟎=75 Hz > 最高有效頻率Fmax = fnyq= 50 Hz,所以,也是會出現「假象(aliasing),得到了錯誤的「假象頻率𝒇𝟎=25 Hz,若比較 𝒇𝟎=75 Hz 𝒇𝟎=25 Hz 𝒙(𝒕) 圖示,完全相同,顯然對 𝒇𝟎=75 Hz的取樣是不正確的。原因就是 𝒇𝟎 > Fmax = fnyq,使得「FFT頻譜分析」得到了「」的、錯誤的信號頻率。

 

針對以上出現的「假象(aliasing),會有「假象頻率(aliasing frequency),參考先前單元#32:【甚麼是假象(aliasing)】。以上的案例:實際信號 𝒇𝟎=52 Hz,「假象頻率=48 Hz;實際信號 𝒇𝟎=60 Hz,「假象頻率=40 Hz;實際信號 𝒇𝟎=75 Hz,「假象頻率=25 Hz

 

假象頻率」出現的方式,係由頻譜的「摺疊效應(folding effect)所致,讀者可參考先前單元#31:【甚麼是頻譜的摺疊效應(folding effect)】,「假象頻率」出現的推算方式:

 

1.      𝒇𝟎=52 Hzfnyq= 50 Hz:取信號頻率和Nyquist頻率的「頻率差df =𝒇𝟎 fnyq=5250=2 Hz。「假象頻率faliasing = fnyqdf =502=48 Hz

2.      𝒇𝟎=60 Hzfnyq= 50 Hz:取信號頻率和Nyquist頻率的「頻率差df =𝒇𝟎 fnyq=6050=10 Hz。「假象頻率faliasing = fnyqdf =5010=40 Hz

3.      𝒇𝟎=75 Hzfnyq= 50 Hz:取信號頻率和Nyquist頻率的「頻率差df =𝒇𝟎 fnyq=7550=25 Hz。「假象頻率faliasing = fnyqdf =5025=25 Hz

 

針對以上出現的「假象(aliasing),會有「假象頻率(aliasing frequency),主要原因就是 𝒇𝟎 > Fmax = fnyq,使得「FFT頻譜分析」得到了「」的、錯誤的信號頻率。

 

要解決「假象(aliasing)或是「假象頻率(aliasing frequency)的問題,有兩種方式:

 

1.      使用「反假像濾波器(Anti-Aliasing Filter, AA filter):將高於fnyq=Fmax的頻率濾除,可以避免出現「假象頻率」。

2.      提高 fnyq=Fmax:如果信號的頻率很重要,那麼只有提高 fnyq=Fmax了,不過,仍然要使用「反假像濾波器」。

 

針對「假象(aliasing)或是「假象頻率(aliasing frequency),彙整先前單元#32:【甚麼是假象(aliasing)】如下:

 

1.          假像頻率的現象:在信號的頻譜圖,實際信號之頻率解析,有不正確的分析結果。此不正確的「假象頻率」係來自「摺疊效應(folding effect)

2.          假像頻率的原因:主要原因是實際信號的頻率𝒇𝟎,高於Nyquist frequency有效頻率 fnyq = Fmax,因而,在時間域的取樣速度不足,造成「FFT頻譜分析」運算後得到的頻譜,取得了不正確的頻率。

3.          假像頻率的影響:如果沒有排除「假象頻率」,在觀察信號的頻譜圖,將會誤判該「假象頻率」是正確的,因而,將影響後續的振動噪音改善因應對策。

4.          如何避免假像頻率:為避免有「假象頻率」出現,在對 𝒙(𝒕) 信號進行「FFT頻譜分析」運算之前,要將時間域 𝒙(𝒕) 信號,在Nyquist frequency以上的高頻率信號濾除。所以,在量測中會施以「低通濾波器(low pass filter),又稱為「反假像濾波器(Anti-Aliasing Filter, AA filter),我們再另闢單元討論。

 

最後,綜合本單元討論的重點及關鍵詞,彙整如下:

 

1.      FFT分析參數」:有7個參數。

2.      單一頻率簡諧波」:「餘弦波」或「正弦波」。

3.      有效/最高頻率」:Fmax = fnyq

4.      假象(aliasing)、「假象頻率(aliasing frequency):頻譜的「摺疊效應(folding effect)

5.      解決「假象」方式:「反假像濾波器(Anti-Aliasing Filter, AA filter)

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2020.08.27

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