這個單元的主題：FFT系列：相同FFT參數，不同單頻率簡諧波的頻譜分析？其中，FFT是fast Fourier
transform，「快速傅立業轉換」是進行「頻譜分析」(spectral
analysis)的數學方法，讀者可參閱#27：【甚麼是頻譜分析？】。
不同單頻率簡諧波是指「單一頻率」(single frequency)的「餘弦波」或「正弦波」，或是有不同的「相位角」，都可泛稱為「簡諧波」(harmonic wave)。
首先參閱圖示中央，以”ISOC”「系統方塊圖」的理念，來看「FFT頻譜分析」程式，說明如下：
1. Input 輸入：𝒙(𝒕) 是一個信號的時間波形(time waveform)。
2. System 系統：就是所要發展的FFT「快速傅立業轉換」的「頻譜分析」程式。
3. Output 輸出：𝑿(𝒇) 是 𝒙(𝒕) 的「傅立業頻譜」(Fourier spectrum)。
4. Control variables控制變數：由先前單元#179：【FFT系列：FFT參數 Fmax 及 LOR 對量測信號之影響？】，常用的「FFT分析參數」之設定有兩個：「有效頻率」(effective frequency)，fnyq = Fmax，以及「頻率解析條數」(lines of resolution)，Nf = LOR。
取一個「餘弦波」，「時間域」方程式：𝒙(𝒕)=𝑿𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇𝟎 𝒕)，其中，𝑿
是振幅(amplitude)，𝒇𝟎是頻率(frequency)。本單元將探討不同「餘弦波」的頻率之「FFT頻譜分析」。
採用相同的「FFT分析參數」，令 Fmax = fnyq= 50 Hz，LOR = Nf = 50 lines。可以得到其他5個「FFT分析參數」：
1. 「取樣頻率」(sampling frequency)，fs = fnyq*2 = 50*2 = 100 Hz。
2. 「總取樣點數」(number of samples)，Nt = Nf*2 = 50*2 = 100 samples。
3. 「時間間距」(time interval)，Δt = 1/fs = 1/100 = 0.01 sec。
4. 「頻率解析度」(frequency resolution)，Δf = fnyq / Nf = 50/50 = 1 Hz。
5. 「時間長度」(time frame)，T = 1/Δf = Nf/ fnyq = 50/50 = 1 sec。
令「餘弦波」 𝑿
= 1，對於不同的頻率 𝒇𝟎，分別進行「FFT頻譜分析」可得到 𝒙(𝒕) 的「傅立業頻譜」(Fourier spectrum)
𝑿(𝒇)，討論如下：
1.
𝒇𝟎=1 Hz：對應 𝒙(𝒕) 的「時間波形」(time waveform)如圖示，符合「餘弦波」的特徵，在量測時間 T = 1 sec，顯示一個週期的波。𝑿(𝒇) 頻譜圖，確實在 𝒇𝟎=1 Hz時，其「振幅值」(amplitude) 𝑿
= 1，其他頻率皆為零。
2.
𝒇𝟎=5 Hz：對應 𝒙(𝒕) 的圖示，符合「餘弦波」的特徵，在量測時間 T = 1 sec，顯示 5個週期的波。𝑿(𝒇) 頻譜圖，確實在 𝒇𝟎=5 Hz時，其「振幅值」(amplitude) 𝑿
= 1，其他頻率皆為零。
3.
𝒇𝟎=10 Hz：對應 𝒙(𝒕) 的圖示，符合「餘弦波」的特徵，在量測時間 T = 1 sec，顯示 10個週期的波。𝑿(𝒇) 頻譜圖，確實在 𝒇𝟎=10 Hz時，其「振幅值」(amplitude) 𝑿
= 1，其他頻率皆為零。
4.
𝒇𝟎=25 Hz：對應 𝒙(𝒕) 的圖示，在量測時間
T = 1 sec，顯示 25個週期的波，但是已經不能完整的呈現出「餘弦波」的特徵，不過可以看出正負值變化，符合𝒇𝟎=25 Hz特徵。這就是所謂的「4倍原則」，要解讀一個完整「簡諧波」的時間波形，一個週期至少需要4個取樣點，才可以完整解析該信號的正負值變化。在此，因為𝒇s=
100 Hz，𝒇s/𝒇𝟎=4，剛好符合「4倍原則」，所以仍然可以明顯得解析時間域信號的頻率特徵。對應的 𝑿(𝒇) 頻譜圖，確實在 𝒇𝟎=25 Hz時，其「振幅值」(amplitude) 𝑿
= 1，其他頻率皆為零。所以，「FFT頻譜分析」可正確解析。
5.
𝒇𝟎=40 Hz：對應 𝒙(𝒕) 的圖示，看起來已經不像是「餘弦波」的特徵，取樣的信號已經有所扭曲/失真(distortion)，不過，對應的 𝑿(𝒇) 頻譜圖，確實在 𝒇𝟎=40 Hz時，其「振幅值」(amplitude) 𝑿
= 1，其他頻率皆為零，顯示仍有正確的「FFT頻譜分析」。雖然，在時間域取樣的「時間波形」已經「失真」，但是，𝑿(𝒇) 頻譜圖仍有正確的解析。
6.
𝒇𝟎=52 Hz：對應 𝒙(𝒕) 的圖示，看起來完全不像是「餘弦波」的特徵，取樣的信號已經完全失真(distortion)，而對應的 𝑿(𝒇) 頻譜圖，卻是在 𝒇𝟎=48 Hz時，其「振幅值」(amplitude) 𝑿
= 1，其他頻率皆為零，「FFT頻譜分析」得到了錯誤的頻率值
𝒇𝟎=48 Hz，稱之為「假象頻率」(aliasing frequency)。原因是信號頻率
𝒇𝟎=52 Hz > 最高有效頻率Fmax = fnyq= 50 Hz，所以，會出現「假象」(aliasing)，就是因為 𝒇𝟎 > Fmax
= fnyq，使得「FFT頻譜分析」得到了「假」的、錯誤的信號頻率。
7.
𝒇𝟎=60 Hz：信號頻率 𝒇𝟎=60 Hz > 最高有效頻率Fmax = fnyq= 50 Hz，所以，會出現「假象」(aliasing)，得到了錯誤的「假象頻率」𝒇𝟎=40 Hz，若比較 𝒇𝟎=60 Hz 和 𝒇𝟎=40 Hz的𝒙(𝒕) 圖示，完全相同，顯然對
𝒇𝟎=60 Hz的取樣是不正確的。原因就是
𝒇𝟎 > Fmax = fnyq，使得「FFT頻譜分析」得到了「假」的、錯誤的信號頻率。
8.
𝒇𝟎=75 Hz：信號頻率 𝒇𝟎=75 Hz > 最高有效頻率Fmax = fnyq= 50 Hz，所以，也是會出現「假象」(aliasing)，得到了錯誤的「假象頻率」𝒇𝟎=25 Hz，若比較 𝒇𝟎=75 Hz 和 𝒇𝟎=25 Hz的 𝒙(𝒕) 圖示，完全相同，顯然對
𝒇𝟎=75 Hz的取樣是不正確的。原因就是
𝒇𝟎 > Fmax = fnyq，使得「FFT頻譜分析」得到了「假」的、錯誤的信號頻率。
針對以上出現的「假象」(aliasing)，會有「假象頻率」(aliasing
frequency)，參考先前單元#32：【甚麼是假象(aliasing)？】。以上的案例：實際信號
𝒇𝟎=52 Hz，「假象頻率」=48 Hz；實際信號 𝒇𝟎=60 Hz，「假象頻率」=40 Hz；實際信號 𝒇𝟎=75 Hz，「假象頻率」=25 Hz。
「假象頻率」出現的方式，係由頻譜的「摺疊效應」(folding
effect)所致，讀者可參考先前單元#31：【甚麼是頻譜的摺疊效應(folding effect)？】，「假象頻率」出現的推算方式：
1. 𝒇𝟎=52 Hz，fnyq= 50 Hz：取信號頻率和Nyquist頻率的「頻率差」df =𝒇𝟎– fnyq=52–50=2 Hz。「假象頻率」faliasing = fnyq–df =50–2=48 Hz。
2. 𝒇𝟎=60 Hz，fnyq= 50 Hz：取信號頻率和Nyquist頻率的「頻率差」df =𝒇𝟎– fnyq=60–50=10 Hz。「假象頻率」faliasing = fnyq–df =50–10=40 Hz。
3. 𝒇𝟎=75 Hz，fnyq= 50 Hz：取信號頻率和Nyquist頻率的「頻率差」df =𝒇𝟎– fnyq=75–50=25 Hz。「假象頻率」faliasing = fnyq–df =50–25=25 Hz。
針對以上出現的「假象」(aliasing)，會有「假象頻率」(aliasing
frequency)，主要原因就是 𝒇𝟎 > Fmax
= fnyq，使得「FFT頻譜分析」得到了「假」的、錯誤的信號頻率。
要解決「假象」(aliasing)或是「假象頻率」(aliasing
frequency)的問題，有兩種方式：
1. 使用「反假像濾波器」(Anti-Aliasing Filter, AA filter)：將高於fnyq=Fmax的頻率濾除，可以避免出現「假象頻率」。
2. 提高 fnyq=Fmax：如果信號的頻率很重要，那麼只有提高
fnyq=Fmax了，不過，仍然要使用「反假像濾波器」。
針對「假象」(aliasing)或是「假象頻率」(aliasing
frequency)，彙整先前單元#32：【甚麼是假象(aliasing)？】如下：
1.
假像頻率的現象：在信號的頻譜圖，實際信號之頻率解析，有不正確的分析結果。此不正確的「假象頻率」係來自「摺疊效應」(folding
effect)。
2.
假像頻率的原因：主要原因是實際信號的頻率𝒇𝟎，高於Nyquist frequency有效頻率 fnyq = Fmax，因而，在時間域的取樣速度不足，造成「FFT頻譜分析」運算後得到的頻譜，取得了不正確的頻率。
3.
假像頻率的影響：如果沒有排除「假象頻率」，在觀察信號的頻譜圖，將會誤判該「假象頻率」是正確的，因而，將影響後續的振動噪音改善因應對策。
4.
如何避免假像頻率：為避免有「假象頻率」出現，在對 𝒙(𝒕) 信號進行「FFT頻譜分析」運算之前，要將時間域 𝒙(𝒕) 信號，在Nyquist frequency以上的高頻率信號濾除。所以，在量測中會施以「低通濾波器」(low pass filter)，又稱為「反假像濾波器」(Anti-Aliasing Filter, AA filter)，我們再另闢單元討論。
最後，綜合本單元討論的重點及關鍵詞，彙整如下：
1. 「FFT分析參數」：有7個參數。
2. 「單一頻率簡諧波」：「餘弦波」或「正弦波」。
3. 「有效/最高頻率」：Fmax = fnyq。
4. 「假象」(aliasing)、「假象頻率」(aliasing
frequency)：頻譜的「摺疊效應」(folding effect)。
5. 解決「假象」方式：「反假像濾波器」(Anti-Aliasing Filter, AA
filter)。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2020.08.27
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| 圖1、FFT系列：相同FFT參數，不同單頻率簡諧波的頻譜分析？ |
