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《振動噪音科普專欄》可以採用靜力分析於結構之疲勞設計嗎?

這個單元要來探討的主題是:可以採用「靜力分析(static analysis)於結構之「疲勞設計(fatigue design)嗎?簡單的答案:是,可以的!

 

首先,就來看如何評估「結構」是否會發生「疲勞破壞(fatigue failure)?可以觀察圖示右上方,顯示一個懸臂樑結構受到了上下擺動的結構波動應力(fluctuation stress)變化之動畫,動畫左側是結構之波動應力𝝈𝒔𝒕 (𝒕) 示意圖,由圖示的波動應力特徵,可以得知:

 

1.      波動應力(S)𝝈𝒂應力振幅(stress amplitude)𝝈𝒂就是正弦波的振幅值(amplitude)

2.      波動應力(S)𝝈𝒎平均應力(mean stress)𝝈𝒎在正弦波的平均值為零,但是有些情況,如圖示範例的結構波動應力(S)𝝈𝒎,就不是等於零。

 

當然,要獲得如上圖示的結構波動應力𝝈𝒔𝒕 (𝒕),理念上,是需要進行對應的「振動分析(vibration analysis),不過,本單元將介紹如何以「靜力分析」的方式,來取得結構之波動應力,並完成「疲勞設計」分析。

 

要進行「疲勞設計」分析,回顧先前單元的討論,#308如何評估結構是否會發生「疲勞破壞」(fatigue failure)】,可以歸納以下四個步驟

 

1.      取得結構的材料機械性質:包括:「抗拉強度(ultimate strength)𝑺𝒖𝒕,以及對應特定壽命次數(N)材料疲勞強度(Fatigue strength)𝑺𝒆

2.      計算機械元件之「疲勞強度(Fatigue strength)𝑺𝒆

3.      分析機械元件之「結構應力(structural stress)𝝈𝒔𝒕 (𝒕)

4.      應用疲勞設計曲線,判斷結構的機械元件是否會「疲勞破壞(fatigue failure)

 

第一個步驟:需要取得結構的材料機械性質:包括:「抗拉強度(ultimate strength)𝑺𝒖𝒕,以及對應特定壽命次數(N)材料疲勞強度(Fatigue strength)𝑺𝒆

 

其中,材料的「抗拉強度(ultimate strength),一般可由拉伸試驗取得,其物理意義,在「S-N 曲線圖」,當N=1時,就是應力波動一次就斷裂。如圖示範例,其承載的波動應力(S)應力振幅𝝈𝒂大約是S=325 MPa,也就是材料的「抗拉強度(ultimate strength)𝑺𝒖𝒕=325 MPa

 

根據設定的壽命次數(N),以取得對應的波動應力(S)應力振幅𝝈𝒂。如果是選定N=無限壽命一般認定,在N=106次方以上,會有無限的壽命(infinite life),在此N值,如圖示範例,對應的波動應力(S)應力振幅𝝈𝒂大約是S=210 MPa,所以材料的「疲勞強度(Fatigue strength)𝑺𝒆=210 MPa。因為是N=無限壽命,材料的「疲勞強度」也可稱為材料的「疲勞極限(Endurance limit)𝑺𝒆=210 MPa

 

第二個步驟:要計算修正得到機械元件之「疲勞強度(Fatigue strength)𝑺𝒆。為什麼要做這樣的修正呢?因為材料的「疲勞強度是以標準的材料試件(specimen),進行疲勞試驗(fatigue test)所得到的,而實際結構有加工、尺寸大小、工作溫度環境、或如電鍍處理、或惡劣工作環境等之影響,會降低材料的「疲勞強度」,所以,需要計算修正得到機械元件之「疲勞強度(Fatigue strength)𝑺𝒆

 

機械元件之「疲勞強度(Fatigue strength)𝑺𝒆,修正計算方式如下:

 

𝑺𝒆=𝑲𝒂 𝑲𝒃 𝑲𝒄 𝑲𝒅 𝑲𝒆 𝑲𝒇 𝑺𝒆

 

其中,

𝑺𝒆機械元件的「疲勞強度(Fatigue strength)

𝑺𝒆材料的「疲勞強度(Fatigue strength)

𝑲𝒂表面修正因子

𝑲𝒃尺寸因子

𝑲𝒄可靠度因子

𝑲𝒅溫度因子

𝑲𝒆應力集中因子

𝑲𝒇其他因子

 

注意:所有的𝑲值大都是介於0~1之間,也就是這些環境、條件因子會降低材料的「疲勞強度(Fatigue strength)𝑺𝒆。因此,一般的狀況:機械元件的「疲勞強度𝑺𝒆 會小於材料的「疲勞強度𝑺𝒆,也就是:𝑺𝒆 < 𝑺𝒆

 

第三個步驟,要進行分析,取得實際結構在負荷狀態下,機械元件之「結構應力(structural stress)𝝈𝒔𝒕 (𝒕),也就是隨時間變化的「結構應力」。

 

參閱圖示中間顯示的結構波動應力(fluctuation stress)𝝈𝒔𝒕 (𝒕)特徵,在此步驟,必須區別出:波動應力(S)𝝈𝒂應力振幅(stress amplitude),和波動應力(S)𝝈𝒎平均應力(mean stress)

 

理念上,是需要進行對應的「振動分析(vibration analysis),在此懸臂樑結構受到了上下擺動的結構波動應力(fluctuation stress),可以分別假設:有向下和向上的兩種負荷條件,分別據以進行「靜力分析」,參閱圖示右邊中間圖示,可以得到各項應力,包括:(𝝈𝒙,𝝈𝒚,𝝈𝒛) 3正向應力(normal stress),和(𝝉_𝒙𝒚,𝝉_𝒚𝒛,𝝉_𝒛𝒙) 3剪應力(shear stress)。由正向應力剪應力可以推算出3主應力Principal stress𝝈𝟏,𝝈𝟐,𝝈𝟑,通常令𝝈𝟏>𝝈𝟐>𝝈𝟑。也可得到𝝈𝒆𝒒𝒗,是等效應力Equivalent/Effective stress,也稱為麥西斯應力von Mises stress

 

由懸臂樑結構受到向下和向上的兩種負荷條件,可以分別得到兩個狀態的結構應力,在此建議選用的應力是𝝈𝒆𝒒𝒗,是等效應力Equivalent/Effective stress,也稱為麥西斯應力von Mises stress,也就是應力振幅(stress amplitude) 𝝈𝒂=𝝈𝒆𝒒𝒗

 

要注意的是,結構上每一個位置都有其結構應力,而通常有興趣的就是最大應力出現的位置,就可以針對該位置,進行後續的「疲勞設計」分析。

 

當透過「靜力分析」,取得了波動應力(S)𝝈𝒂應力振幅(stress amplitude),和波動應力(S)𝝈𝒎平均應力(mean stress)。其次,就可以進行第四個步驟:應用疲勞設計曲線,判斷結構的機械元件是否會「疲勞破壞(fatigue failure)

 

在此,採用的Goodman Line疲勞設計曲線,參閱右下方圖示,應用步驟說明如下:

 

1.      設定:水平軸𝝈𝒎平均應力(mean stress),垂直軸𝝈𝒂應力振幅(stress amplitude)

2.      在水平軸,標註:𝑺𝒖𝒕抗拉強度(ultimate strength),在垂直軸,標註:𝑺𝒆 機械元件的「疲勞強度(Fatigue strength)。將兩點連成直線,得到Goodman Line疲勞設計曲線

3.      第三個步驟,分析結構應力,所取得的𝝈𝒎平均應力(mean stress)以及𝝈𝒂應力振幅(stress amplitude),繪製取得𝝈𝒎𝝈𝒂的交點位置。

4.      判斷𝝈𝒎𝝈𝒂的交點位置,在Goodman Line疲勞設計曲線安全區(safety zone):當𝝈𝒎𝝈𝒂的交點,座落於圖示的綠色區域,也就是Goodman Line之下,表示此結構的機械元件,沒有「疲勞破壞」之虞,不會發生「疲勞破壞(fatigue failure)

5.      判斷𝝈𝒎𝝈𝒂的交點位置,在Goodman Line疲勞設計曲線的「疲勞破壞區(fatigue failure zone):當𝝈𝒎𝝈𝒂的交點,座落於圖示的紅色區域,也就是Goodman Line之上,表示此結構的機械元件,會發生「疲勞破壞(fatigue failure)

 

最後,綜合一下這個單元的討論,是否可以採用「靜力分析(static analysis)於結構之「疲勞設計(fatigue design)嗎?原則上,是可行的。重點摘要如下:

 

1.          必須瞭解「疲勞設計」分析的四個步驟

2.          必須取得實際結構在負荷狀態下,機械元件之「結構應力(structural stress)𝝈𝒔𝒕 (𝒕),也就是隨時間變化的「結構應力」。

3.          可以採用等效的「靜力分析」方法,以取代「振動分析」,重點在明確的取得波動應力(S)𝝈𝒂應力振幅(stress amplitude),和波動應力(S)𝝈𝒎平均應力(mean stress)

4.          當進行「靜力分析」得到的結構應力,建議選用的應力是𝝈𝒆𝒒𝒗,是等效應力Equivalent/Effective stress,也稱為麥西斯應力von Mises stress,也就是應力振幅(stress amplitude) 𝝈𝒂=𝝈𝒆𝒒𝒗

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2023.03.13