這個單元要來探討的主題是：如何從「數學模型」(Mathematical Model)定義「有限元素模型」(Finite Element Model, FE Model)？需要的心法：是「有限元素模型」4項要素。
在先前單元：#289，【如何進行結構的「靜力分析」？】，探討如何進行「靜力分析」，主要步驟，包括：
1. 定義問題：
2. 建構數學模型：
3. 發展有限元素模型：
4. 進行FEA軟體應用分析：
5. 解讀分析結果討論評估：
其中，第三個步驟，就是要建構「有限元素模型」(FE Model)，本單元將應用「有限元素模型」4項要素的心法，來思考如何從「數學模型」定義「有限元素模型」。
快速回顧一下，如何進行「靜力分析」，主要步驟，包括：
1. 「問題定義」(Problem Definition)：就是對「實際結構」(Real Structure)有明確的定義問題，在先前單元：#295，【針對「靜力分析」，如何「定義問題」？心法：FGMBIR】，就是採用【F → GMBI → R】心法，對結構的「靜力分析」做問題定義，也就是以【Input → System → Output】=【ISO】，做系統化的「定義問題」。
2. 「假設」(Assumptions)：透過適當的分析假設，建構「數學模型」(Mathematical Model)，在先前單元：#296，【如何從「實際結構」定義「數學模型」 ？心法：FGMBIR】，也是應用【F → GMBI → R】心法，從「實際結構」(Real Structure)定義「數學模型」(Mathematical Model)。
3. 「分析假設」(Analysis Assumptions)：當採用有限元素分析(Finite Element Analysis, FEA)軟體，進行分析時，就需要建構對應的「有限元素模型」(Finite Element Model, FE Model)。 當有了「數學模型」，就要明確的定義「有限元素模型」，就是這個單元討論的重點。
4. 「分析」(Analysis)：應用FEA軟體進行結構分析，就可以求得結構的變形(deformation)和結構應力(stress)。
接續前兩個單元：#295，【針對「靜力分析」，如何「定義問題」？心法：FGMBIR】，以及#296，【如何從「實際結構」定義「數學模型」 ？心法：FGMBIR】，所探討的結構案例：樑置於兩端基座上受均佈壓力之靜力分析，參閱圖示右上方的示意圖，說明如下：
1. 已經應用【F → GMBI → R】心法，完成了「實際結構」的「問題定義」(Problem Definition)。
2. 也是應用【F → GMBI → R】心法，完成了「實際結構」(Real Structure)定義「數學模型」(Mathematical Model)。
當採用「立體元素」時，參閱圖示左下方的三個圖示，分別是：
1. 採用「立體元素」的「有限元素模型」示意圖：分別標示了Force外力、Geometry幾何、Material材料、Boundary邊界條件、Interface接觸介面。也就是【F → GMBI】。
2. 結構的變形(deformation)分布圖：可以得到三個方向的結構變形位移參數(𝒖, 𝒗, 𝒘)。
3. 結構的應力(stress) 分布圖：可以得到3個方向的正向應力Normal stress (𝝈𝒙,𝝈𝒚,𝝈𝒛)和3個方向的剪應力Shear
stress
(𝝉𝒙𝒚,𝝉𝒚𝒛, 𝝉𝒙𝒛)，因此，可以取得3個主應力Principal stress (𝝈𝟏,𝝈𝟐,𝝈𝟑)以及等效應力Equivalent/Effective stress，也稱為von Mises
stress麥西斯應力(𝝈𝒆𝒒𝒗)。
要能夠得到如上說明的分析結果，只有「數學模型」是不夠的，仍需要建構發展對應的「有限元素模型」，才能夠進入到FEA軟體進行結構分析，實現所擬進行的分析構想。
要建構「有限元素模型」(FE Model)，需要的心法是「有限元素模型」4項要素，其對應【F → GMBI → R】心法，如下：
1. Element 元素 → GMI
2. Mesh 元素分割
→ GM
3. Constraints 位移限制 → B
4. Loading 負荷條件 → F
參閱圖示中間下方的圖示，為本案例的「有限元素模型」示意圖。首先，針對要素(1) Element 元素，說明如下：
1. 「立體元素」(solid element)：在「數學模型」已經設定選擇是採用「立體元素」，所以對樑結構和基座結構的Geometry幾何，都以「立體元素」建構。須注意，要分別給定樑M1和基座M2對應的Material材料參數(Material parameters)，最簡單的材料模型，就是「等向性材料模型」(Isotropic Material Model)，需要定義楊氏係數(Young’s modulus)：200 (GPa)，普松比(Poisson ratio)：0.3，是典型的鋼材。如果，基座是木材，就可設定為木材的材料參數。
2. 「接觸元素對」(contact element pair)：因為採用「立體元素」，在樑與基座的Interface接觸介面是面對面的接觸(face-to-face contact)。接觸元素是成對的，通常會定義接觸面(Contactor)和被接觸面(Target)，係以力傳遞的概念來設定，由於力的傳遞是由上而下，所以，樑結構的底面就是Contactor，而兩個基座的頂面就是Target。在此，樑結構是置放在基座的上方，所以，可以合理的假設，此Interface接觸介面是「摩擦滑動接觸」(frictional sliding contact)。所以，需要設定「接觸元素對」材料參數M3，如「摩擦係數」(frictional coefficient)。
在要素(1) Element 元素，就是要對結構所有的零組件Geometry幾何，定義所採用的對應元素型式，同時，定義其Material材料參數。也要界定Interface接觸介面的接觸狀態，以及所需要「接觸元素對」及其Material材料參數。所以要素(1) Element 元素，對應的是GMI。
其次，針對要素(2) Mesh 元素分割，就是選擇適當的分割元素的大小，在對結構分割元素(meshing)時，需要注意，不同的零組件，可能有不同的Material材料參數。所以要素(2) Mesh 元素分割，對應的是GM。
另外須注意Mesh 元素分割時，當然要進行必要的「收斂性分析」(convergence analysis)，以確認分析的準確性。可參考先前單元：#293，【甚麼是「收斂性分析」？】。
針對要素(3) Constraints 位移限制，就是對應於Boundary邊界條件，在此假設基座底部是理想狀態的固定邊界(ideally fixed
boundary)，所以基座底部的所有節點(node)的自由度(degree of freedom, DOF)都為零，也就是三個方向的位移(𝒖, 𝒗, 𝒘)=(0, 0,
0)。所以要素(3) Constraints 位移限制，對應的是B。
最後，針對要素(4) Loading 負荷條件，就是對應於Force外力，在本案例是作用於樑結構頂部表面的均佈下壓力(Pa)。所以要素(4) Loading 負荷條件，對應的是F。
最後綜合一下本單元的討論，係針對進行「靜力分析」的第三個步驟，要建構「有限元素模型」(FE Model)，應用「有限元素模型」4項要素的心法，來思考如何從「數學模型」定義「有限元素模型」，使得能夠在進入到FEA軟體進行結構分析時，實現所擬進行的分析構想。
要建構「有限元素模型」(FE Model)，需要的心法是「有限元素模型」4項要素，其對應【F → GMBI → R】心法，再次彙整如下：
1. Element 元素 → GMI
2. Mesh 元素分割
→ GM
3. Constraints 位移限制 → B
4. Loading 負荷條件 → F
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2022.11.28
