這個單元是姆指琴系列專欄的第4篇，要來探討：「姆指琴」的「琴片」，其「振動模態」(vibration modes)的特性，以及和「發聲頻率」有甚麼關聯性呢？
甚麼是「姆指琴」(Kalimba)呢？參閱圖示，可知道「姆指琴」如何演奏，就是以手持音箱，並以兩手的姆指撥動琴片，進而會發出聲音，所以稱為「姆指琴」。
在此，再回顧一下「姆指琴」的「構造」，包含：「琴片」、「琴片座」及「音箱」。這個「姆指琴」有7根「琴片」，以類似懸臂樑的方式固定在「琴片座」，而「琴片座」鎖固在「音箱」上，這個椰子殼製作的「音箱」，在圓形面板上，有開了一個圓孔，稱為「音孔」。這個「姆指琴」有7根「琴片」，長短各有不同，可以發出不同「音階」的聲音。
參閱圖示的左側，為「姆指琴」實體結構的發聲機制示意圖，透過姆指「施力」作用在「琴片」上，透過「琴片」的振動，傳遞到「琴片座」，進而傳遞到「音箱」，每一個結構體都會透過「空氣」發出聲音，傳遞聲音到人的「耳朵」，所以可以聽到「姆指琴」發出的聲音。
接下來，參閱圖示左側下方圖示，從另一個角度觀察「姆指琴」的發聲機制，以「SPR流程圖」來討論，其中：
1.
S：Source激振源。就是施加在「琴片」上的作用力𝒇𝒋 (𝒕)。
2.
P：Path路徑。可以概分為：「結構路徑」(structural path)，以及「空氣路徑」(air path)。結構路徑包含了「琴片」、「琴片座」及「音箱」。「結構路徑」的振動與「空氣路徑」有互相耦合效應，進而可以發出聲音。
3.
R：Response響應或Receiver收受者。理念上，可以在結構上，以「加速規」(accelerometer)量測得到結構振動的響應，以𝒂𝒊 (𝒕)表示。另外，可以在空間中，以「麥克風」(microphone)量測發出的聲音，以𝒑𝒌
(𝒕)表示。𝒂𝒊 (𝒕)是「結構路徑」的Response響應，而𝒑𝒌
(𝒕)是「空氣路徑」的Response響應。
大致瞭解了「姆指琴」的發聲機制，這個單元要更深入來探討「琴片」的「振動模態」和「發聲頻率」的關係。
針對單一「琴片」，在此以「有限元素分析」(finite element analysis, FEA)，對「琴片」進行結構的「模態分析」(modal analysis)。
首先，建構「琴片」的「有限元素模型」，能夠對應實際「琴片」的幾何、材料、邊界特性，進行「模態分析」，參閱圖片左下方「模態分析」流程圖，可以求得「琴片」的「振動模態」，包括：𝒇𝒓「自然頻率」(natural frequency)及 𝝓𝒓「模態振型」(mode shape)。
參閱圖片右上方，為「姆指琴」的「琴片」之典型的 𝝓𝒓「模態振型」特性，類似於「懸臂樑」結構，主要有兩個方向的「振動模態」。(1)垂直向的Z-方向彎曲模態(bending mode)，(2)水平向的Y-方向彎曲模態。
前3個Z-方向彎曲模態的特徵，除了固定端為不動點外，第2個模態，會有1個「節點」(nodal
point)，第3個模態，則會有2個「節點」(nodal point)。水平向的Y-方向彎曲模態，在主要有興趣的頻率範圍，僅有1個模態。
如果，再進行「簡諧響應分析」(harmonic response analysis)，在「琴片」自由端施加外力
𝑭𝒋，取得該位置的加速度響應 𝑨𝒊，參閱圖片左下方「簡諧響應分析」流程圖，可以求得「琴片」的「頻率響應函數」(frequency response function,
FRF)，𝑯𝒊𝒋(𝒇)=𝑨𝒊(𝒇)/𝑭𝒋(𝒇)，參閱圖片右邊兩個上方圖示，分別是「琴片#01」及「琴片#04」的「頻率響應函數」曲線，特徵討論如下：
1. 「頻率響應函數」：水平軸是頻率，單位為Hz，垂直軸是「頻率響應函數」𝑯𝒊𝒋(𝒇)的振幅值，有數個「峰值」(peaks)，其頻率分別對應了該「琴片」的「自然頻率」，其對應的「模態振型」如圖示。「琴片#01」是最短的「琴片」，第1個模態的「自然頻率」，也就是「基音頻率」是364.06 Hz，而「琴片#04」是最長的「琴片」，其「基音頻率」是174.96 Hz。兩個「琴片」也都呈現出其他的較高頻率之模態「自然頻率」。
2. 「峰值」(peaks)：隱含的意義，是姆指撥動「琴片」時，會激發的「琴片」「振動模態」，也會是潛在的「發聲頻率」。
由圖片右邊兩個下方圖示，分別是「琴片#01」及「琴片#04」的「聲音頻譜」(sound spectrum)，可以觀察出主要的「發聲頻率」，圖示中觀察的重點：
1. 綠色線標註的「峰值頻率」：對應的就是「琴片」的「振動模態」。
2. 紅色線標註的「峰值頻率」：是現階段還無法解讀的「發聲頻率」，此現象在爾後的姆指琴系列專欄，再作說明。
由以上「琴片」的實際量測「聲音頻譜」，以及「琴片」模擬分析的「頻率響應函數」𝑯𝒊𝒋(𝒇)，也觀察到對應的「琴片」「自然頻率」，以及其對應的「模態振型」，可以確認「琴片」的「振動模態」，確實會貢獻到主要的「發聲頻率」。不過，仍然有數個「峰值頻率」是現階段還無法解讀的「發聲頻率」。
針對這個單元的主題：「姆指琴」「琴片」的「振動模態」和「發聲頻率」有關嗎？答案是：有的。總結一下本單元的討論：
1. 「琴片」：探討「琴片」對「姆指琴」發聲機制的影響，是肯定的、明確的，而且和「琴片」的「振動模態」有直接關聯性。
2. 「有限元素模型」：以「有限元素分析」(finite element analysis, FEA)，對「琴片」進行結構的仿真模擬分析，能夠對應實際「琴片」的幾何、材料、及邊界特性。
3. 「模態分析」(modal analysis)：進行「模態分析」，可以求得「琴片」的「振動模態」，包括：𝒇𝒓「自然頻率」(natural frequency)及 𝝓𝒓「模態振型」(mode shape)。
4. 「簡諧響應分析」(harmonic response analysis)：進行「簡諧響應分析」，可以求得「琴片」的「頻率響應函數」(frequency response function,
FRF)，𝑯𝒊𝒋(𝒇)=𝑨𝒊(𝒇)/𝑭𝒋(𝒇)。
5. 𝑯𝒊𝒋(𝒇)「頻率響應函數」(frequency response function,
FRF)：可以觀察到「峰值」(peaks)，隱含的意義，是姆指撥動「琴片」時，會激發「琴片」的「振動模態」，其模態的「自然頻率」，也會是潛在的「發聲頻率」。
6. 𝑮𝒑𝒑 (𝒇)「聲音頻譜」(sound spectrum)：也可以觀察到「峰值」(peaks)，這些「峰值頻率」都是「姆指琴」的「發聲頻率」。
7. 比較
𝑯𝒊𝒋(𝒇)「頻率響應函數」以及 𝑮𝒑𝒑 (𝒇)「聲音頻譜」：可以確認「琴片」的「振動模態」，確實會貢獻到主要的「發聲頻率」。不過，仍然有數個「峰值頻率」是現階段還無法解讀的「發聲頻率」。此現象在爾後的姆指琴系列專欄，再作說明。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2021.02.02
