這個單元是SDOF簡諧激振系列的第3篇，要來探討的主題是：不同「簡諧激振頻率」，對振動響應有甚麼影響？
首先，回顧一下這個「外力激振」「單自由度系統」，參考圖示左上方，是此系統「數學模型」(mathematical model)示意圖。其中，
1.
「系統參數」(system parameters)，就是：m、c、k，分別是質塊的「質量」(mass)、彈簧的「黏滯阻尼係數」(viscous damping coefficient)、彈簧的「彈簧常數」(spring constant)。
2.
「輸入」是f(t)，為系統的外力，以及質塊本身的兩個「初始條件」(initial condition, IC)，包括：「初始位移」(initial displacement) X0及「初始速度」(initial velocity) V0。
3.
「輸出」是x(t)，為系統質塊的位移響應。
參考左下方圖示，是「ISO系統方塊圖」(ISO system block diagram)，其中：
1. Input 輸入：f(t)，為系統的外力，以及兩個「初始條件」的「初始位移」X0及「初始速度」V0。
2. System 系統：m、c、k。
3. Output 輸出：x(t)、v(t)、a(t) 分別為系統質塊的位移、速度及加速度響應。
參考左下方的圖示，就是此「單自由度系統」的「運動方程式」：ma+cv+kx=f(t)。是「二階的常微分方程式」，所以需要兩個「初始條件」：「初始位移」X0及「初始速度」V0。【備註：比較明確的數學方程式，請讀者參考圖示，在文字說明，受限於方程式編寫，分別以x、v、a，代表位移、速度、加速度。】
若是對此「單自由度系統」，進行「理論模態分析」(theoretical modal analysis, TMA)，可以得到兩個「模態參數」(modal parameters)，在此「單自由度系統」的「模態參數」為：
1.
「自然頻率」(natural frequency)，ωn = 2 π fn=(k/m)^0.5，
2.
「阻尼比」(damping ratio)，ξ=c/Cc。其中，c是「黏滯阻尼係數」，Cc=2*(mk)^0.5=2mωn，是「臨界黏滯阻尼係數」(critically viscous damping coefficient)。
所以，由「系統參數」：m、c、k，就可以求得「自然頻率」fn以及「阻尼比」ξ。
以下舉實際的數值案例，進行分析，令「系統參數」：m = 1 (kg)、c =
1 (N/ m/s)、k = 39.47 (N/m)，可以求得兩個「模態參數」：「自然頻率」𝒇𝒏 = 1 (Hz)，「阻尼比」𝝃
= 0.0796。因為，0 < 𝝃 < 1，所以是「次阻尼」狀態。
接著，定義系統的「輸入參數」，假設系統受到了「簡諧外力」激振，為正弦函數
𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕)，其中，𝝎= 𝟐𝝅𝒇，令「簡諧外力振幅」𝑭 = 0.2 (N)，為了探討不同「簡諧外力」的「激振頻率」𝒇
之影響，分別令：𝒇 = 0.6 (Hz)、1.0
(Hz)、1.4 (Hz)。
再定義系統的「輸入參數」，也就是兩個「初始條件」(initial condition, IC)，「初始位移」X0及「初始速度」V0。在此，都假設為0，也就是：𝒙(𝟎)=𝒙𝟎
= 0 (m)，𝒙 ̇(𝟎)=𝒗𝟎 = 0 (m/s)。
首先，觀察3個不同「激振頻率」的狀態：
1. 𝒇 = 0.6 (Hz)，也就是𝒇=𝟎.𝟔𝒇𝒏，𝒇 <𝒇𝒏，即「激振頻率」小於「自然頻率」。
2. 𝒇 = 1.0 (Hz)，也就是𝒇=1.0𝒇𝒏，𝒇 =𝒇𝒏，即「激振頻率」等於「自然頻率」。
3. 𝒇 = 1.4 (Hz)，也就是𝒇=1.4𝒇𝒏，𝒇 >𝒇𝒏，即「激振頻率」大於「自然頻率」。
參閱圖中右邊的3個動畫圖示，是質塊的位移響應𝒙(𝒕)示意圖，可以觀察及區別出「暫態響應」(transient state response)以及「穩態響應」(steady state response)的區間，比較一下這3個響應的「位移振幅」𝑿：
1. 𝒇 = 0.6 (Hz)， 𝒇=𝟎.𝟔𝒇𝒏，𝒇 <𝒇𝒏，𝑿 = 0.007 (m)。
2. 𝒇 = 1.0 (Hz)， 𝒇=1.0𝒇𝒏，𝒇 =𝒇𝒏，𝑿 = 0.03 (m)。
3. 𝒇 = 1.4 (Hz)， 𝒇=1.4𝒇𝒏，𝒇 >𝒇𝒏，𝑿 = 0.005 (m)。
可以知道，在「共振激振」(resonant excitation)時，也就是「激振頻率」等於「自然頻率」，𝒇 =𝒇𝒏，質塊的位移響應𝒙(𝒕)，確實是比較大，可得知「共振」(resonance)時，會引發大的振動量。
其次，再深入比較三種不同「激振頻率」下，𝒙(𝒕)和𝒇(𝒕)的時間波形，說明如下：
1. 𝒇 = 0.6 (Hz)， 𝒇=𝟎.𝟔𝒇𝒏，𝒇 <𝒇𝒏，可以觀察：𝒙(𝒕)和𝒇(𝒕)的時間波形，基本上是「同相」(in-phase)。
2. 𝒇 = 1.0 (Hz)， 𝒇=1.0𝒇𝒏，𝒇 =𝒇𝒏，可以觀察：𝒙(𝒕)和𝒇(𝒕)的時間波形，剛好是「90°相位差」(90° out-of-phase)。
3. 𝒇 = 1.4 (Hz)， 𝒇=1.4𝒇𝒏，𝒇 >𝒇𝒏，可以觀察：𝒙(𝒕)和𝒇(𝒕)的時間波形是「180°相位差」(180° out-of-phase)，也就是剛好正負相反的「反相」(out-of-phase)。
由以上的討論，可以知道，不同的「激振頻率」，會使得質塊的位移響應𝒙(𝒕)和「簡諧外力」𝒇(𝒕)有不同的「相位差」，
1. 「激振頻率」小於「自然頻率」時，𝒙(𝒕)和𝒇(𝒕)的時間波形，基本上是「同相」。
2. 「激振頻率」等於「自然頻率」時，𝒙(𝒕)和𝒇(𝒕)的時間波形，剛好是「90°相位差」。
3. 「激振頻率」大於「自然頻率」時，𝒙(𝒕)和𝒇(𝒕)的時間波形，基本上是「180°相位差」。
爾後，我們會再另闢單元討論，任意的不同「激振頻率」時，𝒙(𝒕)和𝒇(𝒕)的時間波形之「相位角」的差異特性。
由質塊位移響應𝒙(𝒕)的「穩態響應」區間，可以寫出其「簡諧穩態響應」方程式，𝒙(𝒕)=𝑿𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕+𝝓) (m)，其中，
1. 𝑿
= 位移振幅 (m)，對應3個不同「激振頻率」，𝒇 = 0.6 (Hz)、1.0 (Hz)、1.4 (Hz)，分別為：𝑿 = 0.007、0.03、0.005 (m)。在「共振激振」𝒇 = 1.0 (Hz)時，位移振幅𝑿 = 0.03 (m)，有最大的響應。
2. 𝒇 = 簡諧響應的頻率，會是「激振頻率」，分別為：0.6、1.0、1.4 (Hz)。
3. 𝝓 = 相位角，注意在方程式中的單位是(rad)，實務上，常以角度表達，分別為： 0°、90°、180°。
到這裡，統整一下這個單元的討論，不同「簡諧激振頻率」，對振動響應有甚麼影響？
1. 設定了3個不同的「簡諧激振頻率」，分別是 𝒇 = 0.6
(Hz)、1.0 (Hz)、1.4 (Hz)，也就是「激振頻率」小於、等於、大於「自然頻率」。
2. 質塊的位移響應𝒙(𝒕)，可以區別出「暫態響應」(transient state response)以及「穩態響應」(steady state response)的區間。在「穩態響應」區間，也會是「簡諧響應」(harmonic response)，可以寫出位移響應方程式𝒙(𝒕)=𝑿𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕+𝝓)。
3. 其中，𝑿
= 位移振幅，在「共振激振」(resonant excitation)時，也就是「激振頻率」等於「自然頻率」，𝒇 =𝒇𝒏，質塊的位移響應𝒙(𝒕)，確實是比較大。而在「非共振激振」(non-resonant excitation)時，也就是「激振頻率」不等於「自然頻率」，𝒇≠𝒇𝒏，質塊的位移響應𝒙(𝒕)，確實相對會比較小。
4. 其中，𝒇 = 簡諧響應的頻率，在「穩態響應」的「簡諧響應」特徵，其「簡諧響應頻率」會等於「激振頻率」。也就是說，「簡諧激振頻率」是多大，「簡諧穩態響應」的「頻率」就多大。
5. 其中，𝝓 = 相位角，在「共振激振」(resonant excitation)時，也就是「激振頻率」等於「自然頻率」，𝒇 =𝒇𝒏，𝒙(𝒕)和𝒇(𝒕)的時間波形，剛好是「90°相位差」。在「非共振激振」(non-resonant excitation)時，「激振頻率」小於「自然頻率」時，𝒙(𝒕)和𝒇(𝒕)的時間波形，基本上是「同相」。「激振頻率」大於「自然頻率」時，𝒙(𝒕)和𝒇(𝒕)的時間波形，基本上是「180°相位差」。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2021.04.02
