這個單元的主題：為什麼會有Beating現象？甚麼是”Beating”呢？中文的翻譯可稱為：「拍振」、「拍擊」、「重擊」，在先前單元：#33【甚麼是重擊現象(beating
phenomenon)？】，已經有初步的討論，這個單元再一次補充說明。
在此，取了兩個餘弦波，分別是
𝒙1(𝒕)=𝑿1𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇1 𝒕)，𝑿1 = 1，𝒇1 = 100 Hz。𝒙2(𝒕)=𝑿2𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇2 𝒕)，𝑿2 = 1，𝒇2 = 110 Hz。兩個信號的「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)，如預期分別在頻率
𝒇 = 100
Hz，振幅 𝑿 = 1= 𝑿1，以及頻率 𝒇 = 110 Hz，振幅 𝑿 = 1= 𝑿2。
這樣的合成信號，就稱為”Beating”。有甚麼特徵呢？參閱左側第一張圖示，說明如下：
1. 兩個頻率相近的餘弦波：在此圖例，分別為，𝒇1 = 100
Hz，𝒇2 = 110 Hz。
2. 時間波形的特徵：參閱圖示，可以觀察出典型”Beating”的時間波形。
3. ”Beating”的週期：參閱圖示，可看出在
𝒕 =0.1 sec及
𝒕 =0.2 sec之間，是個循環週期，「週期」T =0.1 sec，為甚麼呢？因為，𝒇2 – 𝒇1 = 110 Hz – 100 Hz = 10 Hz = 𝒇b，稱為”beating frequency”「拍振/拍擊/重擊頻率」，所以，「拍振/拍擊/重擊週期」T b=1/ 𝒇b =0.1 sec。
4. 放大兩個餘弦波的時間波形：參閱圖示，在
𝒕 =0.1 sec，及
𝒕 =0.2 sec兩個幾乎重合，所以，兩個波的「振幅值」有加總的效應，𝑿1 = 1，𝑿2 = 1，合成的「振幅值」為𝑿 = 2。而在 𝒕 =0.15 sec，𝒙1(𝒕) 及 𝒙2(𝒕) 分別是一正、一負，兩兩相互抵銷，所以在 𝒕 =0.15 sec，合成的信號為零。
5. 「傅立業頻譜」𝑿(𝒇) 的特徵：參閱圖示，分別在頻率 𝒇 = 100 Hz，振幅 𝑿 = 1= 𝑿1，以及頻率 𝒇 = 110 Hz，振幅 𝑿 = 1= 𝑿2。顯示出兩個頻率相近的餘弦波。
參閱左側第二張圖示，不同的是，𝒇2 = 110 Hz，改變為 𝒇2 = 120 Hz，此時，”beating frequency” 「拍振/拍擊/重擊頻率」：𝒇b= 𝒇2 – 𝒇1 = 120 Hz – 110 Hz = 20 Hz，所以，”beating period”「拍振/拍擊/重擊週期」T b=1/ 𝒇b =1/20= 0.05 sec。從「時間波形」及「傅立業頻譜」𝑿(𝒇) 可看出有不同的特徵。
參閱左側第三張圖示，不同的是，𝒇2 = 110 Hz，改變為 𝒇2 = 130 Hz，此時，”beating frequency” 「拍振/拍擊/重擊頻率」：𝒇b= 𝒇2 – 𝒇1 = 130 Hz – 110 Hz = 30 Hz，所以，”beating period”「拍振/拍擊/重擊週期」T b=1/ 𝒇b =1/30= 0.033 sec。從「時間波形」及「傅立業頻譜」𝑿(𝒇) 可看出對應的不同特徵。
讀者如果觀看影片，則可綜合比較左側三張圖示在不同”beating frequency”時，對應聲音的差異，都有「嗡–嗡–嗡–嗡–」的循環聽感，這就是為什麼會稱為「拍振/拍擊/重擊」的原因。
接下來，參閱右側第一張圖示，兩個餘弦波分別是：𝒇1 = 100 Hz，𝒇2 = 110 Hz，而對應的「振幅值」(amplitude)大小不同，分別為
𝑿1 = 1，𝑿2 = 2。在時間波形，”beating frequency” 「拍振/拍擊/重擊頻率」：仍然是 𝒇b= 10 Hz。和左側第一張圖示的差異在「振幅值」，最大值為 𝑿1 + 𝑿2= 1+ 2= 3，在 𝒕 =0.15 sec，合成的「振幅值」為 𝑿2 – 𝑿1= 2– 1= 1。
再參閱右側第二張圖示，兩個餘弦波分別是：𝒇1 = 100 Hz，𝒇2 = 110 Hz，而對應的「振幅值」大小不同，分別為
𝑿1 = 2，𝑿2 = 1，也就是「振幅值」大小相反。在時間波形，與右側第一張圖示，幾乎相似，不過聽感略有不同，因為，比較大的振幅值，一個是𝒇 = 100 Hz，另一個是 𝒇 = 110 Hz。
最後，參閱右側第三張圖示，兩個餘弦波分別是：𝒇1 = 100 Hz，𝒇2 = 110 Hz，而對應的「振幅值」大小不同，分別為
𝑿1 = 3，𝑿2 = 1，在時間波形，最大值為 𝑿1 +
𝑿2= 3+ 1= 4，在 𝒕 =0.15 sec，合成的「振幅值」為 𝑿2 – 𝑿1= 3– 1= 2。
由以上的比較探討，可以看出不同「振幅值」的beating現象的差異。如果，兩個餘弦波的「頻率」相近，又「振幅值」也很相近，就會有明顯的左側系列三張圖示的時間波形，都會有零值的效應，使得beating的聽感很明顯，實務上，可能就會形成「異音/異響」的不良效應。
如果兩個有beating信號，其「振幅值」相差比較大，如右側第三張圖示，beating的「嗡–嗡–嗡–嗡–」特徵，就不會那麼顯著。
綜合一下本單元的討論，會有”beating”「拍振/拍擊/重擊」的現象發生，要注意兩件事：
1. 是否有兩個「頻率」相近的餘弦波？當兩個「頻率」相近時，會有「嗡–嗡–嗡–嗡–」特徵的”beating frequency”「拍振/拍擊/重擊頻率」。
2. 這兩個餘弦波的「振幅值」是否很相近？如果，兩個頻率對應的「振幅值」很相近，那麼「嗡–嗡–嗡–嗡–」特徵，就會很顯著。反之，兩個頻率對應的「振幅值」差異很大，beating的「嗡–嗡–嗡–嗡–」特徵，就不會那麼顯著。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2020.10.05
