這個單元是SDOF簡諧激振FRF系列的第10篇，要來探討的主題是：Receptance「位移率」、Mobility「移動率」、以及Accelerance「加速率」，這三種「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)的定義(definition)？並且會透過「頻率響應函數」FRF的圖示，來探討其特性與差異。
首先，快速回顧一下這個「外力激振」「單自由度系統」，參考圖示左上方，是實際結構的示意圖，一個質塊，懸吊在一個彈簧下面，彈簧的另一端是固定邊界，當質塊受到外力作用，質塊會有上下振盪的現象。
為了分析這個質塊-彈簧的「實際結構」(real structure)，建構此系統「數學模型」(mathematical model)，如示意圖。其中，
1.
「系統參數」(system parameters)，就是：m、c、k，分別是質塊的「質量」(mass)、彈簧的「黏滯阻尼係數」(viscous damping coefficient)、彈簧的「彈簧常數」(spring constant)。
2.
「輸入」是f(t)，為系統的外力，以及質塊本身的兩個「初始條件」(initial condition, IC)，包括：「初始位移」(initial displacement) X0及「初始速度」(initial velocity) V0。
3.
「輸出」是x(t)，為系統質塊的位移響應。
由系統的「數學模型」，可以推導出這個「單自由度系統」的「運動方程式」：ma+cv+kx=f(t)。是「二階的常微分方程式」，所以需要兩個「初始條件」：「初始位移」X0及「初始速度」V0。【備註：比較明確的數學方程式，請讀者參考圖示，在文字說明，受限於方程式編寫，分別以x、v、a，代表位移、速度、加速度。】
在解析「頻率響應函數」FRF，會定義系統的「輸入參數」，假設受到了「簡諧外力」激振，例如是正弦函數
𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕)，其中，𝑭 =「簡諧外力振幅」；𝒇=「簡諧外力」的「激振頻率」。
當這個正弦波的「簡諧外力」，作用在此「SDOF單自由度系統」，由先前單元：#208，【SDOF簡諧激振系列(2)：為甚麼簡諧激振，會有簡諧響應？】，質塊的位移響應𝒙(𝒕)，可以區別出，有「暫態響應」(transient state response)，以及「穩態響應」(steady state response)的區間。
其中，有興趣的是「穩態位移響應」，也是「簡諧響應」，可以寫出位移響應方程式：𝒙(𝒕)=𝑿𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕+𝝓)，其中，
1. 𝑿：是「穩態位移響應」的「位移振幅」。
2. 𝒇：是「穩態位移響應」的「響應頻率」，此頻率值就是「簡諧外力」的「激振頻率」。
3. 𝝓：是「穩態位移響應」的「相位角」(phase
angle)，是「位移」𝒙(𝒕)和「外力」𝒇(𝒕)的「相位角」差。
特別有興趣的是「位移振幅」𝑿 和「相位角」𝝓。為了有效率的全盤了解「穩態位移響應」的特性，所以，定義了「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)，𝑯(𝒇)：
1.
𝑯(𝒇) = 輸出/輸入。
2.
𝑯(𝒇) =
𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇)。
3.
𝑯(𝒇) =「穩態位移振幅」/「外力振幅」。
這樣，可以快速知道𝑿(𝒇)和𝑭(𝒇)的關係。又，因為不同的「激振頻率」𝒇，會有不同的「穩態位移振幅」𝑿，所以，分別以𝑿(𝒇)和𝑭(𝒇)變數符號表示之。
在前一個單元#222，【SDOF簡諧激振FRF系列(9)：頻率響應函數(FRF)有哪些型式？】，已經推導出「穩態位移響應」、「穩態速度響應」以及「穩態加速度響應」，整理如下：
1. 「穩態位移響應」：𝒙(𝒕)=𝑿𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕+𝝓)，其中，𝑿=位移振幅 (m)。
2. 「穩態速度響應」：𝑣(𝒕)=𝑿𝝎𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕+𝝓) =𝑽𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕+𝝓)，其中，𝑽 =𝑿𝝎，𝑽=速度振幅 (m/s)。
3. 「穩態加速度響應」：𝑎(𝒕)=−𝑿𝝎^𝟐 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕+𝝓) =𝑨𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕+𝝓)，其中，𝑨
= −𝑿𝝎^𝟐，𝑨 =加速度振幅 (m/s^2)。
根據「頻率響應函數」FRF的定義是：𝑯(𝒇)=「輸出」/「輸入」，當「輸入」都是「外力」，而「輸出」分別為：「位移」、「速度」、「加速度」時，其「頻率響應函數」FRF有其定義的名稱，統整如下：
1. Receptance「位移率」= 「位移」 / 「外力」。
2. Mobility「移動率」= 「速度」 / 「外力」。也有稱為Mechanical Mobility「機械移動率」。
3. Accelerance「加速率」= 「加速度」 / 「外力」。
針對外力激振的SDOF系統，以上三種「頻率響應函數」FRF的表示式，統整如下：
1. Receptance「位移率」= 𝑯𝒙(𝒇) = 𝑿(𝒇) / 𝑭(𝒇) = 𝟏 / [(𝒌−𝒎𝝎^𝟐 )+𝒊(𝝎𝒄)]。
2. Mobility「移動率」= 𝑯𝒗(𝒇) = 𝑽(𝒇) / 𝑭(𝒇) = 𝒊𝝎 / [(𝒌−𝒎𝝎^𝟐 )+𝒊(𝝎𝒄)]。
3. Accelerance「加速率」= 𝑯𝒂(𝒇)= 𝑨(𝒇) / 𝑭(𝒇) = (−𝝎^𝟐) / [(𝒌−𝒎𝝎^𝟐 )+𝒊(𝝎𝒄)]。
其中，𝝎=𝟐𝝅𝒇，為外力的「激振頻率」，可以看出兩兩之間，相差了𝒊𝝎的倍數，因為複數 𝒊 的關係，就會有90度的相位角差，而(𝒊𝝎)^2等於(−𝝎^𝟐)，則是相當於有180度相位角差。
可以知道，「頻率響應函數」FRF是一種通稱的名詞，其定義是：𝑯(𝒇) = 「輸出」/「輸入」，就看對哪一個「輸出」參數有興趣。如果，「輸入」都是「外力」，從實務上來看，就看是使用哪一種感測器(sensor)量測「輸出」參數，以得到對應的「頻率響應函數」FRF：
1.
如果，採用近接式位移探頭(proximity
probe)或是渦電流位移計(Eddy current sensor, ECS)，量測到的是位移(displacement)，這時候，直接量測到的FRF就是Receptance「位移率」=
位移 / 外力。
2.
如果，採用的感測器是速度計(velocimeter, velocity transducer)，量測到的是速度(velocity)，這時候，直接量測到的FRF就是Mobility「移動率」= 速度 / 外力。
3.
如果，採用的感測器是加速度規(accelerometer)，量測到的是加速度(acceleration)，這時候，直接量測到的FRF就是Accelerance「加速率」= 加速度 / 外力。
實務上，最常用的感測器，就是加速度規，所以得到的FRF是Accelerance「加速率」，可以透過三個FRF的關係式，可分別得到Mobility「移動率」和Receptance「位移率」。
在此，列舉的實際數值案例，令「系統參數」：m = 1 (kg)、c =
1 (N/ m/s)、k = 39.48 (N/m)，也就是m、c及k固定。由「系統參數」：m、c、k，可以推算得到「模態參數」：「自然頻率」𝒇𝒏 =1 (Hz)，「阻尼比」𝝃 =0.0796。因為，0 < 𝝃 < 1，所以都是「次阻尼」狀態。
參閱圖示，可以分別得到Receptance「位移率」、Mobility「移動率」、以及Accelerance「加速率」，又因為，這三個FRF，都是複數(complex number)，可以畫出其5種圖示，討論如下：
1. 在「振幅」(amplitude)圖：可以觀察到在激振頻率
𝒇 =1
(Hz)，都有一個峰值(peak)，對應的就是此SDOF系統的「自然頻率」𝒇𝒏 =1 (Hz)。也就是當𝒇≈𝒇𝒏，會有「共振」，系統響應會最大。可觀察在
𝒇 =1
(Hz)時，所對應的「振幅值」，「位移率」𝑯𝒙(𝒇) = 0.15 (m/N)，「移動率」𝑯𝒗(𝒇) = 1 ((m/s)/N)，「加速率」𝑯𝒂(𝒇)
= 6.28
((m/s^2)/N)，其間的倍數關係是𝝎=𝟐𝝅𝒇，因為，𝒇 =1 (Hz)，所以，會有𝝎=𝟐𝝅=6.28的倍數關係。
2. 在「相位角」(phase angle)圖：在
𝒇 =0
(Hz)，三個FRF所對應的相位角，分別是0度、90度、180度，這就是前面所提到的：速度𝑣(𝒕)領先位移𝒙(𝒕)，90度相位角；加速度𝑎(𝒕)領先速度𝑣(𝒕)，90度相位角；加速度𝑎(𝒕)領先位移𝒙(𝒕)，180度相位角。另一個角度來看，就是因為三個FRF兩兩之間，相差了𝒊𝝎的倍數，因為複數 𝒊 的關係，就會有90度的相位角差。在實務上，由FRF尋找可能的自然頻率，可以觀察有180度相位角變化的頻率位置，會是系統的「自然頻率」𝒇𝒏。同時，在𝒇=
𝒇𝒏時，其「相位角」會剛好是在各別FRF所對應變化180度相位角的中間值，在「位移率」𝑯𝒙(𝒇)，是
–90度，在「移動率」𝑯𝒗(𝒇)，是0度，在「加速率」𝑯𝒂(𝒇)，是90度。
3. 在「實數部」(real)圖：在「位移率」𝑯𝒙(𝒇)和「加速率」𝑯𝒂(𝒇)，其「自然頻率」𝒇𝒏會出現在，通過「0點」的頻率。而在「移動率」𝑯𝒗(𝒇)，「自然頻率」𝒇𝒏會出現在，有最大「峰值」的頻率。
4. 在「虛數部」(imaginary)圖：和「實數部」(real)圖的特徵，剛好相反，在「位移率」𝑯𝒙(𝒇)和「加速率」𝑯𝒂(𝒇)，其「自然頻率」𝒇𝒏會出現在，有最大「峰值」的頻率。而在「移動率」𝑯𝒗(𝒇)，其「自然頻率」𝒇𝒏會出現在，通過「0點」的頻率。會有這樣的變化差異，是因為三個FRF兩兩之間，相差了𝒊𝝎的倍數，因為複數 𝒊 的關係，就會有90度的相位角差，使得「自然頻率」𝒇𝒏會出現在，有最大「峰值」的頻率、或是在通過「0點」的頻率。在實務上，通常採用的感測器是加速度規(accelerometer)，量測到的是加速度(acceleration)，這時候，FRF就是Accelerance「加速率」，可以從「虛數部」(imaginary)圖，觀察有最大「峰值」的頻率，會是系統的「自然頻率」。而從「實數部」(real)圖看，通過「0點」的頻率，會是系統的「自然頻率」。
5. 在「奈氏圖」(Nyquist plot)，或稱為「極座標圖」(polar plot)：水平軸是「實數部」、垂直軸是「虛數部」，三個FRF的曲線圖，都會各自形成一個「圓圈」，所以也有稱之為circle plot。三個FRF的曲線圖，激振頻率由小到大，都是順時針旋轉。在「位移率」𝑯𝒙(𝒇)，「虛數部」最大值的頻率點，就是結構的「自然頻率」。在「移動率」𝑯𝒗(𝒇)，「實數部」最大值的頻率點，就是結構的「自然頻率」。在Accelerance「加速率」，「虛數部」最大值的頻率點，就是結構的「自然頻率」。
最後統整這個單元的討論，定義了三個「頻率響應函數」FRF，分別是：
1. Receptance「位移率」=
「位移」 / 「外力」。
2. Mobility「移動率」= 「速度」 / 「外力」。
3. Accelerance「加速率」= 「加速度」 / 「外力」。
又因為三個FRF都是複數，所以分別透過5種圖示，探討其現象與物理意義，包括：(1) 「振幅」(amplitude)圖、(2) 「相位角」(phase angle)圖、(3) 「實數部」(real)圖、(4) 「虛數部」(imaginary)、(5) 「奈氏圖」(Nyquist plot)，或稱為「極座標圖」(polar plot)。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2021.07.08
