這個單元是SDOF簡諧激振系列的第4篇，要來探討的主題是：不同「初始條件」，對振動響應有甚麼影響？
首先，回顧一下這個「外力激振」「單自由度系統」，參考圖示左上方，是此系統「數學模型」(mathematical model)示意圖。其中，
1.
「系統參數」(system parameters)，就是：m、c、k，分別是質塊的「質量」(mass)、彈簧的「黏滯阻尼係數」(viscous damping coefficient)、彈簧的「彈簧常數」(spring constant)。
2.
「輸入」是f(t)，為系統的外力，以及質塊本身的兩個「初始條件」(initial condition, IC)，包括：「初始位移」(initial displacement) X0及「初始速度」(initial velocity) V0。
3.
「輸出」是x(t)，為系統質塊的位移響應。
參考左下方圖示，是「ISO系統方塊圖」(ISO system block diagram)，其中：
1. Input 輸入：f(t)，為系統的外力，以及兩個「初始條件」的「初始位移」X0及「初始速度」V0。
2. System 系統：m、c、k。
3. Output 輸出：x(t)、v(t)、a(t) 分別為系統質塊的位移、速度及加速度響應。
參考左下方的圖示，就是此「單自由度系統」的「運動方程式」：ma+cv+kx=f(t)。是「二階的常微分方程式」，所以需要兩個「初始條件」：「初始位移」X0及「初始速度」V0。【備註：比較明確的數學方程式，請讀者參考圖示，在文字說明，受限於方程式編寫，分別以x、v、a，代表位移、速度、加速度。】
若是對此「單自由度系統」，進行「理論模態分析」(theoretical modal analysis, TMA)，可以得到兩個「模態參數」(modal parameters)，在此「單自由度系統」的「模態參數」為：
1.
「自然頻率」(natural frequency)，ωn = 2 π fn=(k/m)^0.5，
2.
「阻尼比」(damping ratio)，ξ=c/Cc。其中，c是「黏滯阻尼係數」，Cc=2*(mk)^0.5=2mωn，是「臨界黏滯阻尼係數」(critically viscous damping coefficient)。
所以，由「系統參數」：m、c、k，就可以求得「自然頻率」fn以及「阻尼比」ξ。
以下舉實際的數值案例，進行分析，令「系統參數」：m = 1 (kg)、c =
1 (N/ m/s)、k = 39.47 (N/m)，可以求得兩個「模態參數」：「自然頻率」𝒇𝒏 = 1 (Hz)，「阻尼比」𝝃
= 0.0796。因為，0 < 𝝃 < 1，所以是「次阻尼」狀態。
接著，定義系統的「輸入參數」，假設系統受到了「簡諧外力」激振，為正弦函數
𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕)，其中，𝝎= 𝟐𝝅𝒇，令「簡諧外力振幅」𝑭 = 0.2 (N)，「簡諧外力」的「激振頻率」𝒇
= 1.0 (Hz)。也就是𝒇=1.0𝒇𝒏，𝒇 =𝒇𝒏，即「激振頻率」等於「自然頻率」，是「共振激振」(resonant excitation)的狀態。
這個單元要探討的主題是：不同「初始條件」，對振動響應有甚麼影響？在此設定三種不同的「初始條件」，令「初始速度」𝒗𝟎為0，也就是：𝒗𝟎 = 0 (m/s)。而假設有三種不同的「初始位移」𝒙𝟎，分別為：𝒙𝟎 = 0 (m)、0.05 (m)、0.1 (m)。
參閱圖中右邊的3個動畫圖示，是質塊的位移響應𝒙(𝒕)示意圖，分別為：𝒙𝟎 = 0 (m)、0.05 (m)、0.1 (m)，三種不同的「初始條件」下，在相同的「簡諧外力」激振下的響應，以下探討其差異性：
1. 「暫態響應」(transient state response)區間，由於「初始位移」𝒙𝟎不同，在初始期間，質塊的位移響應𝒙(𝒕)有不同的「暫態響應」過程。此「暫態響應」會受到兩個效應的影響，其一，來自 𝒙_𝐈𝐂
(𝒕) 自由振動響應，其二，來自
𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕) 外力激振響應。參閱𝒙𝟎
= 0 (m)的𝒙(𝒕)響應，就是只有𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕) 外力激振的暫態響應過程。與其他兩個有𝒙_𝐈𝐂
(𝒕) 自由振動響應，相互比較，就可以區別出 𝒙_𝐈𝐂 (𝒕) 效應的影響。
2. 「穩態響應」(steady state response)區間，由於𝒙_𝐈𝐂
(𝒕) 自由振動響應，因為有阻尼效應，會衰減趨近於零而消失。而，𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕) 外力激振響應，除了初期的變動外，則會趨於穩定的響應，在「穩態響應」區間，也會是「簡諧響應」(harmonic response)，可以寫出位移響應方程式𝒙(𝒕)=𝑿𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕+𝝓)。
3. 觀察「穩態簡諧響應」的「位移振幅」𝑿，雖然三種「初始條件」不同，但是其穩態的「位移振幅」都相同，𝑿=0.01
(m)。
4. 觀察「穩態簡諧響應」的「簡諧響應頻率」會等於「激振頻率」。
5. 觀察「穩態簡諧響應」的𝒙(𝒕)和𝒇(𝒕)的時間波形，剛好是「90°相位差」，因為，在此案例，令「激振頻率」等於「自然頻率」，𝒇 = 1.0 (Hz)， 𝒇=1.0𝒇𝒏，𝒇 =𝒇𝒏。
綜合一下本單元的討論，在此探討相同的「簡諧外力」作用於「單自由度系統」，但是施予不同的「初始條件」，令「初始速度」𝒗𝟎為0，而有不同的「初始位移」𝒙𝟎，差異與相似點統整如下：
1. 假設有三種不同的「初始位移」𝒙𝟎，分別為：𝒙𝟎 = 0 (m)、0.05 (m)、0.1 (m)，探討質塊的位移響應𝒙(𝒕)的異同。
2. 都會有「暫態響應」(transient state response)區間，隨著不同的「初始位移」𝒙𝟎，會有不同的「暫態響應」區間。
3. 也都會有「穩態響應」(steady state response)區間，都形成有相同「簡諧響應頻率」的「簡諧響應」。
4. 由「穩態響應」，可以寫出位移響應方程式𝒙(𝒕)=𝑿𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕+𝝓)。其中，「位移振幅」𝑿，雖然三種「初始條件」不同，但是其穩態的「位移振幅」都相同，這是因為，都是相同的「簡諧外力」作用。
5. 由「穩態響應」，可知其「簡諧響應」的頻率，會是等於「激振頻率」，這是因為，「穩態響應」是由「簡諧外力」的作用效應所主導。
6. 由「穩態響應」，可觀察到𝒙(𝒕)和𝒇(𝒕)的時間波形，剛好是「90°相位差」(90° out-of-phase)。這是因為在「共振激振」(resonant excitation)狀態，也就是「激振頻率」等於「自然頻率」，𝒇 =𝒇𝒏。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2021.04.02
