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《振動噪音科普專欄》如何求得彈簧的 k & c 物理參數?


在先前單元:【如何求得彈簧的彈簧常數?】,對圖示「質塊彈簧之實體結構」,進行「數學模型化(mathematical modeling),可以得到對應的「數學模型(mathematical model),包括:「質量m、「黏滯阻尼係數c、「彈簧常數k,可稱為「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」,是典型的振動學課程重要單元之一。

同時,由該單元:【如何求得彈簧的彈簧常數?】,是由質塊的「質量m,經由拉伸與釋放質塊,取得質塊的「振動週期Tn,即可推估彈簧的「彈簧常數k

由於「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」,有3個重要的系統參數,包括:「質量m、「黏滯阻尼係數c、「彈簧常數k,其中,「質量m是比較容易度量,「彈簧常數k,則可以參考【如何求得彈簧的彈簧常數?】的方法取得。本單元將綜合討論,如何由時間域方法,取得彈簧的等效「彈簧常數k 及「黏滯阻尼係數c

假設一個情況,質塊安置於一個彈簧上方,如圖示的質塊彈簧之實體結構」,為了實務分析的需要,其對應的數學模型」如圖示,是包含「質量m、「黏滯阻尼係數c、「彈簧常數k的「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」,這個單元的目標,是要求得此彈簧的等效「彈簧常數k 及「黏滯阻尼係數c

以下探討的假設情境:

1.      已知可量測到「質塊彈簧之實體結構」的「質量m
2.      又對此「質塊彈簧之實體結構」可進行拉伸或壓縮的僅「初始位移X0的作用,而且沒有「外力」,f(t)=0,也沒有初始速度V0的作用。
3.      同時,可以確實度量到如圖示的質塊位移響應x(t)

運用先前單元的知識,【甚麼是「對數衰減」?】、【不同阻尼比對質塊的振動有甚麼影響?】,參考圖示,統整了mck單自由度系統」的相關方程式,以下將依序討論詳細步驟:

1.      取得質塊的振盪週期Tn:由圖示,取一個來回振盪的週期,Tn=1.65–0.8=0.85 (sec)
2.      計算質塊的「自然頻率」fn:由「週期」與「頻率」的倒數關係,可得到,fn=1/Tn=1.176 (Hz)
3.      推算彈簧的等效「彈簧常數」k:由「無阻尼自然頻率ωn=2πfn的方程式,可以推算得到,k=m(2πfn)^2=54.641 (N/m)。在此須注意,為什麼可以由「無阻尼自然頻率ωn推算等效「彈簧常數k由先前單元【甚麼是「對數衰減」?】,因為,系統是「次阻尼」狀態,0<ξ<1,所以,質塊會呈現來回振盪的現象,而振盪的週期具有規律性,實際的週期T=2π/ωd,其中,ωd=ωn*sqrt(1-ξ^2)為「阻尼自然頻率(damped natural frequency),而ωn=(k/m)^0.5,是「無阻尼自然頻率(undamped natural frequency)。實務上,一般的阻尼比都很小,所以,ωd~=ωn,也就是「阻尼自然頻率」相近於「無阻尼自然頻率」,因此,可以由「無阻尼自然頻率ωn推算等效「彈簧常數k
4.      計算位移響應的「對數衰減」δ:由先前單元【甚麼是「對數衰減」?】,參閱圖示,可以得知,x1=0.5x2=0.45,所以,n=2,可以求得「對數衰減δ= ln(x1/x2)=ln(0.5/0.45)=0.105。在此須注意,「對數衰減δ是無因次的量值。
5.      推算彈簧的等效「黏滯阻尼比」ξ:由對數衰減δ和「阻尼比ξ的關係式,可以求得ξ=δ/2π=0.0167。「阻尼比ξ也是無因次的系統參數。
6.      取得「臨界黏滯阻尼係數」Cc:引用「臨界黏滯阻尼係數Cc定義的方程式,由系統「質量m及第3步驟求得的等效彈簧常數k,可以計算求得Cc=2(mk)^0.5=14.7839 (N-s/m)
7.      推算彈簧的等效「黏滯阻尼係數」c:由「阻尼比ξ的定義,可以計算得到此系統的「黏滯阻尼係數c=ξ Cc =0.2479 (N-s/m)

從以上實際的案例演算,共有7個步驟,主要目的,在求得此mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」的「彈簧常數k及「黏滯阻尼係數c

這個求得「系統參數k & c」的方法,可以歸類為「時間域方法」,係由「mck單自由度系統」的「自由振動(free vibration)響應,也就是沒有「外力」,f(t)=0,只有「初始位移X0及「初始速度V0的系統初始條件(initial condition)之作用。由質塊位移時間域響應之來回週期振盪及衰減的特性,可以循以上介紹的7個步驟,成功的推算出系統的等效「彈簧常數k及「黏滯阻尼係數c

這個單元,主要是探討了由時間域的「自由振動」響應特性,以求得彈簧的等效系統參數k & c物理參數。需要熟悉「mck單自由度系統」的系統特性,包括:無外力僅初始條件作用下的「自由振動」響應分析,以及對數衰減δ和「阻尼比ξ的定義,可以說是綜合的應用,希望由本單元的探討,讀者能夠初步了解以時間域方法求得系統參數k & c」的理念與應用。

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2019.08.09

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《振動噪音科普專欄》甚麼是「對數衰減」?


這個單元的主題:「對數衰減(logarithmic decrement),是阻尼」的特徵之一,為了探討對數衰減」的名詞定義,以及相關的應用,還是需要從圖示的「質塊彈簧之實體結構」談起。

在先前單元:【如何求得彈簧的彈簧常數?】,對圖示「質塊彈簧之實體結構」,進行「數學模型化(mathematical modeling),可以得到對應的「數學模型(mathematical model),包括:「質量m、「黏滯阻尼係數c、「彈簧常數k,可稱為「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」,是典型的振動學課程重要單元之一。

又由先前單元:【工程實務上,如何表示阻尼?黏滯阻尼的特性】,最常採用的「黏滯阻尼模型(viscous damping model),也就是圖示的「數學模型」,可以得到其「運動方程式」:ma+cv+kx=f(t)。【備註:比較明確的數學方程式,請讀者參考圖示,在文字說明,受限於方程式編寫,分別以xva,代表位移速度加速度。】

由「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」,得到其「運動方程式」,因為是「二階的常微分方程式」,所以需要兩個「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0

接著,需要了解「阻尼比ξ的定義,摘錄先前單元:【工程實務上,如何表示阻尼?黏滯阻尼的特性】,「阻尼比」是「黏滯阻尼比」的簡稱,說明如下:

1.      黏滯阻尼比(viscous damping ratio):以ξ代表,定義是:ξ=c/Cc。其中,c是「黏滯阻尼係數」,Cc 是「臨界黏滯阻尼係數」如下說明
2.      「臨界黏滯阻尼係數」(critical viscous damping coefficient):以Cc代表,定義可參閱圖示,摘錄如下,Cc=2*(mk)^0.5=2mωn,其中,ωn=(k/m)^0.5,是系統的「無阻尼自然頻率」。

在先前單元的主題:【不同阻尼比對質塊的振動有甚麼影響?】,當0<ξ<1是「次阻尼(under-damped)狀態,也就是「黏滯阻尼係數c介於0Cc之間,此系統的質塊運動狀態呈現來回振盪的衰減現象,而且,「阻尼比ξ越大,質塊振盪的振幅就衰減越快。

參閱圖示,針對次阻尼」狀態,0<ξ<1質塊來回振盪的位移衰減信號,做進一步的解析討論如下:

1.      f(t)=0,有初始位移X0及「初始速度V0初始條件」:質塊的初始狀態,即如圖示顯示的質塊初始位移,及其速度向量。
2.      因為,系統是「次阻尼」狀態,0<ξ<1,所以,質塊會呈現來回振盪的現象,而振盪的週期具有規律性,週期T=2π/ωd,其中,ωd=ωn*sqrt(1-ξ^2)為「阻尼自然頻率(damped natural frequency),而ωn=(k/m)^0.5,是「無阻尼自然頻率(undamped natural frequency)。若是,阻尼比很小,則ωd~=ωn,也就是「阻尼自然頻率」相近於「無阻尼自然頻率」。
3.      質塊的衰減現象,係與exp(–ξωn t)相關,因為指數函數為負值,所以,質塊的運動會隨時間增長,而逐漸衰減到零。其中,ξωn可以定義為「衰減率」,代表質塊來回振盪衰減的速率。可以看出:「阻尼比ξ越大,「衰減率」越大;「無阻尼自然頻率ωn越大,「衰減率」也越大。當「衰減率」ξωn越大,則質塊來回振盪的衰減速率就越快。

了解了mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」,在「次阻尼」狀態,0<ξ<1質塊有來回振盪的位移衰減信號的特徵,可以定義「對數衰減δ及其與阻尼比ξ的關係,說明如下:

1.      對數衰減δ:參閱圖示的方程式,摘錄如下,δ=1/(n-1)*ln(x1/xn),當n=2n=3,可寫出不同的「對數衰減δ表示式,可參閱圖示。
2.      阻尼比ξ:和「對數衰減δ,有如圖示的關係式,ξ=δ/sqrt((2π)^2+δ^2)
3.      如果,阻尼比ξ很小,阻尼比ξ和「對數衰減δ的關係式,可以化簡為:ξ=δ/2π

這個單元的重點,在介紹「對數衰減δ的理念及其定義。需要注意的是,只有適用在系統的阻尼是次阻尼」狀態。由於實務上,結構系統大都是0<ξ<1的「次阻尼」狀態,所以,了解對數衰減δ有其需要性,也可以應用在測定「黏滯阻尼係數」的時間域方法,將另闢單元討論。

這個單元,主要是探討了對數衰減δ的理念及其定義,由mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」的質塊位移響應之動態特性分析,可以得到,「阻尼比ξ和「對數衰減δ的關係式,未來還可應用到求得系統黏滯阻尼係數」,希望由本單元的探討,讀者能夠初步了解「對數衰減δ的特徵以及其定義。

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2019.08.08