《振動噪音科普專欄》如何求得彈簧的 k & c 物理參數？

在先前單元：【如何求得彈簧的彈簧常數？】，對圖示「質塊彈簧之實體結構」，進行「數學模型化」(mathematical modeling)，可以得到對應的「數學模型」(mathematical model)，包括：「質量」m、「黏滯阻尼係數」c、「彈簧常數」k，可稱為「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」，是典型的振動學課程重要單元之一。

同時，由該單元：【如何求得彈簧的彈簧常數？】，是由質塊的「質量」m，經由拉伸與釋放質塊，取得質塊的「振動週期」Tn，即可推估彈簧的「彈簧常數」k。

由於「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」，有3個重要的系統參數，包括：「質量」m、「黏滯阻尼係數」c、「彈簧常數」k，其中，「質量」m是比較容易度量，「彈簧常數」k，則可以參考【如何求得彈簧的彈簧常數？】的方法取得。本單元將綜合討論，如何由時間域方法，取得彈簧的等效「彈簧常數」k 及「黏滯阻尼係數」c。

假設一個情況，質塊安置於一個彈簧上方，如圖示的「質塊彈簧之實體結構」，為了實務分析的需要，其對應的「數學模型」如圖示，是包含「質量」m、「黏滯阻尼係數」c、「彈簧常數」k的「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」，這個單元的目標，是要求得此彈簧的等效「彈簧常數」k 及「黏滯阻尼係數」c。

以下探討的假設情境：

1.      已知可量測到「質塊彈簧之實體結構」的「質量」m。

2.      又對此「質塊彈簧之實體結構」可進行拉伸或壓縮的僅「初始位移」X0的作用，而且沒有「外力」，f(t)=0，也沒有「初始速度」V0的作用。

3.      同時，可以確實度量到如圖示的質塊「位移響應」x(t) 。

運用先前單元的知識，【甚麼是「對數衰減」？】、【不同阻尼比對質塊的振動有甚麼影響？】，參考圖示，統整了「mck單自由度系統」的相關方程式，以下將依序討論詳細步驟：

1.      取得質塊的「振盪週期」Tn：由圖示，取一個來回振盪的週期，Tn=1.65–0.8=0.85 (sec)。

2.      計算質塊的「自然頻率」fn：由「週期」與「頻率」的倒數關係，可得到，fn=1/Tn=1.176 (Hz)。

3.      推算彈簧的等效「彈簧常數」k：由「無阻尼自然頻率」ωn=2πfn的方程式，可以推算得到，k=m(2πfn)^2=54.641 (N/m)。在此須注意，為什麼可以由「無阻尼自然頻率」ωn推算等效「彈簧常數」k？由先前單元【甚麼是「對數衰減」？】，因為，系統是「次阻尼」狀態，0<ξ<1，所以，質塊會呈現來回振盪的現象，而振盪的週期具有規律性，實際的週期T=2π/ωd，其中，ωd=ωn*sqrt(1-ξ^2)為「阻尼自然頻率」(damped natural frequency)，而ωn=(k/m)^0.5，是「無阻尼自然頻率」(undamped natural frequency)。實務上，一般的阻尼比都很小，所以，ωd~=ωn，也就是「阻尼自然頻率」相近於「無阻尼自然頻率」，因此，可以由「無阻尼自然頻率」ωn推算等效「彈簧常數」k。

4.      計算位移響應的「對數衰減」δ：由先前單元【甚麼是「對數衰減」？】，參閱圖示，可以得知，x1=0.5、x2=0.45，所以，n=2，可以求得「對數衰減」δ= ln(x1/x2)=ln(0.5/0.45)=0.105。在此須注意，「對數衰減」δ是無因次的量值。

5.      推算彈簧的等效「黏滯阻尼比」ξ：由「對數衰減」δ和「阻尼比」ξ的關係式，可以求得ξ=δ/2π=0.0167。「阻尼比」ξ也是無因次的系統參數。

6.      取得「臨界黏滯阻尼係數」Cc：引用「臨界黏滯阻尼係數」Cc定義的方程式，由系統「質量」m及第3步驟求得的等效「彈簧常數」k，可以計算求得Cc=2(mk)^0.5=14.7839 (N-s/m)。

7.      推算彈簧的等效「黏滯阻尼係數」c：由「阻尼比」ξ的定義，可以計算得到此系統的「黏滯阻尼係數」c=ξ Cc =0.2479 (N-s/m)。

從以上實際的案例演算，共有7個步驟，主要目的，在求得此「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」的「彈簧常數」k及「黏滯阻尼係數」c。

這個求得「系統參數k & c」的方法，可以歸類為「時間域方法」，係由「mck單自由度系統」的「自由振動」(free vibration)響應，也就是沒有「外力」，f(t)=0，只有「初始位移」X0及「初始速度」V0的系統「初始條件」(initial condition)之作用。由質塊位移時間域響應之來回週期振盪及衰減的特性，可以循以上介紹的7個步驟，成功的推算出系統的等效「彈簧常數」k及「黏滯阻尼係數」c。

這個單元，主要是探討了由時間域的「自由振動」響應特性，以求得彈簧的等效「系統參數k & c」物理參數。需要熟悉「mck單自由度系統」的系統特性，包括：無外力僅初始條件作用下的「自由振動」響應分析，以及「對數衰減」δ和「阻尼比」ξ的定義，可以說是綜合的應用，希望由本單元的探討，讀者能夠初步了解以「時間域方法」求得「系統參數k & c」的理念與應用。

以上個人看法，請多指教！

王栢村

2019.08.09

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《振動噪音科普專欄》甚麼是「對數衰減」？

這個單元的主題：「對數衰減」(logarithmic decrement)，是「阻尼」的特徵之一，為了探討「對數衰減」的名詞定義，以及相關的應用，還是需要從圖示的「質塊彈簧之實體結構」談起。

在先前單元：【如何求得彈簧的彈簧常數？】，對圖示「質塊彈簧之實體結構」，進行「數學模型化」(mathematical modeling)，可以得到對應的「數學模型」(mathematical model)，包括：「質量」m、「黏滯阻尼係數」c、「彈簧常數」k，可稱為「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」，是典型的振動學課程重要單元之一。

又由先前單元：【工程實務上，如何表示阻尼？黏滯阻尼的特性】，最常採用的「黏滯阻尼模型」(viscous damping model)，也就是圖示的「數學模型」，可以得到其「運動方程式」：ma+cv+kx=f(t)。【備註：比較明確的數學方程式，請讀者參考圖示，在文字說明，受限於方程式編寫，分別以x、v、a，代表位移、速度、加速度。】

由「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」，得到其「運動方程式」，因為是「二階的常微分方程式」，所以需要兩個「初始條件」：「初始位移」X0及「初始速度」V0。

接著，需要了解「阻尼比」ξ的定義，摘錄先前單元：【工程實務上，如何表示阻尼？黏滯阻尼的特性】，「阻尼比」是「黏滯阻尼比」的簡稱，說明如下：

1.      「黏滯阻尼比」(viscous damping ratio)：以ξ代表，定義是：ξ=c/Cc。其中，c是「黏滯阻尼係數」，Cc 是「臨界黏滯阻尼係數」如下說明。

2.      「臨界黏滯阻尼係數」(critical viscous damping coefficient)：以Cc代表，定義可參閱圖示，摘錄如下，Cc=2*(mk)^0.5=2mωn，其中，ωn=(k/m)^0.5，是系統的「無阻尼自然頻率」。

在先前單元的主題：【不同阻尼比對質塊的振動有甚麼影響？】，當0<ξ<1，是「次阻尼」(under-damped)狀態，也就是「黏滯阻尼係數」c介於0和Cc之間，此系統的質塊運動狀態呈現來回振盪的衰減現象，而且，「阻尼比」ξ越大，質塊振盪的振幅就衰減越快。

參閱圖示，針對「次阻尼」狀態，0<ξ<1，質塊來回振盪的位移衰減信號，做進一步的解析討論如下：

1.      當f(t)=0，有「初始位移」X0及「初始速度」V0的「初始條件」：質塊的初始狀態，即如圖示顯示的質塊初始位移，及其速度向量。

2.      因為，系統是「次阻尼」狀態，0<ξ<1，所以，質塊會呈現來回振盪的現象，而振盪的週期具有規律性，週期T=2π/ωd，其中，ωd=ωn*sqrt(1-ξ^2)為「阻尼自然頻率」(damped natural frequency)，而ωn=(k/m)^0.5，是「無阻尼自然頻率」(undamped natural frequency)。若是，阻尼比很小，則ωd~=ωn，也就是「阻尼自然頻率」相近於「無阻尼自然頻率」。

3.      質塊的衰減現象，係與exp(–ξωn t)相關，因為指數函數為負值，所以，質塊的運動會隨時間增長，而逐漸衰減到零。其中，ξωn可以定義為「衰減率」，代表質塊來回振盪衰減的速率。可以看出：「阻尼比」ξ越大，「衰減率」越大；「無阻尼自然頻率」ωn越大，「衰減率」也越大。當「衰減率」ξωn越大，則質塊來回振盪的衰減速率就越快。

了解了「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」，在「次阻尼」狀態，0<ξ<1，質塊有來回振盪的位移衰減信號的特徵，可以定義「對數衰減」δ及其與「阻尼比」ξ的關係，說明如下：

1.      「對數衰減」δ：參閱圖示的方程式，摘錄如下，δ=1/(n-1)*ln(x1/xn)，當n=2、n=3，可寫出不同的「對數衰減」δ表示式，可參閱圖示。

2.      「阻尼比」ξ：和「對數衰減」δ，有如圖示的關係式，ξ=δ/sqrt((2π)^2+δ^2)。

3.      如果，「阻尼比」ξ很小，「阻尼比」ξ和「對數衰減」δ的關係式，可以化簡為：ξ=δ/2π。

這個單元的重點，在介紹「對數衰減」δ的理念及其定義。需要注意的是，只有適用在系統的阻尼是「次阻尼」狀態。由於實務上，結構系統大都是0<ξ<1的「次阻尼」狀態，所以，了解「對數衰減」δ有其需要性，也可以應用在測定「黏滯阻尼係數」的時間域方法，將另闢單元討論。

這個單元，主要是探討了「對數衰減」δ的理念及其定義，由「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」的質塊位移響應之動態特性分析，可以得到，「阻尼比」ξ和「對數衰減」δ的關係式，未來還可應用到求得系統「黏滯阻尼係數」，希望由本單元的探討，讀者能夠初步了解「對數衰減」δ的特徵以及其定義。

以上個人看法，請多指教！

王栢村

2019.08.08

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