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《振動噪音科普專欄》甚麼是「收斂性分析」?

這個單元要來探討的主題是:甚麼是「收斂性分析(convergence analysis)?在採用「有限元素分析(Finite Element Analysis, FEA)時,「收斂性分析」是一項重要的技術。

 

首先,以「4W」的心法,來破題、討論「收斂性分析(convergence analysis)如下:

 

1.      What is? 甚麼是收斂性分析」?

2.      Why to do? 為什麼需要進行「收斂性分析」?

3.      What goals? 進行「收斂性分析」要達到甚麼目標

4.      How to do? 如何進行收斂性分析」?

 

首先,參閱圖示右邊上方圖示順序,回顧前一個單元的案例:兩端夾持平板受往復拉力之結構分析,係以「靜力分析」方式,進行整體的分析步驟,簡述如下:

 

1.      定義問題:針對實際結構,在平板兩端有治具的夾持,夾持位置兩端受到往復拉力𝒑(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕)的作用,看起來是一個正弦波的變動外力。

2.      建構數學模型:對實際結構進行適當的分析假設,建議以【F GBMI R】心法思考,可以得到對應的「數學模型(Mathematical Model)

3.      發展有限元素模型:其次,就要建構對應的「有限元素模型(finite element model),由於符合結構的「對稱性」,只取1/4個平板進行分析。

4.      進行FEA軟體應用分析:可以應用CAE/FEA有限元素分析軟體進行應用分析,實現出FEA的「有限元素模型」分析構想,圖示為結構應力𝝈𝒙分佈圖,也就是x-方向正向應力分佈圖。

5.      解讀分析結果討論評估:由於採用了1/4個平板的「對稱模型」進行分析,所以,可以以映射方式,取得整體平板的應力分佈,可便於解讀此「對稱模型」應力分佈的物理意義。同時,可觀察出最大、最小應力的發生位置以及其量值大小。

 

當看到彩色的結構應力𝝈𝒙分佈圖,是否會懷疑這個分析結果的正確性、準確性如何呢?這就需要這個單元,所要討論的「收斂性分析(convergence analysis)

 

首先,What is? 甚麼是收斂性分析」?最主要是:評估FEA有限元素分析」之準確性,尤其是「有限元素模型」是層層的分析假設與FEA軟體應用分析的結果,參閱圖示中央的整體平板的應力分佈圖,討論如下

 

1.      應力等高線,有尖銳角度:如圖示標註的黑色線段。

2.      應力等高線,是非平滑曲線:結構的變形應該是連續的,如果,應力等高線是非平滑曲線,代表結構呈現了不連續的應力狀態,這是不合理的現象。

 

由於,有【應力等高線非平滑曲線】的不合理現象,又,圖示中個格線方塊,代表的就是每一個元素的分割狀態。又,已知元素越小,FEA有限元素分析」之分析結果就越準。所以,為什麼需要進行「收斂性分析」呢?就是要找到適當的「元素分割(Mesh),使得有準確的分析結果。題外話:坊間許多人稱之為「網格」是一種以訛傳訛的說法,Mesh真實的物理意義是「元素分割Mesh狀態。

 

所以,進行「收斂性分析」要達到甚麼目標呢?就是要確保FEA分析的準確性。

 

至於要如何進行收斂性分析」呢?本單元將介紹「h-收斂性分析(h-convergence),其中,h代表元素大小的變數符號。以步驟4下方的分析模型圖示,可觀察到:在靠近圓孔附近的「元素分割」尺寸較小,遠離應力集中區域的「元素分割」尺寸較大,這是合理的「元素分割(Mesh)原則。

 

如何進行「h-收斂性分析」呢?參閱圖示下方,有5個不同元素尺寸的「有限元素模型」之分析結果,由右至左,係由「粗分割(coarse mesh)、逐漸「細分割(refined mesh),每一個「細分割」分別是初始模型之元素尺寸的1/21/31/41/5,圖中分別標示了最小應力𝝈𝒙,𝐦𝐢𝐧之發生位置及量值,不同「元素分割」的最小應力𝝈𝒙,𝐦𝐢𝐧值,也彙整如中間表格。觀察的現象,討論如下:

 

1.      最小應力𝝈𝒙,𝐦𝐢𝐧之發生位置,都在圓孔的正上方。顯示各個「細分割」模型的合理性。

2.      在最左邊的圖示,「元素分割」尺寸最小,可以觀察:所有的應力等高線都是平滑曲線,所以,沒有結構的不連續應力分布狀態,是合理、良好的物理現象。

3.      參閱表格的𝝈𝒙,𝐦𝐢𝐧數值比較,「細分割」與「粗分割」的「有限元素模型」,其分析結果的相對誤差,都在0.3 %以下。在模型54的比較,誤差最小是0.041%。這是合理的「h-收斂性分析」結果。

 

對這個案例來說,最小應力𝝈𝒙,𝐦𝐢𝐧值,在不同「元素分割」尺寸的分析結果,很相近。不過,可以觀察模型5應力等高線,在對稱邊界上,呈現鉛錘的直角現象,在鏡像映射後,可以得到平滑曲線,所以模型5,可以說是進行「h-收斂性分析」後,確認的、適當的「元素分割(Mesh)

 

另外,簡要地以最小應力數值來看,與所受到的壓應力,比值大約等於3,可以看出有「應力集中(stress concentration)現象。更明確的「應力集中係數/因子(stress concentration factor)定義,我們另闢單元討論。

 

最後,綜合一下這個單元有關「收斂性分析(convergence analysis)的討論,是以「4W」的心法來討論:

 

1.      What is? 甚麼是收斂性分析」?

2.      Why to do? 為什麼需要進行「收斂性分析」?

3.      What goals? 進行「收斂性分析」要達到甚麼目標

4.      How to do? 如何進行收斂性分析」?

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2022.10.17










 

《振動噪音科普專欄》為什麼結構的「分析」,可以採用「靜力分析」來取代「振動分析」?

 

這個單元要來探討的主題是:為什麼結構的「分析」,可以採用「靜力分析(Static Analysis)來取代「振動分析(Vibration Analysis)

 

在先前單元:#288「靜力分析」和「振動分析」有什麼不同?】,#289如何進行結構的「靜力分析」?#290如何進行結構的「安全性」評估?,分別探討了幾個關鍵詞,包括:「靜力分析(Static Analysis)、「振動分析(Vibration Analysis)、結構的「靜力分析」、以及結構的「安全性」評估等。

 

又,已經知道「靜力分析」的假設:(1) 外力: 𝒇(𝒕)= 常數,也就是不隨時間變化。(2) 結構是沒有運動/振動的,也就是速度 𝒗(𝒕)=𝟎加速度 a(𝒕)=𝟎

 

又,實際結構的外力𝒇(𝒕),可能都不是常數,那麼為什麼可以採用「靜力分析(Static Analysis)來取代「振動分析(Vibration Analysis)呢?

 

在此,取一個案例:兩端夾持平板受往復拉力之結構分析,參閱圖示左上方,顯示問題描述的實際結構示意圖,平板在兩端有治具的夾持,夾持位置兩端受到往復拉力𝒑(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕)的作用,看起來是一個正弦波的變動外力。

 

參閱圖示左下方,正弦波的簡諧外力示意圖,外力為正弦函數 𝒑(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇 𝒕),其中,𝑭 =簡諧外力振幅」;𝒇=簡諧外力」的「激振頻率」。由圖示的𝒑(𝒕)示意圖,可以從時間波形,分別界定出「簡諧外力振幅 𝑭,以及「激振頻率𝒇週期T的倒數。

 

如果,結構受到這樣的簡諧外力,可能就需要進行「振動分析(Vibration Analysis),而且進行的是簡諧響應分析(harmonic response analysis)

 

不過,觀察一下外力 𝒑(𝒕)的時間波形,其最大值會是+𝑭,而最小值是𝑭,盡管𝒑(𝒕)是隨時間變化,但是可以以兩個靜力分析來取代振動分析」:

 

1.      取最大外力+𝑭,進行靜力分析

2.      取最小外力𝑭,進行靜力分析

 

這樣的兩個靜力分析」方式,重要的意義,在免於進行進階的、複雜的振動簡諧響應分析」,而只透過兩個靜力分析」方式,也可以分別解析出結構的最大與最小之變形與應力狀態,而結構的變形與應力,應該會是介於最大與最小之間。

 

接下來,就針對這個案例:兩端夾持平板受往復拉力之結構分析,以「靜力分析」方式,進行整體的分析步驟。

 

首先,對「實際結構」,作適當的假設,建構「數學模型(Mathematical Model),參閱圖示中間上方的「數學模型」示意圖,建議以【F GBMI R】心法思考,分別說明如下:

 

1.      F=Force外力負荷:本案例在兩端受夾持力,可假設為均勻的均佈拉力𝑷=𝑭/(𝑳×𝒉)

2.      G=Geometry幾何:忽略夾持端的治具,只取中間部分的平板。由於平板是個薄板結構,可以採用「平面元素(plane element)進行分析。因此,只取厚度方向,一個截面如圖示,進行分析。

3.      M=Material材料:平板當然有其材料,所以,需設定對應的材料參數。

4.      B=Boundary邊界條件:原有的夾持邊界,已經轉換為均佈拉力𝑷,所以,沒有邊界效應。

5.      I=Interface接觸介面:本案例是單一材料結構,沒有接觸效應,所以可忽略。

6.      R=Response結構響應靜力分析」得到的響應,就是結構的位移」變形以及結構上每個位置的「應力」。

 

有了「數學模型」,其次,就要建構對應的「有限元素模型(finite element model),參閱圖示右上方的「有限元素模型」示意圖。由於符合結構的「對稱性」,只取1/4個平板進行分析,在下方與左邊的線段,需要設定「對稱邊界」的位移限制。外力為均佈拉力𝑷=𝟏𝟎𝟎𝟎 𝐏𝐚

 

有了「有限元素模型」的構想,就可以應用CAE/FEA有限元素分析軟體進行應用分析,實現出FEA的分析構想,參閱圖示右下方的結構應力分佈圖示是𝝈𝒙,也就是x-方向正向應力分佈圖。可以觀察:

 

1.      +𝑭時,最大應力𝝈𝒙,𝐦𝐚𝐱 = 3041.08 𝐏𝐚,出現在圓孔的上方位置。

2.      𝑭時,最小應力𝝈𝒙,𝐦𝐢𝐧 = −3041.08 𝐏𝐚,也是出現在圓孔的上方位置。

 

分析到此,可以發現,會有最大、最小應力位置,是在圓孔的上方位置,量值大小相等、方向相反,所以此變動性的簡諧外力」,可以合理推測結構的應力,應該會是介於最大應力𝝈𝒙,𝐦𝐚𝐱與最小應力𝝈𝒙,𝐦𝐢𝐧之間。

 

對於結構受到這種往復拉力之可能破壞,最可能的就是疲勞破壞(fatigue failure),有關「疲勞破壞」,我們再另闢單元討論。

 

由於「有限元素模型」的構想,是採用了1/4個平板的「對稱模型」進行分析,所以參閱圖示中間下方圖示,可以解讀此「對稱模型」應力分佈的物理意義,可觀察出最大、最小應力的發生位置以及其量值大小。

 

在此仍需注意,此分析結果還不是很好,仍然需要進行所謂的收斂性分析(convergence analysis),我們再另闢單元討論。

 

綜合一下本單元的重點:為什麼結構的「分析」,可以採用「靜力分析(Static Analysis)來取代「振動分析(Vibration Analysis)?在此案例:兩端夾持平板受往復拉力之結構分析,其往復拉力𝒑(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕),其實是簡諧外力」。

 

在本案例,沒有進行振動分析」之簡諧響應分析」,而是以兩個靜力分析來取代振動分析」,可以解析出最大、最小應力位置,是在圓孔的上方位置,進而可以合理推測結構的應力,應該會是介於最大應力𝝈𝒙,𝐦𝐚𝐱與最小應力𝝈𝒙,𝐦𝐢𝐧之間,所以,就是採用了「靜力分析(Static Analysis),取代了「振動分析(Vibration Analysis)

 

針對本案例的分析流程步驟,歸納進行「靜力分析」之主要步驟如下:

 

1.      定義問題

2.      建構數學模型

3.      發展有限元素模型

4.      進行FEA軟體應用分析

5.      解讀分析結果討論評估

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2022.10.17