這個單元要來探討的主題是：如何檢查「頻譜分析儀」(FFT spectrum Analyzer)的基本功能(basic functions)正常運作？這是這個系列的第2篇，仍然針對1.快速傅立葉轉換檢查(FFT check)，主要在說明𝒙(𝒕)「時間波形」與𝑿(𝒇)「傅立葉頻譜」的關係。
在先前單元：#373，【如何檢查頻譜分析儀(FFT spectrum analyzer)的基本功能正常運作？】，實務上，要如何檢查一部FFT analyzer是正常運作呢？建議了6個步驟，在後續的單元，將陸續詳細介紹如何進行！包括：(1) FFT check。(2) AAF Check。(3) Auto PSD Spectrum Check。(4) FRF Check。(5) COH Check。(6) Dynamic Range Check。本單元著重在：(1) FFT check，主要在說明𝒙(𝒕)「時間波形」與𝑿(𝒇)「傅立葉頻譜」的關係。
參閱圖1，引用前一個單元：#374，【如何檢查頻譜分析儀(FFT
spectrum analyzer) - 1.快速傅立葉轉換檢查(FFT check)–4W】，有關第一項功能檢查：(1) FFT check，以【4W】的心法來探討，簡要說明如下：
1. 觀察了「信號FFT處理之系統方塊圖」：其中，𝒙(𝒕)是信號的「時間波形」(time waveform)，實驗量測的「原始數據」(raw data)。而𝑿(𝒇)是「傅立葉頻譜」(Fourier spectrum)，是透過FFT分析取得。FFT是Fast Fourier transform，中文是快速傅立葉轉換。FFT是基於數學上傅立葉轉換(Fourier transform)的理論基礎，以數值方法，進行有限時間範圍的𝒙(𝒕)「時間波形」之數值計算，以取得對應𝒙(𝒕)的的𝑿(𝒇)「傅立葉頻譜」。
2. 以【4W】的心法：(1) What is? 甚麼是FFT？(2) Why to do? 為什麼要做FFT？(3) What goal? 做FFT有甚麼目的？(4) How to do? 如何進行FFT？做了概述探討。
3. 例舉了一個量測到的、數位化的、複雜的𝒙(𝒕)「時間波形」，是不容易能夠瞭解這個信號的頻率特徵。
4. 透過FFT數值運算，可以取得對應𝒙(𝒕)的𝑿(𝒇)「傅立葉頻譜」：因為，𝑿(𝒇)「傅立葉頻譜」是個複數(complex number)，可以分別由4個圖示呈現：(1) |𝑿(𝒇)| vs. 𝒇，振幅值Amplitude vs. 頻率Frequency，(2) ∠[𝑿(𝒇)] vs. 𝒇，相位角Phase angle vs. 頻率Frequency，(3)
𝑹𝑬[𝑿(𝒇)] vs. 𝒇，實數部Real part vs. 頻率Frequency，(4) 𝑰𝑴[𝑿(𝒇)] vs. 𝒇，虛數部Imaginary part vs. 頻率Frequency。
為了解讀圖1，對一個量測到的、數位化的、複雜的𝒙(𝒕)「時間波形」，經FFT數值運算，取得對應𝒙(𝒕)的𝑿(𝒇)「傅立葉頻譜」。在此，參閱圖2，是餘弦波(Cosine)、正弦波(Sine)、常數波DC (Direct Current)信號的𝑿(𝒇)「傅立葉頻譜」，這個單元要來觀察有甚麼樣的特徵？
參閱圖2上方，分別列出三個𝒙(𝒕)「時間波形」的數學方程式，以及數位化的「時間波形」，說明如下：
1. 餘弦波(Cosine)：數學方程式：𝒙(𝒕)=𝑨𝐜𝐨𝐬(𝟐𝛑𝒇𝟎 𝒕)，其中，振幅值𝑨=𝟏，餘弦波的頻率
𝒇𝟎=𝟏𝟎𝟎 Hz。𝒙(𝒕)「時間波形」的特徵，就是𝑨=𝟏，𝒇𝟎=𝟏𝟎𝟎 Hz的Cosine波。
2. 正弦波(Sine)：數學方程式：𝒙(𝒕)=𝑨𝐬𝐢𝐧 (𝟐𝛑𝒇𝟎 𝒕)，其中，振幅值𝑨=𝟏，餘弦波的頻率
𝒇𝟎= 𝟓𝟎 Hz。𝒙(𝒕)「時間波形」的特徵，就是𝑨=𝟏，𝒇𝟎= 𝟓𝟎 Hz的Sine波。
3. 常數波DC (Direct Current)：數學方程式：𝒙(𝒕)=𝑨，其中，振幅值𝑨= 𝟓。
以上三種信號，如Cosine波、或Sine波，可以稱為AC信號，就是Alternating Current (AC)。而常數波，就稱之為DC信號，就是Direct Current (DC)。
已知，透過FFT數值運算，參閱圖2左上方的「信號FFT處理之系統方塊圖」，可以取得對應𝒙(𝒕)「時間波形」的𝑿(𝒇)「傅立葉頻譜」。
針對Cosine波、Sine波、DC常數波，圖2呈現了理論的𝑿(𝒇)「傅立葉頻譜」表示式。同時，透過FFT數值運算，也可以繪製𝑿(𝒇)的4個圖示，|𝑿(𝒇)| 振幅值、∠[𝑿(𝒇)] 相位角、𝑹𝑬[𝑿(𝒇)] 實數部、𝑰𝑴[𝑿(𝒇)] 虛數部，分別討論如下：
1. 餘弦波(Cosine)：𝒙(𝒕)「時間波形」數學方程式：𝒙(𝒕)=𝑨𝐜𝐨𝐬(𝟐𝛑𝒇𝟎 𝒕)。其𝑿(𝒇)「傅立葉頻譜」數學方程式：𝑿(𝒇)=𝑨𝜹(𝒇−𝒇𝟎)，是純實數，在𝒇=𝒇𝟎=100 Hz，其實數部的值是𝑨=1。所以，振幅值|𝑿(𝒇)|=1@100
Hz，相位角∠[𝑿(𝒇)]= 0∘@100 Hz，實數部
𝑹𝑬[𝑿(𝒇)]=1@100
Hz，虛數部𝑰𝑴[𝑿(𝒇)]=0@100
Hz。
2. 正弦波(Sine) 𝒙(𝒕)「時間波形」數學方程式：𝒙(𝒕)=𝑨𝐬𝐢𝐧 (𝟐𝛑𝒇𝟎 𝒕)。其𝑿(𝒇)「傅立葉頻譜」數學方程式：𝑿(𝒇)=−𝒊𝑨𝜹(𝒇−𝒇𝟎)，是純虛數，在𝒇=𝒇𝟎=50 Hz，其虛數部的值是 −𝑨=−1。所以，振幅值|𝑿(𝒇)|=1@50
Hz，相位角∠[𝑿(𝒇)]= −90∘@50 Hz，實數部
𝑹𝑬[𝑿(𝒇)]= 0@50
Hz，虛數部𝑰𝑴[𝑿(𝒇)]= −1@50 Hz。
3. 常數波DC (Direct Current)：𝒙(𝒕)「時間波形」數學方程式：𝒙(𝒕)=𝑨。其𝑿(𝒇)「傅立葉頻譜」數學方程式：𝑿(𝒇)=𝑨𝜹(𝒇)，是純實數，在𝒇=𝟎，其實數部的值是𝑨=5。所以，振幅值|𝑿(𝒇)|=5@0 Hz，相位角∠[𝑿(𝒇)]= 0∘@0 Hz，實數部
𝑹𝑬[𝑿(𝒇)]=5@0 Hz，虛數部𝑰𝑴[𝑿(𝒇)]=0@0 Hz。
Cosine波及Sine波，兩者之間，𝑿(𝒇)「傅立葉頻譜」最主要的差異，說明如下：
1. 振幅值
|𝑿(𝒇)|：峰值(peak)會出現在Cosine波及Sine波的頻率𝒇𝟎位置。而振幅值|𝑿(𝒇)|會Cosine波及Sine波的是振幅值𝑨，|𝑿(𝒇)| = 𝑨。所以，如果只看|𝑿(𝒇)| 圖示，是無法區別出，是Cosine波或Sine波。
2. 相位角∠[𝑿(𝒇)]：Cosine波，在頻率𝒇𝟎位置，∠[𝑿(𝒇)]= 0∘。但是，Sine波，在頻率𝒇𝟎位置，∠[𝑿(𝒇)]= −90∘。
3. 實數部
𝑹𝑬[𝑿(𝒇)]：Cosine波，在頻率𝒇𝟎位置，𝑹𝑬[𝑿(𝒇)]= 𝑨，但是，Sine波，在頻率𝒇𝟎位置，𝑹𝑬[𝑿(𝒇)]= 0。
4. 虛數部
𝑰𝑴[𝑿(𝒇)]：Cosine波，在頻率𝒇𝟎位置，𝑰𝑴[𝑿(𝒇)]= 0，但是，Sine波，在頻率𝒇𝟎位置，𝑰𝑴[𝑿(𝒇)]= −𝑨。
因此，要判斷簡諧波(harmonic wave)是Cosine波或Sine波，必須同時觀察振幅值 |𝑿(𝒇)|以及相位角∠[𝑿(𝒇)]的兩個圖示，或是同時觀察實數部 𝑹𝑬[𝑿(𝒇)]以及虛數部 𝑰𝑴[𝑿(𝒇)]的兩個圖示。如果，是取振幅值 |𝑿(𝒇)|以及相位角∠[𝑿(𝒇)]的圖示，同時繪製，一起呈現，稱之為波德圖(Bode plot)。
對於𝒙(𝒕)「時間波形」是常數波DC (Direct Current)信號，其𝑿(𝒇)「傅立葉頻譜」，會出現在頻率𝒇=𝟎位置，|𝑿(𝒇)| = 𝑨，𝑹𝑬[𝑿(𝒇)]= 𝑨，而∠[𝑿(𝒇)]= 0∘，𝑰𝑴[𝑿(𝒇)]= 0。
有了以上對Cosine波、Sine波、以及常數波DC，在𝒙(𝒕)「時間波形」與𝑿(𝒇)「傅立葉頻譜」的關係，就可以來解讀圖1的𝒙(𝒕)與𝑿(𝒇)之關係。
由波德圖(Bode plot)，就是觀察振幅值
|𝑿(𝒇)|以及相位角∠[𝑿(𝒇)]的圖示，說明如下：
1. 在𝒇=0 Hz：|𝑿(𝒇)| = 𝑨 =5，∠[𝑿(𝒇)]= 0∘。所以，可以確認：𝒙(𝒕)「時間波形」有一個DC常數波，其DC振幅值𝑨 =5。
2. 在𝒇=𝒇𝟎=50 Hz：因為， |𝑿(𝒇)| = 𝑨 =1，∠[𝑿(𝒇)]= −90∘。所以，可以確認：𝒙(𝒕)「時間波形」有一個Sine波，其振幅值𝑨 =1，頻率𝒇𝟎=50 Hz。
3. 在𝒇=𝒇𝟎=100 Hz：因為， |𝑿(𝒇)| = 𝑨 =1，∠[𝑿(𝒇)]= 0∘。所以，可以確認：𝒙(𝒕)「時間波形」有一個Cosine波，其振幅值𝑨 =1，頻率𝒇𝟎=100 Hz。
另外，也可以觀察實數部
𝑹𝑬[𝑿(𝒇)]以及虛數部
𝑰𝑴[𝑿(𝒇)]的圖示，說明如下：
1. 在𝒇=0 Hz：𝑹𝑬[𝑿(𝒇)]= 𝑨=5，𝑰𝑴[𝑿(𝒇)]= 0。所以，可以確認：𝒙(𝒕)「時間波形」有一個DC常數波，其DC振幅值𝑨 =5。
2. 在𝒇=𝒇𝟎=50 Hz：因為， 𝑹𝑬[𝑿(𝒇)]= 0，𝑰𝑴[𝑿(𝒇)]= −𝑨=−1。所以，可以確認：𝒙(𝒕)「時間波形」有一個Sine波，其振幅值𝑨 =1，頻率𝒇𝟎=50 Hz。
3. 在𝒇=𝒇𝟎=100 Hz：因為， 𝑹𝑬[𝑿(𝒇)]= 𝑨 =1，𝑰𝑴[𝑿(𝒇)]=0。所以，可以確認：𝒙(𝒕)「時間波形」有一個Cosine波，其振幅值𝑨 =1，頻率𝒇𝟎=100 Hz。
綜合一下這個單元的討論，主要在說明𝒙(𝒕)「時間波形」與𝑿(𝒇)「傅立葉頻譜」的關係，總結如下：
1. 參閱圖2：分別是餘弦波(Cosine)、正弦波(Sine)、常數波DC (Direct Current)信號的𝑿(𝒇)「傅立葉頻譜」，透過4個圖示：|𝑿(𝒇)|、∠[𝑿(𝒇)]、𝑹𝑬[𝑿(𝒇)]、𝑰𝑴[𝑿(𝒇)]，各別的解析，可以知道這三個波形的𝑿(𝒇)特徵。
2. 參閱圖1：對一個量測到的、數位化的、複雜的𝒙(𝒕)「時間波形」，經FFT數值運算，取得對應𝒙(𝒕)的𝑿(𝒇)「傅立葉頻譜」。可以由𝑿(𝒇)的4個圖示：|𝑿(𝒇)|、∠[𝑿(𝒇)]、𝑹𝑬[𝑿(𝒇)]、𝑰𝑴[𝑿(𝒇)]，解析出𝒙(𝒕)的頻率組成。分別是由餘弦波(Cosine)、正弦波(Sine)、常數波DC (Direct Current)的三個信號所組成的。在實務上的振動或噪音量測的信號，是各種頻率的組成，透過FFT，將可以解析出對應的頻率及振幅值、相位角、實數部、虛數部，這就是FFT分析的主要目的與功能。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2024.06.10
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圖1、1.快速傅立葉轉換檢查(FFT check)–𝒙(𝒕)與𝑿(𝒇)的關係 |
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| 圖2、餘弦波/正弦波/DC信號的傅立葉頻譜有甚麼特徵？ Figure 2. Fourier spectrum 𝑿(𝒇) of Cosine, Sine, and DC signals |
