這個單元要來探討的主題是：甚麼是「等效系統」(Equivalent System)？為什麼要進行「等效系統分析」(Equivalent System Analysis)？
要探討：甚麼是「等效系統」(Equivalent System)？首先回顧一下，對一個「實際結構」(real structure)，要進行「數學建模」(mathematical modeling)，才能夠得到對應於「實際結構」的等效「數學模型」(mathematical model)。
另外，回顧先前單元：#315，【如何建構「離散系統」的「數學模型」？- 搖頭娃娃】，介紹了針對「離散系統」(discrete system)的「數學建模」，有7個步驟，摘錄如下，包括：
1. 定義系統之質塊元件：Mass element
2. 定義系統之連接元件：K & C elements
3. 定義系統之自由度：DOF
4. 定義系統之邊界條件：Boundary
5. 定義系統之輸入條件：Input / Loading
6. 定義系統之初始條件：Initial Condition (I.C.)
7. 定義有興趣之系統輸出參數：Output Variables
參閱中間上方圖示，「實際結構」是一個【搖頭娃娃】的示意圖，其主要結構就是一個質塊與彈簧。當【搖頭娃娃】受到敲擊、或拉扯後，娃娃頭的質塊會有跳動情形。所以，質塊會有3個方向位移/平移「自由度」：𝒙,𝒚,𝒛，以及3個方向旋轉「自由度」：𝜽𝒙,𝜽𝒚,𝜽𝒛。
透過「數學建模」，可以得如圖示右上方的「數學模型」，是一個只考慮垂直上下振動的「SDOF黏滯阻尼系統」，其定義「數學模型」的第1~6個步驟，包括：質塊元件、連接元件、自由度、邊界條件、輸入條件、初始條件。
在第7個步驟：定義有興趣之系統輸出參數，最基本的分析，在求得系統之「自然頻率」(natural frequency) 𝒇𝒏 以及「阻尼比」(damping ratio) 𝝃。尤其是取得「自然頻率」，才能夠評估「共振」(resonance)：也就是系統的外力「激振頻率」(excitation frequency)和系統的「自然頻率」(natural frequency)，相等或相近時，會使得結構有大的振動。所以，結構有「共振」的現象，通常是不好的，需要去避免「共振」。
其他，像是求得結構的位移/速度/加速度之時間域響應，或是如圖示的反作用力之時間域響應，也是可能的有興趣之系統輸出參數。
總之，得到如圖示右上方的「數學模型」，就是要進行相關的分析，以能夠求得有興趣之系統輸出參數。
再回到本單元的主題：甚麼是「等效系統」(Equivalent System)？將圖示右上方的「數學模型」，重新繪製如圖示左下方，一個「等效系統」的示意圖，不同的是：「等效質量」(Equivalent mass) 𝒎𝒆𝒒、「等效黏滯阻尼係數」(Equivalent viscous damping) 𝒄𝒆𝒒、「等效彈簧常數」(Equivalent spring constant) 𝒌𝒆𝒒。
這樣的SDOF單自由度系統，可以推導取得系統的運動方程式(Equation of Motion, EOM)，由於是二階的常微分方程式，需要定義兩個初始條件(initial condition, IC)，分別是初始位移(initial displacement)，和初始速度(initial velocity)。
其次，進行了「模態分析」(modal analysis)，就可以得到SDOF單自由度系統的兩個「模態參數」(modal parameter)：「自然頻率」(natural frequency) 𝒇𝒏 以及「阻尼比」(damping ratio) 𝝃。其詳細表示式，可參閱圖片。
重要的概念，如果，能夠取得
𝒎𝒆𝒒 和
𝒌𝒆𝒒，也就是「等效質量」和「等效彈簧常數」，就可以求得系統的「自然頻率」，就可以據以評估是否有「共振」(resonance)。這就是為什麼要進行「等效系統分析」(Equivalent System Analysis)的主要理由。
最後，觀察圖示右下方的「ISO系統流程圖」(system block diagram)，說明如下：
1. Input 輸入參數：就是外力 𝒇(𝒕)，和兩個初始條件(IC)，𝒙𝟎和𝒗𝟎。
2. System 系統參數：就是𝒎𝒆𝒒、𝒄𝒆𝒒、𝒌𝒆𝒒。
3. Output 輸出參數：如系統位移𝒙(𝒕)/速度𝒙 ̇(𝒕)/加速度𝒙 ̈ (𝒕)/反作用力𝒇𝑹 (𝒕)之時間域響應。
由於以上的各種參數，都是物理量(physical quantity)：可以實際度量、具有物理單位(physical unit)，所以此「ISO系統流程圖」稱為：「物理域系統方塊圖」(physical
domain block diagram)。
參閱右下方圖示為：「模態域系統方塊圖」(modal domain block diagram)，其中，System 系統參數包括：𝒇𝒏「自然頻率」 以及𝝃「阻尼比」。
介紹到這裡，除了闡述甚麼是「等效系統」(Equivalent System)？其實，也是在闡述為什麼要進行「等效系統分析」(Equivalent System Analysis)？主要意義與目的，說明如下：
1. 當取得了SDOF單自由度系統的「等效系統」(Equivalent System)。
2. 可推導得到系統的運動方程式(Equation of Motion, EOM)。
3. 進而可以進行「模態分析」(modal analysis)，可以得到「模態參數」(modal parameter)：「自然頻率」(natural frequency) 𝒇𝒏 以及「阻尼比」(damping ratio) 𝝃。
4. 即可據以評估結構系統是否有「共振」(resonance)。
因此，完成「等效系統分析」，不必進行複雜的如「暫態響應分析」(transient response analysis)，就可以快速分析判斷是否結構會有「共振」？因為，大部分的結構振動太大，多數來自「共振」的影響。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
