首先，針對這個單元主題的關鍵詞，依序說明：
1. SDOF系統=單自由度(single degree of freedom,
SDOF)系統：系統的參數包括：質塊的質量 𝒎和彈簧的彈簧常數𝒌。
2. 「黏滯阻尼」(viscous Damping)：參閱圖示「黏滯阻尼」系統的示意圖，除了𝒎和𝒌之外，還有𝒄是「黏滯阻尼係數」(viscous damping coefficient)。其阻尼力(damping force) 𝑭𝒄(𝒕)= 𝒄𝒗(𝒕)是和「黏滯阻尼係數」𝒄以及速度𝒗(𝒕)成正比。
3. 「庫倫阻尼」(Coulomb Damping)：參閱圖示「庫倫阻尼」系統的示意圖，質塊𝒎 和地面有滑動的接觸，質塊和地面之間，會有「摩擦係數」(Friction coefficient)
𝝁。和「黏滯阻尼」系統的示意圖比較，差異在質塊𝒎 和地面是沒有「摩擦」的滑動接觸，所以，𝝁 = 0。
4. 自由振動(free vibration)：當外力
𝒇(𝒕)=0，也就是沒有外力作用，稱之為自由振動。
5. 響應(response)：有興趣的系統響應，如質塊的位移𝒙(𝒕)、速度𝒗(𝒕)、加速度𝒂(𝒕)。
對於「黏滯阻尼」的SDOF系統，其運動方程式(Equation of Motion, EOM)：𝒎𝒂+𝒄𝒗+𝒌𝒙=𝒇(𝒕)，由於運動方程式EOM是二階的常微分方程式，所以，需要兩個「初始條件」(initial condition,
IC)，分別是「初始位移」𝒙𝟎及「初始速度」𝒗𝟎。【備註：比較明確的數學方程式，請讀者參考圖示，在文字說明，受限於方程式編寫，分別以𝒙、𝒗、𝒂，代表位移、速度、加速度。】
當沒有外力作用，𝒇(𝒕)=0，質塊會有振動響應，主要是有兩個「初始條件」的效應，就是「初始位移」𝒙𝟎及「初始速度」𝒗𝟎。
得到了系統的運動方程式EOM，對系統進行「模態分析」(modal analysis)，可以求得結構的「模態參數」(modal parameters)。在此「單自由度系統」的「模態參數」為：
1. 𝒇𝒏=𝟏/𝟐𝝅 √(𝒌/𝒎)：「自然頻率」(natural frequency)，單位為 Hz。
2. 𝝎𝒏=𝟐𝝅𝒇𝒏：也是「自然頻率」(natural frequency)，但是，單位為 rad/sec。
3. 𝝎𝒅=𝝎𝒏
√(𝟏−𝝃^𝟐 )：稱為「阻尼自然頻率」(damped natural frequency)，單位為 rad/sec。
4. 𝝃=𝒄/C𝒄：為「阻尼比」(damping ratio)，無因次單位。其中，C𝒄=2*(mk)^0.5=2mωn為「臨界黏滯阻尼係數」(critically viscous damping coefficient)，單位為 N-s/m。
以上資訊，讀者可參考先前單元：#151，【「外力激振」的「單自由度系統」之振動分析】。
對於「庫倫阻尼」的SDOF系統，其運動方程式(Equation of Motion, EOM)的通式：𝒎𝒂+𝒄𝒗+𝒌𝒙=𝒇(𝒕)+𝑭𝒔(𝒕)，和「黏滯阻尼」的SDOF系統之差異，主要是「摩擦力」(frictional force)
𝑭𝒔(𝒕)，參閱圖示的EOM，說明如下：
1.
當速度為正值 𝒗 >𝟎，𝑭𝒔(𝒕)= −𝝁𝒎𝒈。
2.
當速度為負值 𝒗 <𝟎，𝑭𝒔(𝒕)= 𝝁𝒎𝒈。
3.
當速度為零 𝒗 =𝟎，𝑭𝒔(𝒕)= 0。
所以，對於「庫倫阻尼」的SDOF系統，阻尼效應有兩種：(1)「黏滯阻尼」的「黏滯阻尼係數」𝒄
之效應，(2)「庫倫阻尼」的「摩擦係數」𝝁
之效應。
接下來，以實際的數值分析案例作說明，設定：𝒎=1 (kg)，𝒌=39.48 (N/m)，則自然頻率
𝒇𝒏= 1 (Hz)。令𝒇(𝒕)=0，𝒙𝟎 = 1 (m)，𝒗𝟎=𝟎 (m/s)，所以是自由振動狀態。分別探討(1)單獨有「黏滯阻尼係數」𝒄
效應，(2)單獨有「庫倫阻尼」的「摩擦係數」𝝁
效應，以及(3)兩種阻尼都有時之自由振動響應，說明如下：
1. 𝒄=2 (N-s/m)，𝝁=𝟎：也就是單獨的「黏滯阻尼」，其自由振動狀態下的位移響應𝒙(𝒕)如圖示，呈現衰減現象。在「次阻尼」狀態：0<ξ<1，其系統位移響應，可寫成：𝒙(𝒕)=Xe^(-σt) cos(𝝎𝒅 t-φ)，各個參數的表示式，可參閱圖示。其中，𝝈=𝝃𝝎𝒏=𝝃2𝝅𝒇𝒏是衰減率(decay rate)，「黏滯阻尼」的衰減現象是「對數衰減」(exponential decay)。值得注意的是，質塊的振盪頻率是「阻尼自然頻率」𝝎𝒅。
2. 𝒄=0 (N-s/m)，𝝁=𝟎.2：也就是單獨的「庫倫阻尼」，其自由振動狀態下的位移響應𝒙(𝒕)如圖示，也是呈現衰減現象。觀察其系統響應：𝒙(𝒕)=(𝒙𝟎−𝒓𝝁𝑵/𝒌)𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒏 𝒕)+𝝁𝑵/𝒌，每一個振盪的衰減是4𝝁𝑵/𝒌、8𝝁𝑵/𝒌、12𝝁𝑵/𝒌、16𝝁𝑵/𝒌，是直線式的衰減，不同於「黏滯阻尼」是「對數衰減」。而其質塊的振盪頻率是「自然頻率」𝝎𝒏。
3. 𝒄=2 (N-s/m)，𝝁=𝟎.2：也就是「黏滯阻尼」和「庫倫阻尼」兩種阻尼效應都有，參閱圖示的位移響應𝒙(𝒕)，只有一個波動，明顯地相較於單獨的「黏滯阻尼」或「庫倫阻尼」，有更大的衰減現象。
針對這個主題的重點，SDOF系統之「黏滯阻尼」和「庫倫阻尼」的自由振動響應，有甚麼差異？綜合說明兩者之間的差異：
1. 衰減率：單獨的「黏滯阻尼」，其衰減現象是「對數衰減」，衰減率是𝝈=𝝃𝝎𝒏=𝝃2𝝅𝒇𝒏。而單獨的「庫倫阻尼」，其衰減現象是「直線衰減」，衰減率是每一個波動有4𝝁𝑵/𝒌 的衰減量。
2. 振盪頻率：單獨的「黏滯阻尼」，其振盪頻率是「阻尼自然頻率」𝝎𝒅。而單獨的「庫倫阻尼」，其振盪頻率是「自然頻率」𝝎𝒏。不過，實務上的「阻尼比」𝝃都相當小，而𝝎𝒅=𝝎𝒏 √(𝟏−𝝃^𝟐 )，所以，兩個振盪頻率會很相近，也就是𝝎𝒅~=𝝎𝒏。
3. 衰減效應來源：「黏滯阻尼」的衰減效應來自「黏滯阻尼係數」𝒄的「阻尼力」𝑭𝒄(𝒕)=
𝒄𝒗。而「庫倫阻尼」是「摩擦係數」𝝁所引發的「摩擦力」(frictional force)
𝑭𝒔(𝒕)。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2022.09.02
