這個單元是姆指琴系列專欄的第5篇，要來探討：「姆指琴」的「音箱」結構，這個「音箱」結構有「模態」嗎？同時，也要來區別探討「結構振動模態」(structural vibration modes)和「空氣音場模態」(air acoustic modes)的特性。
甚麼是「姆指琴」(Kalimba)呢？參閱圖示，可知道「姆指琴」如何演奏，就是以手持音箱，並以兩手的姆指撥動琴片，進而會發出聲音，所以稱為「姆指琴」。
在此，再回顧一下「姆指琴」的「構造」，包含：「琴片」、「琴片座」及「音箱」。這個「姆指琴」有7根「琴片」，以類似懸臂樑的方式固定在「琴片座」，而「琴片座」鎖固在「音箱」上，這個椰子殼製作的「音箱」，在圓形面板上，有開了一個圓孔，稱為「音孔」。這個「姆指琴」有7根「琴片」，長短各有不同，可以發出不同「音階」的聲音。
參閱圖示的左側，為「姆指琴」實體結構的發聲機制示意圖，透過姆指「施力」作用在「琴片」上，透過「琴片」的振動，傳遞到「琴片座」，進而傳遞到「音箱」，每一個結構體都會透過「空氣」發出聲音，傳遞聲音到人的「耳朵」，所以可以聽到「姆指琴」發出的聲音。
接下來，參閱圖示左側下方圖示，從另一個角度觀察「姆指琴」的發聲機制，以「SPR流程圖」來討論，其中：
1.
S：Source激振源。就是施加在「琴片」上的作用力𝒇𝒋 (𝒕)。
2.
P：Path路徑。可以概分為：「結構路徑」(structural path)，以及「空氣路徑」(air path)。結構路徑包含了「琴片」、「琴片座」及「音箱」。「結構路徑」的振動與「空氣路徑」有互相耦合效應，進而可以發出聲音。
3.
R：Response響應或Receiver收受者。理念上，可以在結構上，以「加速規」(accelerometer)量測得到結構振動的響應，以𝒂𝒊 (𝒕)表示。另外，可以在空間中，以「麥克風」(microphone)量測發出的聲音，以𝒑𝒌
(𝒕)表示。𝒂𝒊 (𝒕)是「結構路徑」的Response響應，而𝒑𝒌
(𝒕)是「空氣路徑」的Response響應。
大致瞭解了「姆指琴」的發聲機制，這個單元要更深入來探討「音箱」的特性，會探討「結構振動模態」和「空氣音場模態」的關係。
參閱圖片左下方的「姆指琴」發聲機制「SPR流程圖」，在結構上當然包含了「琴片」、「琴片座」及「音箱」。這個單元著重在探討「音箱」的特性，會分成兩個層面來看：
1. 「純音箱結構系統」：忽略了「空氣」效應，僅單獨考慮「音箱」結構。
2. 「音箱結構與空氣耦合系統」：也就是「音箱」的內部及外部都充斥著空氣。
首先，對「純音箱結構系統」，進行「模態分析」(modal analysis)，參閱圖片左下方「模態分析」流程圖，可以求得「音箱」的「振動模態」，包括：𝒇𝒓「自然頻率」(natural frequency)及 𝝓𝒓「模態振型」(mode shape)。參閱圖片右上方的流程圖，以綠色框線劃起來的就是「純音箱結構系統」，圖片中央的表格，是「音箱」的「自然頻率」比較表，討論如下：
1. 「純音箱結構系統」的「振動模態」，在3000 Hz以內，有Fs-07 ~ Fs-12，共6個「結構振動模態」，是為「彈性體/撓性體模態」(elastic/flexible body modes)，為主要的關注重點。1~6為結構的「剛體模態」(rigid body modes)，在此忽略不予討論。
2. 每一個「結構振動模態」，會有𝒇𝒓「自然頻率」(natural frequency)及 𝝓𝒓「模態振型」(mode shape)，其中，𝒓
是指第𝒓個「結構振動模態」。
3. 𝝓𝒓「模態振型」的物理意義，是結構的「位移模態振型」(displacement mode shape)。
接著，探討「音箱結構與空氣耦合系統」，參閱圖片右上方的流程圖，以紫色框線劃起來的，就是「音箱結構與空氣耦合系統」的系統方塊圖，進行「模態分析」(modal analysis)，可以得到「音箱結構與空氣耦合模態」，參閱圖片中央的表格，是「音箱」的「自然頻率」比較表，討論如下：
1. 「音箱結構與空氣耦合模態」：在3000 Hz以內，有非常多、高達數十個「模態」，表中僅列舉和「純音箱結構系統」的「振動模態」物理意義相同的「模態」。
2. 每一個「音箱結構與空氣耦合模態」，會有𝒇𝒓^𝒔𝒂「自然頻率」(natural frequency)及 𝝓𝒓^𝒔𝒂「模態振型」(mode shape)。其中，上標 𝒔𝒂，係指structural及air。
3. 𝝓𝒓^𝒔𝒂「模態振型」(mode shape)，可以分別由「結構」及「空氣」，區別出「結構」的「位移模態振型」𝝓𝒓^𝒔 (displacement mode shape)，以及「空氣」的「聲音壓力模態振型」𝝓_𝒓^𝒂 (sound pressure mode shape)。
接下來，就來觀察解析出來的「結構」的「位移模態振型」𝝓𝒓^𝒔，以及「空氣」的「聲音壓力模態振型」𝝓_𝒓^𝒂，參閱圖片右方圖示，第一欄為
𝝓𝒓^𝒔，第二欄為 𝝓_𝒓^𝒂，討論如下：
1. 𝝓𝒓^𝒔「結構位移模態振型」：如綠色框線劃起來的，就是「純音箱結構系統」的「音箱」結構「位移模態振型」，Fs-07是(1,0) mode，Fs-08及Fs-09是(1,1) mode，Fs-10是(1,2) mode。
2. 𝝓_𝒓^𝒂「空氣聲音壓力模態振型」：觀察綠色框線劃起來的右側動畫，可以看出「空氣」的「聲音壓力模態振型」，Fs-07是(1,0) mode及Fs-10是(1,2) mode，這兩個「空氣聲音壓力模態振型」都是音箱的外部模態(exterior mode)。而Fs-08及Fs-09是(1,1) mode，分別是音箱的「內部腔體模態」(cavity mode)。
3. 沒有綠色框線劃起來的，都不是「純音箱結構系統」的「振動模態」，而是「音箱結構與空氣耦合系統」分析才有的「模態」。此「模態振型」可以分別由「結構位移模態振型」及「空氣聲音壓力模態振型」觀察其現象。
4. 最特殊的就是Fsa-07，其物理意義是音箱的第1個「內部腔體模態」(cavity mode)，也就是「亥姆霍茲共振器」(Helmholtz resonator)效應，其自然頻率是328.3 Hz。這個模態的「自然頻率」，會直接影響到姆指琴的「發聲頻率」，這個現象在爾後的姆指琴系列專欄再討論。
5. 其他不是「純音箱結構系統」的「振動模態」，則是屬於「音箱結構與空氣耦合系統」分析才有的「模態」，其「空氣聲音壓力模態振型」可以概分為：(1)音箱的內部腔體模態，(2)音箱的外部空氣模態。可以由動畫分別看出其特徵。同時，對應的音箱結構體也會有對應的「結構位移模態振型」，但是，要認知，並不是「純音箱結構系統」的「振動模態」。
綜合一下這個單元的討論，著重在「姆指琴」的「音箱」結構，重點如下：
1. 「姆指琴」的「音箱」結構，有「模態」嗎？答案：有的。
2. 「模態」解析，第一個角度是「純音箱結構系統」的「振動模態」，每一個「結構振動模態」，會有𝒇𝒓「自然頻率」(natural frequency)及 𝝓𝒓「模態振型」(mode shape)。𝝓𝒓「模態振型」的物理意義，是結構的「位移模態振型」(displacement mode shape)。
3. 「模態」解析，第二個角度是「音箱結構與空氣耦合系統」的「模態」，同樣有𝒇𝒓^𝒔𝒂「自然頻率」(natural frequency)及 𝝓𝒓^𝒔𝒂「模態振型」(mode shape)。其中，上標 𝒔𝒂，係指structural及air。音箱結構及空氣都會有各自的「模態振型」。
4. 在「音箱結構與空氣耦合系統」的「模態」，其 𝝓𝒓^𝒔𝒂「模態振型」(mode shape)，可以區別出：「結構振動模態」的 𝝓𝒓^𝒔「結構位移模態振型」及「空氣音場模態」的 𝝓𝒓^𝒂「空氣聲音壓力模態振型」。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2021.02.02
