在前一個單元：【加速度頻譜，有幾種？】，以加速度a(t)的信號為例，探討了「單一頻率正弦波」的「加速度」，經過「FFT」及「信號處理」，可以得到三種「頻譜」以及「位準」的「頻譜分析」流程，以及對應的頻譜圖示。
同時，由「處理程序方塊圖」的角度，介紹了4個處理程序的方塊圖，包括：FFT、PSD、1/3 octave、及dB。這4個處理程序的數學運算如何進行？原理為何呢？如果，想要編寫信號處理分析程式，需要了解甚麼呢？
在前一個單元：【對一個信號進行頻譜分析，可以得到甚麼？】，不管量測到的是外力f(t)、加速度a(t)、速度v(t)、位移x(t)、聲音壓力p(t)的「時間域波形」信號，都可以透過「頻譜分析」及「信號處理」，取得三種「頻譜」以及一個「位準」的數值，包括：
1.
Fourier spectrum傅立葉頻譜。
2.
Auto power spectrum自身功率頻譜。
3.
One-third octave band spectrum三分之一八音頻帶頻譜。
4.
Level位準。
這個單元以加速度a(t)的信號為例，針對進行「頻譜分析」及「信號處理」，取得三種「頻譜」以及一個「位準」數值的「工作原理」做討論。首先回顧一下各種加速度(acceleration) 「物理量」的相關名詞：
a(t)：加速度時間域波形，acceleration time waveform
A(f)：加速度傅立葉頻譜，acceleration Fourier spectrum
Gaa(f)：加速度自身功率頻譜，acceleration auto power spectrum
Gaa,1/3(fc)：加速度三分之一八音頻帶頻譜，acceleration 1/3 octave band spectrum
La：加速度位準，acceleration
level
知道了這些「物理量」名詞，參閱圖示的信號處理流程圖，可以知道有4個對應的「信號處理程序方塊圖」，分別說明如下：
1.
FFT operation，快速傅立葉轉換(fast Fourier transform, FFT)：FFT是一種數位信號的數學運算程序，其數學理論基礎是「傅立葉轉換」(Fourier transform, FT)，簡單的說：FT是將一個時間域的信號，轉換到頻率域，以得到「傅立葉頻譜」(Fourier
spectrum)。數學上，「傅立葉轉換」的定義是積分，而且，積分的下限到上限，是負無窮大到正無窮大，然而實務上，只能取有限時間區間的信號，而且也經過「類比與數位信號的轉換」【甚麼是類比數位轉換器(A/D Converter)？】，因此實際上是以「離散傅立葉轉換」DFT (discrete Fourier transform)進行FT。又，由於DFT的運算數量龐大，因此，發展出「快速傅立葉轉換」FFT的運算方法，可以加快對信號進行「頻譜分析」的速度。有關FT、DFT、FFT的關係及理論基礎，再另闢單元討論。在此，由【甚麼是頻譜分析？】：頻譜分析(spectral analysis)，主要是應用「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform, FFT)的數學運算，將時間域的信號，a(t)，轉換到頻率域，得到此信號的「傅立葉頻譜」(Fourier spectrum)，A(f)，以對信號作進一步的解析觀察與應用。
2.
PSD operation，功率頻譜密度(power spectral density, PSD)函數之運算：由「傅立葉頻譜」A(f)，取其共軛複數(complex conjugate) A*(f)，可以推算得到「自身功率頻譜」Gaa(f)=A*(f)A(f)/Δf，其中，Δf為頻率解析度，所以，Gaa(f)的單位為g^2/Hz。讀者可參閱：【傅立葉頻譜與自身功率頻譜有甚麼不同？】。在PSD函數運算中，是可以取平均的運算，特別是對於隨機信號，可以由長時間的量測信號，對每一個time frame，取得各別的「傅立葉頻譜」，在PSD運算時，再對每一個time frame的「傅立葉頻譜」在PSD的運算處理後，取平均，平均化的處理可以消除雜訊(random noise)的影響，因此，可以取得隨機信號較好之頻率特徵。補充資訊：一個time frame為「時間區間」，或稱為「總取樣時間」，可參閱：【甚麼是取樣頻率(sampling frequency)？】。
3.
1/3 octave operation，三分之一八音頻帶頻譜之處理：「三分之一八音頻帶頻譜」符號表示為Gaa,1/3(fc)，係由自身功率頻譜Gaa(f)運算處理而取得。要進行1/3 octave的信號處理，必須先有Gaa(f)「自身功率頻譜」，並將Gaa(f)水平座標以對數座標呈現，參閱圖示，針對每一個「中心頻率」的「下限頻率」及「上限頻率」範圍，加總該頻帶的加速度總量，相當於如圖示的積分運算，再開根號，可以取得該「中心頻率」頻帶的Arms(fc) 「加速度平方平均根值」(root mean square value)，單位為g。接著，再將Arms(fc)轉換為「加速度位準」La(fc) = 20*Log10 ( Arms(fc) / Aref)，其中，Aref=1 μm/s^2，是根據ISO 1683標準的「加速度參考值」，所以，La(fc) 的單位為dB re 1 μm/s^2，La(fc)的物理意義是在此fc「中心頻率」頻帶的加速度總量大小，也可以以Gaa,1/3(fc)表示之。在此須注意：Arms(fc)、La(fc)、及Gaa,1/3(fc)，三者的物理意義是相同的，需要區別的是符號與單位的差異。「三分之一八音頻帶頻譜」的變數符號寫成Gaa,1/3(fc)，其中，fc就是「中心頻率」，代表a(t)信號在此「中心頻率」頻帶的總量大小。當表示為La(fc)，已經轉換為dB「位準」的單位。而，Arms(fc)也是此「中心頻率」頻帶的總量大小，單位是加速度的平方平均根值。有關1/3 octave band的「中心頻率」、「下限頻率」及「上限頻率」定義，可參考先前單元【甚麼是三分之一八音頻帶(one third octave
band)？】。
4.
dB calculation，位準(Level)計算：由Gaa,1/3(fc)，得到每一個中心頻率頻帶的加速度位準dB，也可表示為La(fc)，由圖示的Σ方程式，累加所有中心頻率的加速度位準，即可得到此加速度信號的總量「加速度位準」La，單位是dB re 1 μm/s^2。在此須注意：此總量的加速度位準(overall acceleration level)dB，也可轉換為對應的Arms，是該加速度信號的「平方平均根值」。諸多的振動管制標準，多以「加速度總量」作為評估依據，也就是La或Arms，在引用振動管制標準的比較時，需要注意物理量、單位及大小的定義，以及所規範的頻率範圍。除了以「加速度」總量作為評估依據外，也可採用「速度」或「位移」，本單元介紹的「FFT頻譜分析」及「信號處理」流程之原理是相同的。其他的物理量dB「位準」計算方式，可參考【甚麼是dB？】單元。
本單元以加速度a(t)的信號為例，由信號「處理程序方塊圖」的角度，介紹了4個信號處理程序的方塊圖，包括：FFT、PSD、1/3 octave、及dB的工作原理及數學運算方式。希望由本單元的探討，讀者能夠進一步了解取得「加速度頻譜」的三種「頻譜」：A(f)、Gaa(f)、Gaa,1/3(fc)，以及「位準」La的基礎原理。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2019.04.23
