在先前單元：#289，【如何進行結構的「靜力分析」？】，探討如何進行「靜力分析」，主要步驟，包括：
1. 定義問題：
2. 建構數學模型：
3. 發展有限元素模型：
4. 進行FEA軟體應用分析：
5. 解讀分析結果討論評估：
其中，第二個步驟，就是要建構「數學模型」(Mathematical Model)，本單元將應用【F → GMBI → R】心法，來思考如何定義「數學模型」。
快速回顧一下，如何進行「靜力分析」，主要步驟，包括：
1. 「問題定義」(Problem Definition)：就是對「實際結構」(Real Structure)有明確的定義問題，在前一個單元：#296，【針對「靜力分析」，如何「定義問題」？心法：FGMBIR】，就是採用【F → GMBI → R】心法，對結構的「靜力分析」做問題定義，也就是以【Input → System → Output】=【ISO】，做系統化的「定義問題」。
2. 「假設」(Assumptions)：透過適當的分析假設，建構「數學模型」(Mathematical Model)，也是這個單元討論重點，也將應用【F → GMBI → R】心法。
3. 「分析假設」(Analysis Assumptions)：當採用有限元素分析(Finite Element Analysis, FEA)軟體，進行分析時，就需要建構對應的「有限元素模型」(Finite Element Model, FE Model)。
4. 「分析」(Analysis)：應用FEA軟體進行結構分析，就可以求得結構的變形(deformation)和結構應力(stress)。
接續前一個單元：#296，【針對「靜力分析」，如何「定義問題」？心法：FGMBIR】，所探討的結構案例：樑置於兩端基座上受均佈壓力之靜力分析，參閱圖示的右上方是示意圖，已經應用【F → GMBI → R】心法，完成了「實際結構」的「問題定義」(Problem Definition)。
本單元將探討如何從「實際結構」(Real Structure)定義「數學模型」(Mathematical Model)？
要建構取得「數學模型」，需要適當的分析假設，也可以應用【F → GMBI → R】心法，逐項討論如下：
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F=Force外力負荷：在樑的頂面，受到均佈下壓力的作用，並且假設Force外力：此均佈下壓力是常數，其單位是Pa，因為，進行的是「靜力分析」。
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G=Geometry幾何：「實際結構」都是3D三維空間的立體結構，不過，在進行FEA有限元素分析時，對此案例，可以採用兩種元素進行分析：(1)「立體元素」(solid element)以及(2)「平面元素」(plane element)。若採用(1)「立體元素」，當然分析模型就是3D的立體結構。當採用(2)「平面元素」，係假設沿著樑和基座結構的寬度𝒃方向，是均勻的(uniform)，所以，忽略寬度方向的變化，而只取寬度𝒃方向的一個平面剖面進行分析，所以，Geometry幾何假設，就是2D平面結構之幾何模型(Geometry Model)。
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M=Material材料：每一個零組件都有其Material材料參數(Material parameters)，如圖示樑結構和基座結構的材料，都定義了楊氏係數(Young’s modulus)：200 (GPa)，普松比(Poisson ratio)：0.3，是典型的鋼材。在此，是採用了「等向性材料模型」(Isotropic Material Model)，事實上，還有許多種材料模型，例如「正向性材料模型」(Orthotropic Material Model)、「異向性材料模型」(Anisotropic Material Model)等，我們再另闢單元討論。
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B=Boundary邊界條件：在基座的底部，假設是固定邊界(fixed boundary)，也就是理想狀態的固定邊界，也許實際上是埋在地下的基座，可能是泥土地、混擬土地、鋼板，不管是甚麼地基，在此就是假設Boundary邊界條件為理想狀態的固定邊界(ideally fixed boundary)。
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I=Interface接觸介面：在定義零組件之間的接觸狀態，在此，樑結構是置放在基座的上方，所以，可以合理的假設，此Interface接觸介面是「摩擦滑動接觸」(frictional sliding contact)。
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R=Response結構響應：最後，要進行結構的「靜力分析」，就是要分析瞭解結構的變形(deformation)和應力(stress)狀態，就是Response結構響應。
分別參閱圖示左下方的結構變形圖和結構應力𝝈𝒙的分布圖，比較說明如下：
1. 結構的變形(deformation)：若採用「立體元素」，可以得到三個方向的結構變形參數(𝒖, 𝒗, 𝒘)。當採用「平面元素」，只可以得到兩個方向的結構變形參數(𝒖, 𝒗)。
2. 結構的應力(stress)：若採用「立體元素」，可以得到3個方向的正向應力Normal
stress
(𝝈𝒙,𝝈𝒚,𝝈𝒛)和3個方向的剪應力Shear
stress
(𝝉𝒙𝒚,𝝉𝒚𝒛, 𝝉𝒙𝒛)，因此，可以取得3個主應力Principal stress (𝝈𝟏,𝝈𝟐,𝝈𝟑)以及等效應力Equivalent/Effective stress，也稱為von Mises
stress麥西斯應力(𝝈𝒆𝒒𝒗)。當採用「平面元素」，由於只有兩個方向的結構變形參數(𝒖, 𝒗)，所以只有平面2D的應力(𝝈𝒙,𝝈𝒚,𝝉𝒙𝒚)以及(𝝈𝟏,𝝈𝟐,
𝝈𝒆𝒒𝒗)。
當要從「實際結構」(Real Structure)定義「數學模型」(Mathematical Model)，同時，還需要考慮所擬採用的元素型式，也就是需要同步思考「有限元素模型」(Finite Element Model, FE Model)的定義。
本單元就分別介紹了兩種元素：(1)「立體元素」(solid element)以及(2)「平面元素」(plane element)，分別思考建構其對應的「數學模型」，以【F → GMBI → R】心法，比較說明如下：
1.
F：採用「立體元素」時，Force外力是面的均佈下壓力，而「平面元素」是線的均佈下壓力。不過，兩者Force外力的物理意義相同，其單位都是Pa。
2.
G：採用「立體元素」時，是3D三維空間的立體結構，而「平面元素」，是只取寬度𝒃方向的一個平面剖面進行分析，所以，Geometry幾何假設，就是2D的平面結構之幾何模型(Geometry Model)。必須注意，只有【F → GMBI】在寬度𝒃方向是均勻的(uniform)，才可以採用「平面元素」進行分析。
3.
M：不管是採用「立體元素」或是「平面元素」，都採用了「等向性材料模型」(Isotropic Material Model)，Material材料物理意義是相同的。所以，樑結構和基座結構的材料，都定義了楊氏係數(Young’s modulus)：200 (GPa)，普松比(Poisson ratio)：0.3，是典型的鋼材。
4.
B：採用「立體元素」時，Boundary邊界條件是在基座底部的面，是固定邊界。而「平面元素」是在基座底部的線，是固定邊界。不過，兩者的物理意義相同，都是理想狀態的固定邊界(ideally fixed boundary)。
5.
I：採用「立體元素」時，在樑與基座的Interface接觸介面是面對面的接觸(face-to-face contact)。而「平面元素」，在樑與基座的Interface接觸介面是線對線的接觸(line-to-line contact)。
6.
R：「立體元素」時，Response結構響應之結構變形(deformation)和應力(stress)狀態，可以得到3D的響應，而「平面元素」，只可以得到2D的響應。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2022.11.28
