《振動噪音科普專欄》車輛動力學(Vehicle Dynamic)：如何定義車體的自由度(DOF)？

這個單元要來探討的主題是：「車輛動力學」(Vehicle Dynamic)：如何定義車體的「自由度」(degree-of-freedom, DOF)？

 

在前一個單元：#313，【甚麼是自由度(degree-of-freedom, DOF)？】，有看過「自由度」(DOF)的定義，在這個單元，將介紹「車輛動力學」慣用的車體「自由度」(DOF)之變數符號與定義方式。

 

首先，回顧一下：甚麼是「自由度」(degree-of-freedom, DOF)？通則來說，「自由度」(DOF)有6個：

 

1.      3個方向位移/平移「自由度」(displacement DOF)：𝒙,𝒚,𝒛。

2.      3個方向旋轉「自由度」(rotational DOF)：𝜽𝒙,𝜽𝒚,𝜽𝒛。

 

參閱圖示左下方，呈現質塊/質點之「自由度」(DOF)：

 

1.          𝒙：是𝒙方向的位移/平移「自由度」。

2.          𝒚：是𝒚方向的位移/平移「自由度」。

3.          𝒛：是𝒛方向的位移/平移「自由度」。

4.          𝜽𝒙：是𝒙方向的旋轉「自由度」。

5.          𝜽𝒚：是𝒚方向的旋轉「自由度」。

6.          𝜽𝒛：是𝒛方向的旋轉「自由度」。

 

要注意的是，「自由度」的方向與順序之定義方式，是採用「右手定則」，說明如下：

 

1.      位移/平移「自由度」 𝒙,𝒚,𝒛 的順序與方向定義：以右手的四隻手指順著𝒙,𝒚方向旋轉，拇指的方向就是𝒛。若是，右手的四隻手指順著𝒚,𝒛方向旋轉，拇指的方向就是𝒙。

2.      旋轉「自由度」𝜽𝒙,𝜽𝒚,𝜽𝒛的順序與方向定義：以右手拇指朝向𝒙方向，四隻手指的方向，代表的就是𝜽𝒙旋轉方向。若是，以右手拇指朝向𝒚方向，四隻手指的方向，代表的就是𝜽𝒚旋轉方向。

 

接下來，就來看車輛動態分析慣用「自由度」之符號與定義。

 

參閱圖示右上方，有一部汽車，可看出如箭頭指出的行進方向，會以行進方向為基準，定義車體所有的6個「自由度」，一樣是3個方向位移/平移「自由度」(displacement DOF)，以及3個方向旋轉「自由度」(rotational DOF)，說明如下：

 

1.      𝒙：是車體的行進/縱向位移(longitudinal displacement)「自由度」。車輛的速度、加速或減速，就是和 𝒙 的縱向位移「自由度」相關。

2.      𝒚：是車體的側向位移(lateral displacement)「自由度」。車輛的換道、轉向，就是和 𝒚 的側向位移「自由度」直接相關。

3.      𝒛：是車體的垂直位移(vertical displacement)「自由度」。如果車輛行經跳動路面，車體的垂直方向振動就是和 𝒛 的垂直位移「自由度」直接相關。

4.      𝜽𝒙=𝝓：是車體的翻滾角度(roll angle)，是𝒙方向的旋轉「自由度」。車輛如果翻車，就和𝝓的翻滾角度(roll angle)相關。

5.      𝜽𝒚=𝜽：是車體的前傾角度(pitch angle)，是𝒚方向的旋轉「自由度」。代表車輛前後的搖擺狀態，車身的前傾、後仰姿態，就和 𝜽的前傾角度(pitch angle)相關。

6.      𝜽𝒛=𝝍：是車體的旋轉角度(yaw angle)，是𝒛方向的旋轉「自由度」。有如一些車輛特技表演的甩尾動作，就和 𝝍的旋轉角度(yaw angle)相關。

 

所以，參閱圖示右上方示意圖，是「車輛動力學」對汽車慣用的DOF定義與變數符號，就是：𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝝓, 𝜽, 𝝍，分別是：

 

𝒙 的 縱向位移(longitudinal displacement)

𝒚 的 側向位移(lateral displacement)

𝒛 的 垂直位移(vertical displacement)

𝝓 的 翻滾角度(roll angle)

𝜽 的 前傾角度(pitch angle)

𝝍 的 旋轉角度(yaw angle)

 

同樣地，對於一部摩托車/機車，如何定義其DOF呢？參閱圖示左下方的【摩托車DOF的定義】，也是相同的 𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝝓, 𝜽, 𝝍。當然，依此原則，也可類比得到【自行車DOF的定義】，也會是𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝝓, 𝜽, 𝝍。實務上，天上的飛機、飛行物體，海上的船艦等，都可以依照這個原則定義Vehicle載具的DOF。

 

最後，綜合一下這個單元的討論，

 

1.      「自由度」(degree-of-freedom, DOF)：有6個，𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝜽𝒙, 𝜽𝒚, 𝜽𝒛。3個方向位移/平移，以及3個方向旋轉「自由度」。

2.      「車輛動力學」對汽車慣用的DOF定義與變數符號，就是：𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝝓, 𝜽, 𝝍。

3.      對於摩托車、自行車、飛機、船艦等，其DOF定義與變數符號，也都是：𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝝓, 𝜽, 𝝍。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2023.04.08

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《振動噪音科普專欄》甚麼是自由度(degree-of-freedom, DOF)？

這個單元要來探討的主題是：甚麼是「自由度」(degree-of-freedom, DOF)？

 

通則來說，「自由度」(DOF)有6個：

 

1.      3個方向位移/平移「自由度」(displacement DOF)：𝒙,𝒚,𝒛。

2.      3個方向旋轉「自由度」(rotational DOF)：𝜽𝒙,𝜽𝒚,𝜽𝒛。

 

參閱圖示左下方，呈現質塊/質點之「自由度」(DOF)：

 

1.          𝒙：是𝒙方向的位移/平移「自由度」。

2.          𝒚：是𝒚方向的位移/平移「自由度」。

3.          𝒛：是𝒛方向的位移/平移「自由度」。

4.          𝜽𝒙：是𝒙方向的旋轉「自由度」。

5.          𝜽𝒚：是𝒚方向的旋轉「自由度」。

6.          𝜽𝒛：是𝒛方向的旋轉「自由度」。

 

要注意的是，方向的定義，是採用「右手定則」，說明如下：

 

1.      位移/平移「自由度」 𝒙,𝒚,𝒛 的順序與方向定義：以右手的四隻手指順著𝒙,𝒚方向旋轉，拇指的方向就是𝒛。若是，右手的四隻手指順著𝒚,𝒛方向旋轉，拇指的方向就是𝒙。

2.      旋轉「自由度」𝜽𝒙,𝜽𝒚,𝜽𝒛的順序與方向定義：以右手拇指朝向𝒙方向，四隻手指的方向，代表的就是𝜽𝒙旋轉方向。若是，以右手拇指朝向𝒚方向，四隻手指的方向，代表的就是𝜽𝒚旋轉方向。

 

在前一個單元：#312，【如何進行一個結構系統的振動分析？】，有看過【搖頭娃娃】的振動解析流程。參閱圖示中間圖示，「實際結構」是一個【搖頭娃娃】示意圖，主要結構就是一個質塊與彈簧，【搖頭娃娃】受到敲擊、或拉扯後，娃娃頭的質塊會有跳動情形。所以，質塊會有3個方向位移/平移「自由度」：𝒙,𝒚,𝒛，以及3個方向旋轉「自由度」：𝜽𝒙,𝜽𝒚,𝜽𝒛。

 

如果要對這個【搖頭娃娃】進行振動分析，需要對「實際結構」進行「數學建模」(mathematical modeling)，以取得【搖頭娃娃】的「數學模型」(mathematical model)，在此舉兩個「數學模型」，分別說明如下：

 

1.      「SDOF黏滯阻尼系統」：觀察圖示右上方，以一個質量塊𝒎，代表【搖頭娃娃】的質塊，分別以一個彈簧常數𝒌和黏滯阻尼係數𝒄，代表【搖頭娃娃】的垂直方向彈簧效應。因此，就可以定義此系統的「自由度」是 𝒚(𝒕)，代表垂直方向的位移。也可定義作用在質量塊𝒎上的垂直方向外力是 𝒇(𝒕)。所以，這個系統就是一個「單自由度」(single degree-of-freedom, SDOF)系統。

2.      「2DOF黏滯阻尼系統」：觀察圖示右下方，以一個質量塊𝒎，代表【搖頭娃娃】的質塊。分別以一個彈簧常數𝒌𝒙和黏滯阻尼係數𝒄𝒙，代表【搖頭娃娃】的水平方向的彈簧效應。因此，就可以定義此質量塊𝒎的「自由度」是 𝒙(𝒕)，代表水平方向的位移。也可定義作用在質量塊𝒎上的水平方向外力是 𝒇𝒙(𝒕)。如果，也要考慮【搖頭娃娃】在垂直方向的運動狀態，就要定義垂直方向的彈簧常數𝒌𝒚和黏滯阻尼係數𝒄𝒚，代表【搖頭娃娃】的垂直方向的彈簧效應。因此，就可以定義此質量塊𝒎的「自由度」是 𝒚(𝒕)，代表垂直方向的位移。也可定義作用在質量塊𝒎上的垂直方向外力是 𝒇𝒚(𝒕)。所以，這個系統就是具有「雙自由度」(two degree-of-freedom, 2DOF)系統。

 

綜合一下這個單元，主要在探討：甚麼是「自由度」？重點如下：

 

1.      質塊/質點之「自由度」(degree-of-freedom, DOF)：通則會有6個DOF，3個方向位移/平移「自由度」(displacement DOF)：𝒙,𝒚,𝒛，以及3個方向旋轉「自由度」(rotational DOF)：𝜽𝒙,𝜽𝒚,𝜽𝒛。

2.      以「實際結構」的【搖頭娃娃】為例，說明對這個【搖頭娃娃】進行振動分析時，所需要建構「數學模型」(mathematical model)的方式。

 

建構【搖頭娃娃】的「數學模型」(mathematical model)，及其「數學建模」(mathematical modeling)的思考過程，有對應說明兩個「數學模型」，彙整如下：

 

1.      「SDOF黏滯阻尼系統」：一個「單自由度」(single degree-of-freedom, SDOF)系統，系統的參數是質量塊𝒎，彈簧常數𝒌和黏滯阻尼係數𝒄。「自由度」是 𝒚(𝒕)，代表垂直方向的位移。作用在質量塊𝒎上的垂直方向外力是 𝒇(𝒕)。

2.      「2DOF黏滯阻尼系統」：具有「雙自由度」(two degree-of-freedom, 2DOF)系統。系統的參數是質量塊𝒎，彈簧常數𝒌𝒙和𝒌𝒚，黏滯阻尼係數𝒄𝒙和𝒄𝒚，分別代表水平和垂直向的𝒌和𝒄。「自由度」是𝒙(𝒕)和 𝒚(𝒕)，分別代表水平和垂直方向的位移。作用在質量塊𝒎上的水平和垂直方向外力是 𝒇𝒙(𝒕)和𝒇𝒚(𝒕)。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2023.04.08

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