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《振動噪音科普專欄》SDOF簡諧激振系列(5):不同黏滯阻尼係數,對振動響應有甚麼影響?

 

這個單元是SDOF簡諧激振系列的5,要來探討的主題是:不同黏滯阻尼係數,對振動響應有甚麼影響?

 

首先,回顧一下這個「外力激振」「單自由度系統」,參考圖示左上方,是此系統數學模型(mathematical model)示意圖。其中,

 

1.          系統參數(system parameters),就是:mck,分別是質塊的「質量(mass)、彈簧的「黏滯阻尼係數(viscous damping coefficient)、彈簧的「彈簧常數(spring constant)

2.          輸入」是f(t),為系統的外力,以及質塊本身的兩個「初始條件(initial condition, IC),包括:「初始位移(initial displacement) X0及「初始速度(initial velocity) V0

3.          輸出」是x(t),為系統質塊的位移響應。

 

參考左下方圖示,是ISO系統方塊圖(ISO system block diagram),其中:

 

1.      Input 輸入f(t),為系統的外力,以及兩個「初始條件」的「初始位移X0及「初始速度V0

2.      System 系統mck

3.      Output 輸出x(t)v(t)a(t) 分別為系統質塊的位移、速度及加速度響應。

 

參考左下方的圖示,就是此「單自由度系統」的「運動方程式ma+cv+kx=f(t)。是「二階的常微分方程式」,所以需要兩個「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0。【備註:比較明確的數學方程式,請讀者參考圖示,在文字說明,受限於方程式編寫,分別以xva,代表位移速度加速度。】

 

若是對此「單自由度系統」,進行「理論模態分析(theoretical modal analysis, TMA),可以得到兩個「模態參數(modal parameters)在此單自由度系統的「模態參數」為:

 

1.          自然頻率(natural frequency)ωn = 2 π fn=(k/m)^0.5

2.          阻尼比(damping ratio)ξ=c/Cc。其中,c是「黏滯阻尼係數」,Cc=2*(mk)^0.5=2mωn,是「臨界黏滯阻尼係數(critically viscous damping coefficient)

 

所以,由「系統參數」:mck,就可以求得「自然頻率fn以及「阻尼比ξ

 

以下舉實際的數值案例,進行分析,令「系統參數」:m = 1 (kg)c = 0~3 (N/ m/s)k = 39.47 (N/m),可以求得兩個「模態參數」:自然頻率𝒇𝒏 = 1 (Hz)阻尼比𝝃 = 0~0.2387。如果,𝝃 = 0,就是阻尼狀態,若是0 < 𝝃 < 1,就是阻尼狀態。

 

接著,定義系統的「輸入參數」,假設系統受到了簡諧外力」激振,為正弦函數 𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕),其中,𝝎= 𝟐𝝅𝒇,令簡諧外力振幅𝑭 = 0.2 (N),「簡諧外力」的「激振頻率𝒇 = 1.0 (Hz)。也就是𝒇=1.0𝒇𝒏𝒇 =𝒇𝒏,即激振頻率」等於「自然頻率」,是「共振激振(resonant excitation)的狀態。

 

再定義系統的「輸入參數」,也就是兩個「初始條件(initial condition, IC),「初始位移𝒙𝟎及「初始速度𝒗𝟎。在此,都假設為0,也就是:𝒙𝟎 = 0 (m)𝒗𝟎 = 0 (m/s)

 

這個單元要探討的主題是:不同黏滯阻尼係數c,對振動響應有甚麼影響?數值案例的狀態說明如下:

 

1.      c = 0 (N / m/s)𝝃 = 0 (阻尼)

2.      c = 0.1 (N / m/s)𝝃 = 0.00796 (阻尼)

3.      c = 0.5 (N / m/s)𝝃 = 0.03978 (阻尼)

4.      c = 1 (N / m/s)𝝃 = 0.07958 (阻尼)

5.      c = 2 (N / m/s)𝝃 = 0.15915 (阻尼)

6.      c = 3 (N / m/s)𝝃 = 0.23873 (阻尼)

 

首先,觀察c = 0 (N / m/s),ξ= 0 (阻尼)時,質塊的位移響應𝒙(𝒕),可以發現會隨著時間增長,位移響應會逐次放大,甚至到無窮大,這是因為在「共振激振」狀態,又是「阻尼」,使得系統沒有消耗能量的機制,所以,會無限制的一直增大質塊的位移響應。當然,實務上結構系統,或多或少材料本身都有阻尼效應,還不至於無限制的增大響應,不過,可以知道「共振(resonance)是一種危險的狀態。

 

接著,就來觀察不同「阻尼」狀態的質塊位移響應𝒙(𝒕),討論如下:

 

1.      暫態響應(transient state response)區間:由先前單元可知,「暫態響應」會受到兩個效應的影響,其一,來自 𝒙_𝐈𝐂 (𝒕) 自由振動響應,其二,來自 𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕) 外力激振響應。在此,令兩個「初始條件」都為零,所以,沒有𝒙_𝐈𝐂 (𝒕) 自由振動響應。會有的暫態響應」過程,是來自 𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕) 外力激振響應。隨著阻尼比」越大,也就是「阻尼效應」越大,「暫態響應」區間越小,比較快達到「穩態響應」。反過來說,「阻尼比」越小,也就是「阻尼效應」越小,需要更長的時間發展到「穩態響應」的狀態。

2.      穩態響應(steady state response)區間:由於𝒙_𝐈𝐂 (𝒕) 自由振動響應,因為有阻尼效應,會衰減趨近於零而消失。而,𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕) 外力激振響應,除了初期的變動外,則會趨於穩定的響應,在「穩態響應」區間,也會是「簡諧響應(harmonic response),可以寫出位移響應方程式𝒙(𝒕)=𝑿𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕+𝝓)

3.      觀察「穩態簡諧響應」的「位移振幅𝑿,隨著「阻尼比」越大,也就是「阻尼效應」越大,「位移振幅𝑿也隨著遞減,所以,可以知道,當結構在共振」狀態,如果可以增大系統的「阻尼效應」,是可以有效抑制結構的振動。

4.      觀察「穩態簡諧響應」的「簡諧響應頻率」會等於「簡諧外力」的「激振頻率」。

5.      觀察「穩態簡諧響應」的𝒙(𝒕)𝒇(𝒕)的時間波形,剛好是90°相位差」,因為,在此案例,令「激振頻率」等於「自然頻率」,𝒇 = 1.0 (Hz) 𝒇=1.0𝒇𝒏𝒇 =𝒇𝒏

 

統整一下本單元的討論,在此探討單自由度系統」,在受到相同的「簡諧外力」以及相同的「初始條件」作用下,如果系統參數有不同的黏滯阻尼係數,對系統的振動響應,會有甚麼樣影響?

 

1.      本單元探討了c = 0~3 (N/ m/s)的不同黏滯阻尼係數」狀態。

2.      由「阻尼比𝝃 的定義,可推算得到對應不黏滯阻尼係數」的「阻尼比𝝃 = 0~0.2387

3.      由數值案例,可區別出:「阻尼𝝃 = 0和「阻尼0 < 𝝃 < 1,兩種狀態。在阻尼𝝃 = 0時,質塊的位移響應𝒙(𝒕),會無限制的一直增大,可以知道「共振(resonance)是一種危險的狀態。

4.      阻尼」狀態,又分別5個不同阻尼比𝝃 探討差異影響。觀察重點包括:

 

(1)   暫態響應(transient state response)區間:「阻尼效應」越大,「暫態響應」區間越小。「阻尼效應」越小,需要更長的時間發展到「穩態響應」的狀態。

(2)   穩態響應(steady state response)區間:「穩態響應」區間,也會是「簡諧響應(harmonic response),可以寫出位移響應方程式𝒙(𝒕)=𝑿𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕+𝝓)

(3)   穩態簡諧響應」的「位移振幅𝑿:「阻尼效應」越大,「位移振幅𝑿會越小,有抑制振動的效果。

(4)   穩態簡諧響應」的「簡諧響應頻率𝒇:會等於「簡諧外力」的「激振頻率𝒇

(5)   穩態簡諧響應」的𝒙(𝒕)𝒇(𝒕)時間波形之相位𝝓關係:當「激振頻率」等於「自然頻率」, 𝒇 =𝒇𝒏𝒙(𝒕)𝒇(𝒕)的時間波形,剛好是90°相位差」。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2021.04.02