這個單元是SDOF簡諧激振FRF系列的第3篇，要來探討的主題是：不同形式圖示的「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)有甚麼特徵？
首先，快速回顧一下這個「外力激振」「單自由度系統」，參考圖示左上方，是實際結構的示意圖，一個質塊，懸吊在一個彈簧下面，彈簧的另一端是固定邊界，當質塊受到外力作用，質塊會有上下振盪的現象。
為了分析這個質塊-彈簧的「實際結構」(real structure)，建構此系統「數學模型」(mathematical model)，如示意圖。其中，
1.
「系統參數」(system parameters)，就是：m、c、k，分別是質塊的「質量」(mass)、彈簧的「黏滯阻尼係數」(viscous damping coefficient)、彈簧的「彈簧常數」(spring constant)。
2.
「輸入」是f(t)，為系統的外力，以及質塊本身的兩個「初始條件」(initial condition, IC)，包括：「初始位移」(initial displacement) X0及「初始速度」(initial velocity) V0。
3.
「輸出」是x(t)，為系統質塊的位移響應。
由系統的「數學模型」，可以推導出這個「單自由度系統」的「運動方程式」：ma+cv+kx=f(t)。是「二階的常微分方程式」，所以需要兩個「初始條件」：「初始位移」X0及「初始速度」V0。【備註：比較明確的數學方程式，請讀者參考圖示，在文字說明，受限於方程式編寫，分別以x、v、a，代表位移、速度、加速度。】
接著，定義系統的「輸入參數」，假設系統受到了「簡諧外力」激振，為正弦函數
𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕)，其中，𝑭 =「簡諧外力振幅」；𝒇=「簡諧外力」的「激振頻率」。
當這個正弦波的「簡諧外力」，作用在此「SDOF單自由度系統」，由先前單元：#208，【SDOF簡諧激振系列(2)：為甚麼簡諧激振，會有簡諧響應？】，質塊的位移響應𝒙(𝒕)，可以區別出，有「暫態響應」(transient state response)，以及「穩態響應」(steady state response)的區間。
其中，有興趣的是「穩態位移響應」，也是「簡諧響應」，可以寫出位移響應方程式：𝒙(𝒕)=𝑿𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕+𝝓)，其中，
1. 𝑿：是「穩態位移響應」的「位移振幅」。
2. 𝒇：是「穩態位移響應」的「響應頻率」，此頻率值就是「簡諧外力」的「激振頻率」。
3. 𝝓：是「穩態位移響應」的「相位角」(phase
angle)，是「位移」𝒙(𝒕)和「外力」𝒇(𝒕)的「相位角」差。
特別有興趣的是「位移振幅」𝑿(𝒇) 和「相位角」𝝓。為了有效率的全盤了解「穩態位移響應」的特性，所以，定義了「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)，𝑯(𝒇)：
1.
𝑯(𝒇) = 輸出/輸入。
2.
𝑯(𝒇) =
𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇)。
3.
𝑯(𝒇) =「穩態位移振幅」/「外力振幅」。
這樣，可以快速知道𝑿(𝒇)和𝑭(𝒇)的關係。又，因為不同的「激振頻率」𝒇，會有不同的「穩態位移振幅」𝑿，所以，分別以𝑿(𝒇)和𝑭(𝒇)變數符號表示之。
針對「單自由度系統」之 FRF：𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇) = 𝟏/[(𝒌−𝒎𝝎^𝟐 )+𝒊(𝝎𝒄)]，會和「系統參數」：m、c、k相關，也會隨著不同的「激振頻率」𝒇，而會有不同的𝑯(𝒇)。
接下來，舉一個實際數值案例做探討，令「系統參數」：m = 1 (kg)、c =
1 (N/ m/s)、k = 39.47 (N/m)，繪製FRF的數值案例。可以求得兩個「模態參數」：「自然頻率」𝒇𝒏 = 1 (Hz)，「阻尼比」𝝃 = 0.0796。因為，0 < 𝝃 < 1，所以是「次阻尼」狀態。
由於𝑯(𝒇) 是複數(complex number)，可以繪製4種圖示，各個圖示的水平軸是頻率，代表的是「簡諧外力」𝒇(𝒕)的「激振頻率」𝒇。垂直軸，分別是
𝑯(𝒇)的「振幅」(amplitude)、「相位角」(phase angle)、「實數部」(real)、「虛數部」(imaginary)。
有關「單自由度系統」的FRF：𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇)，4種圖示的重要特徵，討論如下：
1. 當
𝒇 =𝒇𝒏，也就是「共振激振」(resonant excitation)：在「振幅」圖，就是「峰值」(peak)最高的位置，代表位移的響應最大，就是「共振」(resonance)，有大的振動響應。在「相位角」圖，剛好會是–90°，也就是「位移」𝒙(𝒕)和「外力」𝒇(𝒕)的「相位角」差–90°。在「實數部」圖，剛好是通過「0點」，而在「虛數部」會在其最高的「峰值」。
2. 當𝒇≠𝒇𝒏，也就是「非共振激振」(non-resonant excitation)：當 𝒇 <𝒇𝒏，在「相位角」圖，會是接近於0°，也就是「位移」𝒙(𝒕)和「外力」𝒇(𝒕)是接近「同相」(in-phase)。如果， 𝒇>𝒇𝒏，在「相位角」圖，會是接近於–180°，也就是「位移」𝒙(𝒕)和「外力」𝒇(𝒕)是接近「反相」(out-of-phase)。
3. 當𝒇 ≈𝒇𝒏，也就是接近於「共振激振」(resonant excitation)：如果，「激振頻率」很接近於「自然頻率」，可以觀察FRF的「振幅」圖，也都有高的位移響應。在「相位角」圖，可以觀察「激振頻率」逐漸增大，在穿越「自然頻率」時，會有180°「相位角」的變化。若是接近「共振激振」，「相位角」會是接近90°。
4. 如何避免「共振」呢？當然，就是讓「激振頻率」遠離結構的「自然頻率」，建議：以「20%」原則，也就是 𝒇 < 0.8 𝒇𝒏，或是 𝒇 > 1.2 𝒇𝒏，由「振幅」圖的觀察，可以知道在遠離結構「自然頻率」的簡諧激振，其位移響應是相對的小很多。
最後，介紹另一種表示FRF：𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇)的圖示，稱為「奈氏圖」(Nyquist plot)，或稱為「極坐標圖」(polar plot)，將 𝑯(𝒇)的「實數部」設為水平軸，𝑯(𝒇)的「虛數部」設為垂直軸，可以將每一個頻率點的數值，描繪出來，得到如右邊圖示，形成一個「圓圈」。
當
𝒇 =𝒇𝒏，剛好是在「虛數部」的最大值位置，在Nyquist plot或polar plot，看不到頻率資訊，不過，對照「實數部」及「虛數部」，可以知道隨著「激振頻率」的增加，是沿著這個「圓圈」順時針變化。
這個單元的重點是在探討：不同形式圖示的「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)有甚麼特徵？總共介紹了5種圖示，由FRF可以看到甚麼資訊，綜合如下：
1. 「振幅」(amplitude)圖：FRF曲線的「峰值」(peak)所對應的頻率，會是結構系統的「自然頻率」(natural
frequency)，在相等或相近於「自然頻率」的「簡諧激振」，會有高的振動量，就是「共振激振」(resonant
excitation)。要如何避免「共振」呢？建議：以「20%」原則，也就是「激振頻率」遠離「自然頻率」「20%」以上，也就是 𝒇 < 0.8 𝒇𝒏，或是 𝒇 > 1.2 𝒇𝒏。
2. 「相位角」(phase angle)圖：「激振頻率」逐漸增大，在穿越「自然頻率」時，會有180°「相位角」的變化，所以，在觀察頻譜圖，可以利用此特徵，檢視是否有「自然頻率」的存在。同時也知道，「激振頻率」遠小於「自然頻率」時，「位移」𝒙(𝒕)和「外力」𝒇(𝒕)是接近「同相」(in-phase)。如果，「激振頻率」遠大於「自然頻率」時，「位移」𝒙(𝒕)和「外力」𝒇(𝒕)是接近「反相」(out-of-phase)。
3. 「實數部」(real)圖：通過「0點」的頻率，會是結構的「自然頻率」。
4. 「虛數部」(imaginary)圖：在其最高的「峰值」，會是結構的「自然頻率」。
5. 「奈氏圖」(Nyquist plot)，或稱為「極坐標圖」(polar plot)：因為是「單自由度系統」，只有一個模態，會形成一個「圓圈」，在「虛數部」最大值的頻率點，就是結構的「自然頻率」。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
