這個單元的主題，「不同自然頻率的單自由度系統之頻譜，有甚麼特徵？」，其中，「單自由度系統」是指「外力激振」(force excitation) 的「單自由度系統」(single
degree-of-freedom, SDOF, system)。
每個系統都會有「自然頻率」，本單元將探討不同「自然頻率」時，此系統響應的「頻譜」會有甚麼特徵？
首先，回顧一下這個「單自由度系統」，參考圖示左上方，是此系統「數學模型」(mathematical model)示意圖。其中，
1.
「系統參數」(system parameters)，就是：m、c、k，分別是質塊的「質量」、彈簧的「黏滯阻尼係數」、彈簧的「彈簧常數」。
2.
「輸入」是f(t)，為系統的外力，以及質塊本身的「初始位移」X0及「初始速度」V0。
3.
「輸出」是x(t)，為系統質塊的位移響應。
若是對此「單自由度系統」，進行「理論模態分析」，可以得到兩個「模態參數」，在此「單自由度系統」的「模態參數」為：
1.
「自然頻率」，ωn=2πfn=(k/m)^0.5，
2.
「阻尼比」，ξ=c/Cc。其中，c是「黏滯阻尼係數」，Cc=2*(mk)^0.5=2mωn，是「臨界黏滯阻尼係數」。
所以，由「系統參數」：m、c、k，就可以求得「自然頻率」fn以及「阻尼比」ξ。
在f(t)=0，也就是沒有外力作用下，稱為「自由振動」，在「次阻尼」狀態：0<ξ<1，其系統位移響應，可寫成：x(t)=Xe^(-σt) cos(2πfn t-φ)，各個參數的表示式，可參閱圖示。圖示中間上方，是對應此方程式的「單自由度系統」之自由振動位移響應x(t) 示意圖。
本單元要針對x(t) 進行「FFT頻譜分析」，可以得到「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)。以下為所設定的輸入參數：f(t)=0，X0= 1 m及V0=0 m/s。
在此，令系統的「阻尼比」相同，ξ=0.01。在不同「自然頻率」時，fn= 10 Hz，50 Hz，200
Hz，分別觀察x(t)及𝑿(𝒇)的響應特徵，圖示下方，是三種狀態的圖示，而圖示右上方是此三種狀態的重疊圖示，特徵探討如下：
1. 時間域響應x(t)：「自然頻率」小，波動的次數少；同時，「對數衰減」的效應，也比較小，因為「衰減率」𝝈=𝝃𝝎𝒏=𝝃(2𝝅𝒇𝒏)。所以，當「自然頻率」增大，波動的次數增加，「衰減率」也增大，「對數衰減」的效應，也就增大。
2. 「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)：在fn「自然頻率」處，會出現一個「峰值」(peak)。分別是fn= 10 Hz，50 Hz，200 Hz。
另外，由「自然頻率」關係式：fn= 1/2π*(k/m)^0.5，可以發現「自然頻率」𝒇𝒏，和質塊的「質量」m、彈簧的「彈簧常數」k相關，特性如下：
1. 𝒎 固定，
𝒌 增大，𝒇𝒏增大。
2. 𝒌 固定，
𝒎 增大，𝒇𝒏減小。
綜合一下本單元的討論重點：
1. 以「外力激振」的「單自由度系統」為例，其系統的「自然頻率」，和質塊的「質量」m、彈簧的「彈簧常數」k相關。
2. 不同「自然頻率」的單自由度系統之「自由振動響應」，在時間域會有「對數衰減」的效應。「自然頻率」越大，其「對數衰減」的效應越大。因為，「衰減率」𝝈=𝝃𝝎𝒏，和「自然頻率」成正比。
3. 「外力激振」的「單自由度系統」為例，其「自由振動響應」的「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)，會出現一個「峰值」(peak)，此「峰值」對應的頻率，就是「自然頻率」𝒇𝒏。反過來說，在fn「自然頻率」處，會出現一個「峰值」(peak)。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2020.11.12
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