這個單元要來探討的主題是：如何檢查「頻譜分析儀」(FFT spectrum Analyzer)的基本功能(basic functions)正常運作？這是這個系列的第7篇，針對第3項的功能檢查：3. 自身功率頻譜密度檢查(Auto PSD Spectrum Check)。
本單元在探討由「時間波形」(time waveform)與「自身功率頻譜」(Auto PSD Spectrum)，所取得的平方平均根值(root mean square value, 𝒓𝒎𝒔 value)，或簡稱方均根值，也就是𝒓𝒎𝒔值。藉由兩者之間的比較，來驗證自身功率頻譜密度的功能檢查。
首先，回顧前一個單元：#379，【如何檢查頻譜分析儀(FFT
spectrum analyzer) – 3.自身功率頻譜密度檢查(Auto
PSD Spectrum Check) – 原理(Principle)】，參閱圖1，簡要回顧說明如下：
1. 回顧先前單元：#338，【如何進行EMA量測數據之信號處理？】，參閱圖1右上方，EMA量測數據之信號處理流程圖，從「時間波形」(time waveform)，進行FFT分析，取得「傅立葉頻譜」(Fourier spectrum)，再透過PSD分析，可以取得「功率頻譜密度」(Power Spectral Density, PSD)函數，進而由FRF分析，可以得到「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)以及「關聯性函數」(coherence, COH)。本單元重點在：PSD分析的基本原理。
2. 以【4W】的心法：(1) What is? 甚麼是PSD spectrum「功率頻譜」？(2) Why to do?
為什麼要取得PSD spectrum「功率頻譜」？(3) What goal?
取得PSD spectrum「功率頻譜」要達到甚麼目標？(4) 如何取得PSD spectrum「功率頻譜」？做了概述探討。包括：「自身功率頻譜」(Auto PSD)以及「交叉功率頻譜」(Cross PSD)。
3. 針對Auto PSD以及Cross PSD，分別由數位化的「傅立葉頻譜」定義其計算與分析方式。
4. 特別對Auto PSD，說明𝑮𝒖𝒖(𝒇) PSD spectrum「功率頻譜」不同單位的表示方式。最重要的Auto PSD單位，是𝑼𝐫𝐦𝐬^𝟐/𝐇𝐳。
5. 典型的𝑮𝒖𝒖(𝒇) PSD spectrum，例如：外力的Auto PSD，𝑮𝒇𝒇(𝒇)單位= (𝑵 𝐫𝐦𝐬^𝟐)/𝐇𝐳。加速度的Auto PSD， 𝑮𝒂𝒂(𝒇)單位= (g
𝐫𝐦𝐬^𝟐)/𝐇𝐳。
6. 一個信號的𝒓𝒎𝒔值，可以由𝑮𝒖𝒖(𝒇) PSD spectrum「功率頻譜」曲線，透過積分式，取得𝑼𝐫𝐦𝐬,𝒇。
7. 一個信號的𝒓𝒎𝒔值，也可以直接由𝒖(𝒕)「時間波形」的原始量測數據，求得𝑼𝐫𝐦𝐬,𝒕。
8. 如果，由𝑮𝒖𝒖(𝒇) PSD spectrum「功率頻譜」曲線取得的𝑼𝐫𝐦𝐬,𝒇，和由𝒖(𝒕)「時間波形」的原始量測數據求得的𝑼𝐫𝐦𝐬,𝒕，兩者相等：𝑼𝐫𝐦𝐬,𝒇 =
𝑼𝐫𝐦𝐬,𝒕，就可以驗證計算取得的𝑮𝒖𝒖(𝒇) PSD spectrum「功率頻譜」之正確性。盡管是以Auto PSD，進行驗證分析，因為Cross PSD和Auto PSD算法相同，所以，可以校正PSD分析的正確性。
參閱圖2，分別是常數波(constant)、餘弦波(cosine)、正弦波(sine)、以及三者合成信號之𝒓𝒎𝒔值的數值計算驗證比較結果，最下方是計算原理的方程式，包括：(1) Auto PSD頻譜、(2) 平方平均根RMS–時間波形、(3) 平方平均根RMS–Auto PSD頻譜。
圖2的第一列圖示是「傅立葉頻譜」(Fourier spectrum)，而第二列圖示是「自身功率頻譜」(Auto PSD)，比較探討說明如下：
1. 常數波(constant)：令：𝒙𝟏 (𝒕)=𝑨𝟏，𝑨𝟏=𝟓，𝒇𝟏=𝟎 Hz，由「時間波形」，可得到：𝒙𝟏,𝒓𝒎𝒔,𝒕 =𝟓。其「傅立葉頻譜」𝑼(𝒇=𝟎) =
𝟓，可據以求得其「自身功率頻譜」，𝑮𝒖𝒖 (𝒇=𝟎)=𝟓𝟎，而由𝑮𝒖𝒖 (𝒇)計算得到的𝒓𝒎𝒔值，也是𝒙𝟏,𝒓𝒎𝒔,𝒇 =𝟓。所以，𝒙𝟏,𝒓𝒎𝒔,𝒕 =
𝒙𝟏,𝒓𝒎𝒔,𝒇 =𝟓。
2. 餘弦波(cosine)：令：𝒙𝟐 (𝒕)=𝑨𝟐 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝛑𝒇𝟐 𝒕)，𝑨𝟐=2，𝒇𝟐=𝟏𝟎𝟎 Hz，由「時間波形」，可得到：𝒙𝟐,𝒓𝒎𝒔,𝒕 =𝟏.𝟒𝟏𝟒。其「傅立葉頻譜」之實數部，𝑼(𝒇=
𝟏𝟎𝟎) = 𝟐，可據以求得其「自身功率頻譜」，𝑮𝒖𝒖 (𝒇=
𝟏𝟎𝟎)= 8，而由𝑮𝒖𝒖 (𝒇)計算得到的𝒓𝒎𝒔值，也是𝒙𝟐,𝒓𝒎𝒔,𝒇 =
𝟏.𝟒𝟏𝟒。所以，𝒙𝟐,𝒓𝒎𝒔,𝒕 =
𝒙𝟐,𝒓𝒎𝒔,𝒇 =
𝟏.𝟒𝟏𝟒。
3. 正弦波(sine)：令：𝒙𝟑 (𝒕)=𝑨𝟑 𝐬𝐢𝐧(𝟐𝛑𝒇𝟑 𝒕)，𝑨𝟑=𝟏𝟎，𝒇𝟑=𝟐𝟓𝟎 Hz，由「時間波形」，可得到：𝒙𝟑,𝒓𝒎𝒔,𝒕 =𝟕.𝟎𝟕𝟏。其「傅立葉頻譜」之虛數部，𝑼(𝒇=
𝟐𝟓𝟎) =–𝟏𝟎，可據以求得其「自身功率頻譜」，𝑮𝒖𝒖 (𝒇=
𝟐𝟓𝟎)= 𝟐𝟎𝟎，而由𝑮𝒖𝒖 (𝒇)計算得到的𝒓𝒎𝒔值，也是𝒙𝟑,𝒓𝒎𝒔,𝒇 =
𝟕.𝟎𝟕𝟏。所以，𝒙𝟑,𝒓𝒎𝒔,𝒕 =
𝒙𝟑,𝒓𝒎𝒔,𝒇 =
𝟕.𝟎𝟕𝟏。
4. 三者合成信號：令：𝒙(𝒕)=𝒙𝟏 (𝒕)+𝒙𝟐 (𝒕)+𝒙𝟑 (𝒕)，由「時間波形」，可得到：𝒙,𝒓𝒎𝒔,𝒕 =8.75𝟓。其「傅立葉頻譜」之振幅值，如預期，𝑼(𝒇=𝟎) =
𝟓，𝑼(𝒇=
𝟏𝟎𝟎) = 𝟐，𝑼(𝒇=
𝟐𝟓𝟎) =𝟏𝟎。可據以求得其「自身功率頻譜」，𝑮𝒖𝒖 (𝒇=𝟎)=𝟓𝟎，𝑮𝒖𝒖 (𝒇=
𝟏𝟎𝟎)= 8，𝑮𝒖𝒖 (𝒇=
𝟐𝟓𝟎)= 𝟐𝟎𝟎。而由𝑮𝒖𝒖 (𝒇)計算得到的𝒓𝒎𝒔值，也是𝒙,𝒓𝒎𝒔,𝒇 =8.75𝟓。所以，𝒙,𝒓𝒎𝒔,𝒕 =
𝒙,𝒓𝒎𝒔,𝒇 =
8.75𝟓。
由以上單一的常數波(constant)、餘弦波(cosine)、正弦波(sine)，以及三者合成信號之𝒓𝒎𝒔值的計算驗證比較，由「時間波形」得到的𝒓𝒎𝒔值，與由「自身功率頻譜」得到的𝒓𝒎𝒔值，兩兩相同，因此，可以驗證「自身功率頻譜」之程式演算法的正確性。
回顧一下這個單元的討論：
1. 主要的驗證原理，是觀察由「時間波形」得到的𝒓𝒎𝒔值，與由「自身功率頻譜」得到的𝒓𝒎𝒔值，兩兩相同。
2. 分別透過：(1)常數波(constant)、(2)餘弦波(cosine)、(3)正弦波(sine)、以及(4)三者合成信號之𝒓𝒎𝒔值的計算驗證比較，確認了數值比較驗證，符合𝒙,𝒓𝒎𝒔,𝒕 =
𝒙,𝒓𝒎𝒔,𝒇，基本特性。
3. 因此，可以佐證「自身功率頻譜」(Auto PSD)的程式算法，正確無誤。進而，可以應用到求得「交叉功率頻譜」(Cross PSD)。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2024.07.22
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圖1、自身功率密度頻譜檢查(Auto PSD Spectrum Check) – 原理(Principle) |
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圖2、常數波、餘弦波、正弦波信號之自身功率頻譜 |
