這個單元要來探討的主題是：如何求得結構的「頻率響應函數」(frequency response
function, FRF)？
針對主題，就從「關鍵詞分析」(keyword analysis)來破題：
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「如何求得」：可以概分為「分析」與「實驗」，兩種方法。
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「結構」：任意的結構，當然都可以分別由「分析」與「實驗」，求得FRF「頻率響應函數」。
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「頻率響應函數」(frequency response
function, FRF)：基本定義：𝐅𝐑𝐅=𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭/𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭。𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭是輸出，𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭是輸入。當然需要明確的定義出𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出以及𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入參數。讀者可參考先前單元，#362：【頻率響應函數有哪些種類(Types
of FRFs)？】。
其次以【3W】心法，來分析這個主題：
1. Why to do? 為什麼要求得FRF「頻率響應函數」？
2. What goals? 求得FRF「頻率響應函數」有甚麼目的？要達到甚麼目標？有甚麼用途？
3. How to do? 如何求得FRF「頻率響應函數」？
要解答【3W】心法的提問，首先，參閱圖示右上方的音叉結構照片，當以敲擊槌來敲擊音叉，音叉本身會振動，進而發出聲音。
如果只討論振動，如圖示SPR系統方塊圖，Source激振源是敲擊外力，以𝒇𝒋 (𝒕)表示𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭
輸入參數，Structural
Path結構路徑是音叉結構System系統，而Response響應，常會以加速度規量測，所以得到結構的振動響應是加速度，以𝒂𝒊 (𝒕)表示𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭
輸出參數。
再分別觀察圖示的三個系統方塊圖，分別是：
1. 物理域(physical domain)系統方塊圖：以𝒇𝒋 (𝒕)表示𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭
輸入的作用力，以𝒂𝒊 (𝒕)表示𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出的加速度響應，而System系統則以[𝑴],[𝑪],[𝑲]表示，分別是質量、阻尼、勁度矩陣。
2. 頻率域(frequency domain)系統方塊圖–理論分析：以𝑭𝒋 (𝒇)表示𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入作用力的傅立葉頻譜，以𝑨𝒊 (𝒇)表示𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭
輸出加速度響應的傅立葉頻譜，而System系統則以𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑨𝒊 (𝒇)/ 𝑭𝒋 (𝒇)表示，其中，𝑯𝒊𝒋 (𝒇)就是FRF「頻率響應函數」。注意：這是由理論分析的方式，所求得的FRF。
3. 頻率域(frequency domain)系統方塊圖–實驗分析：以𝑮𝒋𝒋 (𝒇)表示𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭
輸入作用力的自身功率頻譜，以𝑮𝒊𝒊 (𝒇)表示𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭
輸出加速度響應的自身功率頻譜，而System系統則以𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑮𝒋𝒊 (𝒇)/𝑮𝒋𝒋(𝒇)表示，其中，𝑯𝒊𝒋 (𝒇) 也是FRF「頻率響應函數」。注意：這是由實驗分析的方式，所求得的FRF。
如果針對此音叉結構，要採用理論分析方法，可以透過有限元素分析(finite element analysis, FEA)，建構如圖示右上方的音叉結構分析模型，進行後續的理論數值分析。
由於是以敲擊棒來敲擊音叉，參閱物理域系統方塊圖，可以合理假設：𝒇𝒋 (𝒕)敲擊外力是一個理想的衝擊波(ideal impulse)，理想上，可能會想要求得受到𝒇𝒋 (𝒕)敲擊力作用後，如方塊圖右側之音叉結構的振動響應 𝒂𝒊 (𝒕)加速度。
不過，實務上要進行結構的暫態響應分析(transient response analysis, TRA)，又要有足夠的準確性，是有相當難度的。另外，就算求得如圖示的𝒂𝒊 (𝒕)時間域響應，看起來就是個隨機的衰減信號，似乎也沒有太多的敲擊聲音或振動響應的頻率資訊。
那麼有甚麼其他方式，可以有效地分析、或實驗量測得到，敲擊聲音或振動響應的頻率特徵呢？
回到【3W】心法，說明如下：
1. Why to do? 為什麼要求得FRF「頻率響應函數」？可以瞭解瞭解系統的𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出與𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭
輸入之間，在頻率域的關係。
2. What goals? 求得FRF「頻率響應函數」有甚麼目的？要達到甚麼目標？就是要取得𝐅𝐑𝐅=𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭/𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭。需要明確的定義出𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出以及𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入參數。在音叉結構中，無庸置疑，其𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入參數就是敲擊力，以𝒇𝒋 (𝒕)表示。而有興趣的𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出參數，以振動響應來說，就是音叉上任意點，可以量測到的加速度，以𝒂𝒊 (𝒕)表示。
3. How to do? 如何求得FRF「頻率響應函數」？可以分為兩個方式：(1)分析：就是對結構進行「簡諧響應分析」(harmonic response analysis, HRA)，(2)實驗：就是對結構進行「實驗模態分析」(experimental modal analysis, EMA)。
如何進行「簡諧響應分析」呢？這是典型的4種振動分析類型之一，在FEA的應用分析，可參閱圖示的理論分析之頻率域系統方塊圖，兩側的圖示，說明如下：
1. 𝑭𝒋 (𝒇)表示輸入作用力的傅立葉頻譜：圖示的𝑭𝒋 (𝒇)，是一個常數分布，假設：𝑭𝒋=1 (N)，此常數𝑭𝒋 (𝒇)頻譜，是對應於𝒇𝒋 (𝒕)敲擊外力是一個理想的衝擊波(ideal impulse)。這種常數分布的頻譜，可以稱為「白噪音頻譜」(white noise spectrum)。
2. 𝑨𝒊 (𝒇)表示輸出加速度響應的傅立葉頻譜：設定了常數𝑭𝒋 (𝒇) = 1 (N)頻譜，再執行HRA「簡諧響應分析」，即可求得𝑨𝒊 (𝒇) 加速度響應的傅立葉頻譜。
3. 𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑨𝒊 (𝒇)/ 𝑭𝒋 (𝒇)
= FRF「頻率響應函數」：由於𝑭𝒋=1 (N)，所以，𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑨𝒊 (𝒇)。
對於理論分析，進行HRA「簡諧響應分析」，不論是𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭
輸入、或是𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭
輸出，數學意義上，都是「傅立葉頻譜」(Fourier spectrum)，在理論解析，要求得FRF「頻率響應函數」，可以直接取輸出與輸入的「傅立葉頻譜」相除，即可求得：𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑨𝒊 (𝒇)/ 𝑭𝒋 (𝒇)。
如何對結構進行EMA「實驗模態分析」呢？參閱圖示的實驗分析之頻率域系統方塊圖，兩側的圖示，說明如下：
1. 𝒇𝒋 (𝒕)表示輸入的作用力：可以使用具有力感測器(force transducer)的衝擊槌(impact hammer)，量測得到𝒇𝒋 (𝒕)敲擊外力時間波形。再透過FFT、PSD的信號分析，即可得到如圖示的𝑮𝒋𝒋 (𝒇) 外力自身功率頻譜(auto PSD)。
2. 𝒂𝒊 (𝒕)表示輸出的加速度響應：可以透過加速度規(accelerometer)，黏貼在音叉結構表面，量測到任意點的𝒂𝒊 (𝒕)加速度時間波形。再透過FFT、PSD的信號分析，即可得到如圖示的𝑮𝒊𝒊 (𝒇) 加速度自身功率頻譜(auto PSD)。
3. 𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑮𝒋𝒊 (𝒇)/𝑮𝒋𝒋(𝒇)
= FRF「頻率響應函數」：要注意，在實驗量測中，由於經過數位化處理(digitization)，不能如理論分析，直接由傅立葉頻譜取得，必須由PSD功率頻譜，才能取得正確的FRF「頻率響應函數」。其中，𝑮𝒋𝒊 (𝒇)是輸入與輸出的交叉功率頻譜(cross PSD)。
綜合一下這個單元的討論，主題是：如何求得結構的「頻率響應函數」(frequency response
function, FRF)？總結如下：
1. 進行「關鍵詞分析」(keyword analysis)：解剖了重要關鍵詞，包括：「如何求得」、「結構」、「頻率響應函數」。瞭解𝐅𝐑𝐅基本定義：𝐅𝐑𝐅=𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭/𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭。𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭是輸出，𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭是輸入。
2. 進行【3W】心法思考：(1) Why to do? (2) What goals?
(3) How
to do?
在
(3) How
to do? 如何求得FRF「頻率響應函數」？可以有兩種方法：
1. 理論分析，進行HRA「簡諧響應分析」：𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑨𝒊 (𝒇)/ 𝑭𝒋 (𝒇)
= FRF「頻率響應函數」。
2. 實驗量測，進行EMA「實驗模態分析」：𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑮𝒋𝒊 (𝒇)/𝑮𝒋𝒋(𝒇)
= FRF「頻率響應函數」。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2024.03.30
