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《振動噪音科普專欄》木琴條如何設計?模型驗證(MV)、響應預測(RP)及設計變更(DM)



先前兩個單元:【如何解讀木琴條之振動模態特性?】、【木琴條發聲物理機制和振動模態的關係?】,分別探討了「木琴條」的「振動模態」,以及「木琴條」的「發聲物理機制」和「振動模態」的關係。這個單元就來討論如何對「木琴條」進行設計

首先,「木琴條」的設計需要考慮甚麼因素呢?既然,「木琴條」是典型打擊樂器「木琴(xylophone)的其中一根「木琴條」(wooden bar),當然,重要的功能就是每一根「木琴條」,能夠發出正確的「音階頻率」。

這個單元以「虛實整合分析」,也就是現今「工業4.0」提到的CPS (Cyber Physical System),亦即「虛實整合系統」的應用,分別從以下三個階段說明如何進行「木琴條」的設計:

1.          模型驗證(model verification, MV)
2.          響應預測(response prediction, RP)
3.          設計變更(design modification, DM)

首先,由「模型驗證MV,說明如下:

1.          「虛」:就是CPS中的Cyber,也就是「電腦相關」的「數位化模型」(digital model)。在本案例,係採用「有限元素分析(finite element analysis, FEA),建立了「」的木琴條「分析模型」,分別進行了木琴條結構的「模態分析」,可以得到木琴條的「模態參數」,以及「簡諧響應分析」可以得到木琴條的「頻率響應函數」。
2.          「實」:就是CPS中的Physical,也就是實際的「結構系統」,在此指的就是「木琴條」的實體結構。可以對「」的「木琴條」進行「實驗模態分析(experimental modal analysis, EMA),其實驗架構如圖示,採用「衝擊鎚」對懸吊的「木琴條」在「自由邊界(free boundary)狀態下,進行敲擊並量測施加的外力,以「加速度規」量測「木琴條」的振動響應,可以量測得到結構的「加速度」與「外力」之間的「頻率響應函數(frequency response function, FRF),進而由「曲線嵌合(curve fitting)擷取得到木琴條的「模態參數」,就是木琴條的「振動模態」。
3.          「虛實整合系統」的應用:就是結合FEAEMA的整合應用,包括:「」的FEA分析,以及「」的EMA實驗,透過「」的分析和「」的實驗比對驗證。由「頻率域FRF曲線圖可觀察:(1)分析和實驗所得到的FRF曲線,大致相符,可知「」的分析和「」的實驗相對應。(2)FRF曲線有明顯的多個「峰值頻率」,就是此木琴條的「自然頻率」。(3)每個「自然頻率」都有其對應的「模態振型」。由「模態域」的「模態參數」可以充分了解解讀「木琴條」的「振動模態」,其中,「模態振型」之物理意義,係以(x,y)=(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)、及(7,1)標註,可以看出「模態振型」的「節點(nodal point)特性;也有(x,y)=(2,2)(3,2)、及(4,2)的「模態振型」特徵。

在完成「木琴條」的「模型驗證MV重要意義:表示「木琴條」之「」的分析「等效」於「」的實驗量測,也就是「木琴條」的兩個「」和「CPS (cyber physical system)是「等效的(equivalent)。更重要的是,這個「」的「木琴條」FEA分析模型,可以輔助進行「木琴條」的「響應預測RP,也可應用到「木琴條」的「設計變更DM

第二個階段,對「木琴條」進行「響應預測RP,這裡有興趣的「響應(response)是甚麼呢?當然就是敲擊聲音的「聲音壓力」響應!

由先前單元:木琴條發聲物理機制和振動模態的關係?】已知,參閱響應預測RP之圖示,當敲擊「木琴條」在其「中央位置」只會激發出F-01(3,1)F-05(5,1)、及F-11(7,1)3個「振動模態」,進而發出這3個「振動模態」的「自然頻率」之聲音。其中,「基音」對應的是F-01(3,1)振動模態」,而兩個「泛音」對應的是F-05(5,1)F-11(7,1)振動模態」。

在「響應預測RP階段,參考先前單元:工程設計的新思維:F-C(S)-A(M)-I-V/C-I】,其中,重要的步驟是定義「Index」,也就是「指標」、「性能指標」、「設計評估指標」。

以「木琴條」的設計為例,第一要務就是「基音頻率」要符合「音階頻率」。其次,「泛音頻率」的組成會影響「木琴條」的「音色」。因此,在「響應預測RP,要監測F-01(3,1)F-05(5,1)、及F-11(7,1)3個「振動模態」之「自然頻率」,並確認和「木琴條」的「發聲頻率」是否相符。「木琴條」的「基音頻率」及「泛音頻率」就是「設計評估指標」,對應的就是F-01(3,1)F-05(5,1)、及F-11(7,1)3個「振動模態」之「自然頻率」。

第三個階段,就是設計變更DM,如圖示,若是C音階的「木琴條」已經完成設計,已知:「音階頻率C4=261.61Hz,其「木琴條」長度是364mm。如果,要設計「音階D4=293.66Hz,【音階標準頻率】,如何進行設計分析呢?概述如下:

1.          「木琴條」結構系統的設計考慮因素:包括(1)幾何:形狀及尺寸,(2)材料:木材的材料參數,(3)邊界狀態:組裝「木琴條」的方式。
2.          「木琴條」的「自然頻率」與結構參數關係:參閱「設計變更DM圖示,可知「自然頻率」和「厚度」成正比、和「長度平方」成反比、和「材料楊氏係數根號」成正比、和「材料密度根號」成反比。其中,「長度」及「厚度」就是「幾何」的設計參數。「楊氏係數」及「密度」就是「材料」的設計參數。
3.          不同「音階」之「木琴條」長度設計:透過前項的「自然頻率關係式」,就可以概略估算「音階」D4=293.66Hz之「木琴條」長度,約為343.64mm
4.          「木琴條」的幾何形狀設計:如圖示之「木琴條」有「凹槽」的「幾何設計」,主要是在調整「泛音頻率」之特性。
5.          「木琴條」的材料參數:在第2點的「自然頻率關係式」,雖然以「楊氏係數」代表材料參數,實務上,因為,木材有其年輪和紋路,並不是「等向性材料(isotropic material),所以,需要採用「正向性材料模型(orthotropic material model),才能有好的預測分析。有機會再另闢單元討論「材料模型」。
6.          「木琴條」的組裝固定方式:本案例的木琴,其固定「木琴條」方式,是在圖示兩端鑽孔,以線材穿過固定孔,以固定及組裝「木琴條」。此「固定孔位置」除了影響「幾何」外,也會影響「邊界」效應。一般會將「固定孔」選在(3,1)振動模態」的「節點」上,使得鑽孔後,不會改變(3,1)模態的「自然頻率」,也會使(3,1)模態,在敲擊後,有較大的振動響應,進而有較大的聲音響應。

最後,統整一下,如何進行「木琴條」的設計呢?

1.          對一根「木琴條」進行「模型驗證」MV:透過「」的「木琴條」FEA分析,以及「」的「木琴條」EMA實驗,可以確認「」的「分析模型」等效於「」的「實際結構」,也就是確認「分析模型」的「可靠性」,能夠預測出「木琴條」的(3,1)模態的「自然頻率」,也就發出聲音的「基音頻率」。
2.          「木琴條」進行「響應預測」RP:在此要觀察確認「木琴條」的「聲音響應」量測與預測的比較,以能夠有效地預測「木琴條」的發聲頻率,也就「發聲物理機制」,以及「基音」和「泛音」的特徵。
3.          採用「虛」的「木琴條分析模型」進行「設計變更」DM:例如不同音階的「木琴條」設計,或是不同「音色」特性的「木琴條」結構之設計分析。在此步驟,需要確認「設計目標」,並能夠訂定對應的量化「設計評估指標」。
4.          測試新的「設計構想」,進行「響應預測」RP:透過「虛」的FEA分析,求得「設計評估指標」,以確認是否達到「設計目標」。
5.          反覆3-DM4-RP兩步驟的「設計變更」及「響應預測」分析:直到完成預定的「設計目標」。
6.          完成新的「木琴條」設計:以經過驗證之「」的分析模型,完成變更設計,據以製作「」的新設計「木琴條」結構。
7.          新設計之「木琴條」進行「模型驗證」MV:確認新設計「木琴條」的「振動模態」特性,符合「設計評估指標」以及「設計目標」。
8.          新設計之「木琴條」進行「響應預測」RP之驗證:確認新設計的有效性,是否達成「設計目標」。

這個單元從「虛實整合系統CPS之應用,探討了「木琴條」之「設計」流程與理念,主要有三個階段:「模型驗證MV、「響應預測RP、及「設計變更DM。此MV-RP-DM三個階段的設計分析流程,是CPS虛實整合系統」的精神,可以應用到不同產品的設計開發。希望由本單元的探討,讀者能夠進一步了解產品設計」的「虛實整合系統CPS之應用

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2019.05.28