這個單元要來探討的主題是：「頻率響應函數」(frequency response
function, FRF)有哪些種類(Types of FRFs)？
甚麼是「頻率響應函數」(frequency response
function, FRF)，就是常說的FRF。為什麼要探討FRF這個主題呢？因為「頻率響應函數」是個通稱，其實有很多種形式，這個單元就綜合性的介紹，有哪些種類的FRF「頻率響應函數」。
FRF「頻率響應函數」的基本定義：𝐅𝐑𝐅=𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭/𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭。𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭是輸出，𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭是輸入。除了說明
𝐅𝐑𝐅 的表示式外，也會定義說明其英文、中文名稱、SI制單位、以及關係式。
首先來看第一個群組，最常見的𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭
輸入，就是力(force)，以變數𝑭𝒋表示，其中，𝒋 代表了力的位置與方向。
而典型的𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出，會有位移(displacement)、速度(velocity)、加速度(acceleration)，分別以變數𝑿𝒊、𝑽𝒊、𝑨𝒊 表示，其中，𝒊 代表了其位置與方向。
如前述的FRF「頻率響應函數」的基本定義，參閱圖示，第一個群組的FRF「頻率響應函數」，分別說明如下：
1. Receptance「位移率」：變數符號定義：𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑿𝒊/𝑭𝒋，因為𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭
輸出是𝑿𝒊 位移，𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入是𝑭𝒋 力，所以SI制單位：𝐦/𝐍。
2. Mobility「移動率」：變數符號定義：𝒀𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑽𝒊/𝑭𝒋，因為𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭
輸出是𝑽𝒊 速度，𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入是𝑭𝒋 力，所以SI制單位：(𝐦⁄𝐬)/𝐍。
3. Accelerance「加速率」：變數符號定義：𝑨𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑨𝒊/𝑭𝒋，因為𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭
輸出是𝑨𝒊 加速度，𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入是𝑭𝒋 力，所以SI制單位：(𝐦⁄𝐬^𝟐)/𝐍，或是 𝐠/𝐍，其中，1 𝐠 =9.807 𝐦⁄𝐬^𝟐。
FRF「頻率響應函數」的頻率，表示方式，有兩種，一則以 𝝎
表示，單位為rad/sec，一則以𝒇
表示，單位為Hz。兩者之間的關係：𝝎=𝟐𝝅𝒇，因為，旋轉一圈的弳度是𝟐𝝅。
在第一個群組的三種FRF「頻率響應函數」：𝑯𝒊𝒋 (𝒇)「位移率」、𝒀𝒊𝒋 (𝒇)「移動率」、𝑨𝒊𝒋 (𝒇)「加速率」，有明確的轉換關係，倆倆之間相差了 (𝒊𝝎) 的倍數，各個FRF之間的關係式，彙整如下：
1. 𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝒀𝒊𝒋 (𝒇)/(𝒊𝝎) = 𝑨𝒊𝒋 (𝒇)/(𝒊𝝎)^𝟐。
2. 𝒀𝒊𝒋 (𝒇) = (𝒊𝝎)𝑯𝒊𝒋 (𝒇) =
𝑨𝒊𝒋 (𝒇)/(𝒊𝝎)。
3. 𝑨𝒊𝒋 (𝒇) = (𝒊𝝎)^𝟐 𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = (𝒊𝝎) 𝒀𝒊𝒋 (𝒇)
會有以上的關係式，是因為：𝑽𝒊
= (𝒊𝝎) 𝑿𝒊，𝑨𝒊 = (𝒊𝝎) 𝑽𝒊，所以，𝑨𝒊 = (𝒊𝝎)^𝟐 𝑿𝒊，其他的倒數關係，可餘此類推。
其次來看第二個群組，最常見的𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭
輸入是力(force)，在這個群組，力(force)反而是𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出。而𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入分別是：𝑿𝒊 位移、𝑽𝒊 速度、𝑨𝒊 加速度，參閱圖示，第二個群組的FRF「頻率響應函數」，分別說明如下：
1. Dynamic Stiffness「動剛性」或「動態勁度」：變數符號定義：𝑲𝒋𝒊 (𝒇) = 𝑭𝒋/ 𝑿𝒊，因為𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出是𝑭𝒋 力，𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入是𝑿𝒊 位移，所以SI制單位：𝐍/𝐦。
2. Mechanical Impedance「機械阻抗」：變數符號定義：𝑰𝒋𝒊 (𝒇) = 𝑭𝒋/ 𝑽𝒊，因為𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出是𝑭𝒋 力，𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入是𝑽𝒊 速度，所以SI制單位： 𝐍/(𝐦⁄𝐬)。
3. Dynamic Mass「動態質量」：變數符號定義：𝑴𝒋𝒊 (𝒇) = 𝑭𝒋/ 𝑨𝒊，因為𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出是𝑭𝒋 力，𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入是𝑨𝒊 加速度，所以SI制單位：𝐍/(𝐦⁄𝐬^𝟐 ) = 𝐊𝐠。
可以發現第二個群組的三個FRF「頻率響應函數」，和第一個群組三個FRF，是互為倒數關係，可以寫出其關係式如下：𝑲𝒋𝒊 (𝒇)
= 1/ 𝑯𝒊𝒋 (𝒇)、𝑰𝒋𝒊 (𝒇)
= 1/ 𝒀𝒊𝒋 (𝒇)、𝑴𝒋𝒊 (𝒇)
= 1/ 𝑨𝒊𝒋 (𝒇)。
在此注意一下，共有6個FRF「頻率響應函數」，其變數符號的選用，各有其物理意義，分別是：𝑯𝒊𝒋 (𝒇)、𝒀𝒊𝒋 (𝒇)、𝑨𝒊𝒋 (𝒇)、𝑲𝒋𝒊 (𝒇)、𝑰𝒋𝒊 (𝒇)、𝑴𝒋𝒊 (𝒇)。
接下來，再看第三個群組，其𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭
輸出
和𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入，都是相同的物理量。𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭
輸出，分別是，𝑿𝒊 位移、𝑽𝒊 速度、𝑨𝒊 加速度。而𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入分別是，𝑿𝒋 位移、𝑽𝒋 速度、𝑨𝒋 加速度。在此須注意，𝒊 代表了𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭
輸出的方向與位置，而𝒋 代表了𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入的方向與位置。
第三個群組的FRF「頻率響應函數」，參閱圖示，分別說明如下：
1. Displacement Transmissibility「位移傳輸比」：變數符號定義：𝑻_𝑿,𝒊𝒋(𝒇)
= 𝑿𝒊 / 𝑿𝒋，因為𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭
輸出是𝑿𝒊 位移，𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入是𝑿𝒋 位移，所以SI制單位：𝐦/𝐦。
2. Velocity Transmissibility「速度傳輸比」：變數符號定義：𝑻_𝑽,𝒊𝒋(𝒇)
= 𝑽𝒊 / 𝑽𝒋，因為𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭
輸出是𝑽𝒊 速度，𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入是𝑽𝒋 速度，所以SI制單位：(𝐦⁄𝐬 )/ (𝐦⁄𝐬 )。
3. Acceleration Transmissibility「加速度傳輸比」：變數符號定義：𝑻_𝑨,𝒊𝒋(𝒇)
= 𝑨𝒊 / 𝑨𝒋，因為𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭
輸出是𝑨𝒊 加速度，𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入是𝑨𝒋 加速度，所以SI制單位：(𝐦⁄𝐬^𝟐 )/ (𝐦⁄𝐬^𝟐 )，或是 𝐠/𝐠。
三種類型的Transmissibility「傳輸比」，如果是相同的 𝒊 及 𝒋 的方向與位置，則三者的關係是完全想同：𝑻_𝑿,𝒊𝒋(𝒇)
= 𝑻_𝑽,𝒊𝒋(𝒇)
= 𝑻_𝑨,𝒊𝒋(𝒇)。Transmissibility「傳輸比」常用來作為隔振設計的評估指標。
最後一個FRF「頻率響應函數」，同樣是Transmissibility「傳輸比」的概念，其𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出
和𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入，都是相同的物理量力，分別是𝑭𝒊 力，以及𝑭𝒋 力，可以得到第4個Transmissibility「傳輸比」：
4. Force Transmissibility「力傳輸比」：變數符號定義：𝑻_𝑭,𝒊𝒋(𝒇)
= 𝑭𝒊 / 𝑭𝒋，因為𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭
輸出是𝑿𝒊 位移，𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入是𝑿𝒋 位移，所以SI制單位：𝐍 / 𝐍。
綜合一下這個單元的討論，「頻率響應函數」(frequency response function, FRF) 有哪些種類(Types of FRFs)？總結如下：
1. FRF「頻率響應函數」的基本定義：𝐅𝐑𝐅=𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭/𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭。𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭是輸出，𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭是輸入。
2. 第一個群組，𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭
輸入都是𝑭𝒋 力，𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出分別是：𝑿𝒊 位移、𝑽𝒊 速度、𝑨𝒊 加速度，其FRF分別是：(1) 𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑿𝒊/𝑭𝒋，Receptance「位移率」。(2) 𝒀𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑽𝒊/𝑭𝒋，Mobility「移動率」。(3) 𝑨𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑨𝒊/𝑭𝒋，Accelerance「加速率」。
3. 第二個群組，𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭
輸出都是𝑭𝒋
力，𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭
輸入分別是：𝑿𝒊 位移、𝑽𝒊 速度、𝑨𝒊 加速度，其FRF分別是：(1) 𝑲𝒋𝒊 (𝒇) = 𝑭𝒋/ 𝑿𝒊，Dynamic Stiffness「動剛性」或「動態勁度」。(2) 𝑰𝒋𝒊 (𝒇) = 𝑭𝒋/ 𝑽𝒊，Mechanical Impedance「機械阻抗」。(3) 𝑴𝒋𝒊 (𝒇) = 𝑭𝒋/ 𝑨𝒊，Dynamic Mass「動態質量」。
4. 第三個群組，𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出
和𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入，都是相同的物理量，包括：位移、速度、加速度、力。此類型的FRF稱為，Transmissibility「傳輸比」，常見有4種類型：(1) 𝑻_𝑿,𝒊𝒋(𝒇) = 𝑿𝒊 / 𝑿𝒋，Displacement Transmissibility「位移傳輸比」。(2)
𝑻_𝑽,𝒊𝒋(𝒇) = 𝑽𝒊 / 𝑽𝒋，Velocity Transmissibility「速度傳輸比」。(3)
𝑻_𝑨,𝒊𝒋(𝒇) = 𝑨𝒊 / 𝑨𝒋，Acceleration Transmissibility「加速度傳輸比」。(4) 𝑻_𝑭,𝒊𝒋(𝒇) = 𝑭𝒊 / 𝑭𝒋，Force Transmissibility「力傳輸比」。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2024.03.23
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